2024年山东省东营市东营区九年级下学期第二阶段质量评估数学试题

这是一份2024年山东省东营市东营区九年级下学期第二阶段质量评估数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2024的绝对值是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．m2•m5＝m10
C．D．﹣4xy﹣2xy＝﹣6xy
3．（3分）如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（3分）小明忘记了旅行箱密码的后两位数字，只记得都是奇数，且这两个数字不同，小明随机输入，则他一次能打开密码锁的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）重庆一中初三学生小欣暑假骑车沿直线旅行，先前进了1000米，休息了一段时间，又原路返回500米，再前进了1000米，则她离起点的距离s与时间t的关系示意图是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）小颖为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的折线统计图．下列说法正确的是（ ）
A．平均数是2.5，中位数是3
B．平均数是2，众数是6
C．众数是2，中位数是2
D．众数是2，中位数是3
7．（3分）如图所示，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线EF，分别交AC、AB于点P、Q，则PQ的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为x m，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20B．x•＝20
C．x（13﹣x）＝20D．x•＝20
9．（3分）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（ ）
A．（7，3）B．（7，5）C．（5，5）D．（5，3）
10．（3分）如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本题共8小题，11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。
11．（3分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 ．
12．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝ ．
13．（3分）若关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3．若A（9，3），则A1点的坐标是 ．
15．（4分）如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为 米．
16．（4分）如图，P（﹣3a，a）是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为20π，则k的值为 ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝4，点C为平面内一动点，BC＝1，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．则线段OM的最大值为 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A2024的纵坐标为 ．
三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（8分）（1）计算：．
（2）先化简 ，然后从﹣2≤x＜3 中选择一个你最喜欢的整数作为x的值
代入求值．
20．（8分）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有 名，“D烹饪与营养”的男生有 名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
21．（8分）如图所示，双曲线的图象与一次函数的图象交于A（m，1），B（2，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设直线AB与x轴交于点C，若P为y轴正半轴上一点，当△APC的面积为3时，求点P的坐标．
22．（8分）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
23．（8分）如图，四边形ACDE内接于⊙O，AC为⊙O的直径，分别延长AE，CD，交点为B，连接AD，直线PC是⊙O的切线．
（1）求证：∠PCD+∠BED＝90°．
（2）若∠BDE＝45°，∠DAE＝15°，求的值．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．
（1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
25．（12分）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）2024的绝对值是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
【解答】解：由题意得，|2024|＝2024．
故选：B．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．m2•m5＝m10
C．D．﹣4xy﹣2xy＝﹣6xy
【解答】解：A．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项不合题意；
B．m2⋅m5＝m7，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．﹣4xy﹣2xy＝﹣6xy，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：如图，
∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC，
∴∠DOC＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠OCB＝∠DOC＝40°，
故选：B．
4．（3分）小明忘记了旅行箱密码的后两位数字，只记得都是奇数，且这两个数字不同，小明随机输入，则他一次能打开密码锁的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中小明一次能打开密码锁的结果有1种，
∴小明一次能打开密码锁的概率为，
故选：D．
5．（3分）重庆一中初三学生小欣暑假骑车沿直线旅行，先前进了1000米，休息了一段时间，又原路返回500米，再前进了1000米，则她离起点的距离s与时间t的关系示意图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据他先前进了1000米，得图象是一段上升的直线，
休息了一段时间，得图象是一段平行于t轴的直线，
沿原路返回500米，得图象是一段下降的直线，
最后再前进了1000米，得图象是一段上升的直线．
综合得图象是C．
故选：C．
6．（3分）小颖为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的折线统计图．下列说法正确的是（ ）
A．平均数是2.5，中位数是3
B．平均数是2，众数是6
C．众数是2，中位数是2
