新八年级数学讲义第4讲轴对称图形-满分班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第4讲轴对称图形-满分班(学生版+解析)，共25页。学案主要包含了轴对称图形，轴对称等内容，欢迎下载使用。

1轴对称图形
一、轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
二、轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
要点诠释：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【例题精选】
例1(2023秋•高淳区期末）在线段、角、等腰三角形、直角三角形四个图形中，不一定是轴对称图形的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
例2 找出下列图形中的轴对称图形，并指出它们的对称轴：
【随堂练习】
1.(2023秋•卢龙县期末）在3×3的方格中涂有阴影图形，下列阴影图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023•沙河市模拟）我们知道，平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为（ ）
A．1B．2C．4D．无数
2.轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【例题精选】
例1(2023秋•呼兰区期中）如图，点K在∠AOB的内部，点K关于OA、OB的对称点分别为P、R，连接PR交OA、OB于点C、D，若∠POR＝70°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠AOB＝35°B．∠CKD＝110°
C．PK＝RKD．OA垂直平分PK
例2(2023秋•普兰店区期末）如图，正五边形ABCDE中，直线l过点B，且l⊥ED，下列说法正确的有：①l是线段AC的垂直平分线；②∠BAC＝36°；③正五边形ABCDE有五条对称轴．（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【随堂练习】
1．(2023•延边州二模）如图，∠AOB＝40°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于直线OA，OB的对称点，连接CD分别交OA，OB于点E、F．则∠EPF＝_________．
2．(2023秋•海安市期末）如图，点P为∠AOB内任一点，E，F分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠AOB＝30°，则∠E+∠F＝_________°．
3镜面对称
【例题精选】
例1(2023秋•丹江口市期中）小丽在镜子里看到对面墙上电子钟示数为12：01，则此时实际时刻为_________．
例2 (2023秋•灌云县期中）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，该车牌的后5位号码实际是_________．
【随堂练习】
1．(2023秋•北流市期末）开车时，从后视镜中看到后面一辆汽车车牌号的后四位数是“”，则该车号牌的后四位应该是_________．
2．(2023秋•泗洪县校级月考）在上学的路上，小刚从电瓶车的后视镜里看到一辆汽车，车顶字牌上的字在平面镜中的像是IXAT，则这辆车车顶字牌上的字实际是________．
4画轴对称图形
对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
要点诠释：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
【例题精选】
例1(2023秋•安庆期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，使点A的坐标为（1，2），点C的坐标为（4，3），并写出B点坐标；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
例2 (2023秋•枞阳县期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，3），C（4，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标____________；
（2）直接画出△ABC的中线BD和高CE．
【随堂练习】
1．(2023秋•庐江县期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，写出△A1B1C1三个顶点坐标：
A1＝____________；B1＝____________；C1＝____________；
（2）画出△A1B1C1，并求△A1B1C1面积．
2．(2023秋•和县期末）如图，在直角坐标系xOy中，A（1，5）、B（3，0）、C（4，2）．
（1）在图中作△ABC关于y轴对称图形△A′B′C′．
（2）求四边形AA′C′C的面积．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（ ）
A．8cmB．9 cmC．10 cmD．11 cm
2．下列图形中，只有一条对称轴的轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．130°B．95°C．90°D．85°
二．解答题（共4小题）
4．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
5．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．
6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．
7．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：
（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
第4讲 轴对称图形
1轴对称图形
一、轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
二、轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
要点诠释：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【例题精选】
例1(2023秋•高淳区期末）在线段、角、等腰三角形、直角三角形四个图形中，不一定是轴对称图形的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
分析：根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：线段、角、等腰三角形是轴对称图形，但直角三角形不一定是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
例2 找出下列图形中的轴对称图形，并指出它们的对称轴：
分析：根据轴对称图形、对称轴的概念解答．
【解答】解：（1）不是轴对称图形；
（2）是轴对称图形，对称轴是六角形对角顶点连线所在的直线．
（3）不是轴对称图形，
（4）不是轴对称图形，
（5）是轴对称图形，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【随堂练习】
1.(2023秋•卢龙县期末）在3×3的方格中涂有阴影图形，下列阴影图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2．(2023•沙河市模拟）我们知道，平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为（ ）
A．1B．2C．4D．无数
【解答】解：如图所示：平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为2条．
故选：B．
2.轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【例题精选】
例1(2023秋•呼兰区期中）如图，点K在∠AOB的内部，点K关于OA、OB的对称点分别为P、R，连接PR交OA、OB于点C、D，若∠POR＝70°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠AOB＝35°B．∠CKD＝110°
C．PK＝RKD．OA垂直平分PK
分析：如图，连接OK．利用轴对称的性质，线段的垂直平分线的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：如图，连接OK．
∵点K关于OA、OB的对称点分别为P、R，
∴OA垂直平分线段PK，∠AOK＝∠AOP，∠BOK＝∠BOR，故选项D正确，
∵∠POR＝70°，
∴∠AOB＝∠POR＝35°，故选项A正确，
∵OB垂直平分线段RK，OA垂直平分线段PK，
∴DK＝DR，CK＝CP，
∴∠CPK＝∠CKP，∠DRK＝∠DKR，
∵∠PKR＝180°﹣∠AOB＝145°，
∴∠CPK+∠DRK＝35°，
∴∠CKD＝145°﹣35°＝110°，故选项B正确，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
例2(2023秋•普兰店区期末）如图，正五边形ABCDE中，直线l过点B，且l⊥ED，下列说法正确的有：①l是线段AC的垂直平分线；②∠BAC＝36°；③正五边形ABCDE有五条对称轴．（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
分析：根据轴对称的性质解答即可．
【解答】解：∵正五边形ABCDE中，直线l过点B，且l⊥ED，
∴①l是线段AC的垂直平分线，正确；
②∠BAC＝36°，正确；
③正五边形ABCDE有五条对称轴，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质；要熟练掌握轴对称的性质，能够求解一些简单的计算问题．
【随堂练习】
1．(2023•延边州二模）如图，∠AOB＝40°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于直线OA，OB的对称点，连接CD分别交OA，OB于点E、F．则∠EPF＝_________．
【解答】解：如图，
∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴ME＝PE，PF＝NF，
∴∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N，
∵∠PRE＝∠PTF＝90°，
∴在四边形OTPR中，
∴∠MPN+∠AOB＝180°，
∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，
即∠MPN+∠M+∠N＝180°，
∴∠M+∠N＝∠AOB＝40°
∴∠EPF＝180°﹣40°×2＝100°．
故答案为100°．
2．(2023秋•海安市期末）如图，点P为∠AOB内任一点，E，F分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠AOB＝30°，则∠E+∠F＝_________°．
【解答】解：连接OP，
∵E，F分别为点P关于OA，OB的对称点，
∴∠EOA＝∠AOP，∠POB＝∠BOF，
∵∠AOB＝∠AOP+∠POB，
∴∠EOF＝2∠AOB＝60°，
∵E，F分别为点P关于OA，OB的对称点，
∴PE⊥OA，PF⊥OB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠EPF＝150°，
∴∠E+∠F＝360°﹣60°﹣150°＝150°，
故答案为：150．
3镜面对称
【例题精选】
例1(2023秋•丹江口市期中）小丽在镜子里看到对面墙上电子钟示数为12：01，则此时实际时刻为_________．
分析：利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为：10：51．
故答案为：10：51．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
例2 (2023秋•灌云县期中）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，该车牌的后5位号码实际是_________．
分析：根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：关于镜面对称，也可以看成是关于某条直线对称，