D．众数是2，中位数是3
【解答】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，
处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2，
2出现的次数最多，故众数为2．
平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15＝2，
故选：C．
7．（3分）如图所示，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线EF，分别交AC、AB于点P、Q，则PQ的长度为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由作图得：PQ垂直平分AD，BD＝BC＝3，
∴AQ＝AD，∠AQP＝90°，
∵BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝5，
∴AD＝AB﹣BD＝2，
∴AQ＝1，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AQP，
∴△APQ∽△ABC，
∴，即：，
∴PQ＝，
故选：B．
8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为x m，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20B．x•＝20
C．x（13﹣x）＝20D．x•＝20
【解答】解：设墙的对边长为x m，可得方程：x×＝20．
故选：B．
9．（3分）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（ ）
A．（7，3）B．（7，5）C．（5，5）D．（5，3）
【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵B（6，0），
∴OB＝6，
由旋转的性质可知AO＝AC＝4，OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴CE＝CD＝3，DE＝3，
∴OE＝OC+CE＝4+3＝7，
∴D（7，3），
故选：A．
10．（3分）如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG（ASA），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，
故选：D．
二、填空题：本题共8小题，11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。
11．（3分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 5.45×106 ．
【解答】解：5450000＝5.45×106．
故答案为：5.45×106．
12．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝ x（x+3）2 ．
【解答】解：x3+6x2+9x
＝x（x2+6x+9）
＝x（x+3）2．
故答案为：x（x+3）2．
13．（3分）若关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜1 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m＞0，
解得m＜1．
故答案为m＜1．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3．若A（9，3），则A1点的坐标是 （3，1） ．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，且原点O为位似中心，且＝3，点A（9，3），
∴×9＝3，×3＝1，
即A1点的坐标是（3，1），
故答案为：（3，1）．
15．（4分）如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为 10 米．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥公路l于点D，
则∠ADC＝90°，∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，AB＝20米，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝60°﹣30°＝30°，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴BC＝AB＝20米，
在Rt△BCD中，cs∠BCD＝，
∴CD＝BC•cs∠BCD＝20×＝10（米），
故答案为：10．
16．（4分）如图，P（﹣3a，a）是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为20π，则k的值为 ﹣24 ．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
，
解得：．
∵点P（﹣3a，a）是反比例函与⊙O的一个交点，
∴﹣3a2＝k．
，
∴．
∴k＝﹣3×8＝﹣24，
故答案为：﹣24
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝4，点C为平面内一动点，BC＝1，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．则线段OM的最大值为 ．
【解答】解：由题知，
点C在以点B为圆心，1为半径的圆上，
在AB上取点N，使得BN：AN＝1：2，
∵CM：MA＝1：2，
∴BN：AN＝CM：MA，
则，
又∵∠MAN＝∠CAB，
∴△MAN∽△CAB，
∴，
又∵BC＝1，
∴MN＝，
∴点M在以点N为圆心，为半径的圆上，
则当点M在ON与⊙N的远端交点处时，OM取得最大值．
过点N作y轴的垂线，垂足为E，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝45°，AB＝，
∴△BEN是等腰直角三角形，
又∵BN＝，
∴BE＝EN＝，
∴OE＝4﹣．
在Rt△OEN中，
ON＝，
∴OM′＝，
即OM的最大值为．
故答案为：．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A2024的纵坐标为 （）2024． ．
【解答】解：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x＝，y＝，故A1（，）；
则点B1（，0），则直线B1A2的表达式为：y＝x+b，
将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3＝x﹣，
将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x＝，y＝，即点A2的纵坐标为；
同理可得A3的纵坐标为，
…按此规律，则点A2024的纵坐标为（）2024，
故答案为：（）2024．
三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（8分）（1）计算：．
（2）先化简 ，然后从﹣2≤x＜3 中选择一个你最喜欢的整数作为x的值
代入求值．
【解答】解：（1）
＝﹣2×+1
＝﹣1+1
＝；
（2）
＝÷
＝•
＝•
＝，
∵﹣2≤x＜3且x为整数，x＝﹣1或±2时，原分式无意义，
∴x＝0或1，
当x＝0时，原式＝＝1；
当x＝1时，原式＝＝．
20．（8分）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 20 名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有 2 名，“D烹饪与营养”的男生有 1 名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）3÷15%＝20（名），
所以本次调查中，一共调查了20名学生，
“C家用器具使用与维护”的女生数为25%×20﹣3＝2（名），
“D烹饪与营养”的男生数为20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（名）；
故答案为：20；2；1；
（2）选择“D烹饪与营养”的人数所占的百分比为：×100%＝10%，
补全上面的条形统计图和扇形统计图为：
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为12，
所以所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．
21．（8分）如图所示，双曲线的图象与一次函数的图象交于A（m，1），B（2，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设直线AB与x轴交于点C，若P为y轴正半轴上一点，当△APC的面积为3时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线经过A（m，1），B（2，n）两点．
∴A（﹣4，1），B（2，﹣2），
∴，
解得k＝﹣4，
故反比例函数解析式为．
（2）设点P（0，m），直线AB与y轴交于点D，
∵，
∴D（0，﹣1）C（﹣2，0），PD＝m﹣（﹣1）＝m+1，
∵S△APC＝S△APD﹣S△CPD＝3，A（﹣4，1）
∴，
∴m+1＝3，
解得m＝2，
故P（0，2）．
22．（8分）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30＝90+30＝120．
答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
（2）设篮球卖了y个，则足球卖了（y+10）个，
根据题意得：（150﹣120）y+（110﹣90）（y+10）＞1300，
解得：y＞30，
又∵y，y+10均为正整数，
∴y的最小值为33．
答：篮球最少要卖33个．
23．（8分）如图，四边形ACDE内接于⊙O，AC为⊙O的直径，分别延长AE，CD，交点为B，连接AD，直线PC是⊙O的切线．
（1）求证：∠PCD+∠BED＝90°．
（2）若∠BDE＝45°，∠DAE＝15°，求的值．
【解答】（1）证明：∵直线PC是⊙O的切线，
∴∠PCD+∠ACD＝90°，
∵四边形ACDE内接于⊙O，
∴∠AED+∠ACD＝180°，
∵∠AED+∠BED＝180°，
∴∠BED＝∠ACD，
∴∠PCD+∠BED＝90°；
（2）解：连接CE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵四边形ACDE内接于⊙O，∠BDE＝45°，
∴∠EAC＝∠BDE＝45°，
∴AC＝AE，
∵∠EAC＝45°，∠DAE＝15°，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2CD，
∴＝
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．
（1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），
∴得，
∴解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）如图1，
设满足条件的点在抛物线上：
①当点E位于直线CD下方时，过点E作EF⊥直线CD，垂足为F．
则F（t，4），CF＝t，，
根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，
即，
∴，
解得t1＝0（舍去），t2＝3，
∴；
②当点E'位于直线CD上方时，过点E'作E'F'⊥直线CD，垂足为F'．
则F'（s，4），CF'＝s，E'F'＝﹣s2+s+4﹣4＝﹣s2+s，
根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，
即，
∴，
解得s1＝0（舍去），s2＝1．
∴，
所以，点E的坐标为或；
（3）①CM为菱形的边，如图2，
在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，
∴四边形CM′P′N′是平行四边形，
∵四边形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′＝P′N′，
过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，
∵OC＝OB，∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝45°，
∴∠P′M′C＝45°，
设点P′（m，﹣m2+m+4），
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′＝m，P′M′＝m，
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∵P′N′∥y轴，
∴N′（m，﹣m+4），
∴P′N′＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∴m＝﹣m2+2m，
∴m＝0（舍）或m＝4﹣2，
菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）＝4﹣4．
②CM为菱形的对角线，如图3，
在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ＝∠NCQ，
∵∠OCB＝45°，
∴∠NCQ＝45°，
∴∠PCQ＝45°，
∴∠CPQ＝∠PCQ＝45°，
∴PQ＝CQ，
设点P（n，﹣n2+n+4），
∴CQ＝n，OQ＝n+4，
∴n+4＝﹣n2+n+4，
∴n＝0（舍），
∴此种情况不存在．
综上，菱形的边长为4﹣4．
25．（12分）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
【解答】解：（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝2，
由旋转的性质得：AB'＝AB＝2，
∴CB′＝AC﹣AB'＝2﹣2；
（2）①四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
又∵AE'＝AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示：
则∠BGC＝90°＝∠AEB，
∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°，
∴∠BCG＝∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，
∴EG＝BE﹣BG＝4﹣2＝2，
∴CE＝＝＝2；
（3）∵点E不会在线段AC上，
∴CE的最小值就是初始位置时的长度2，
当E'落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长＝AC+AE'＝2+2，
∴线段CE′长度的取值范围是2≤CE'≤2+2．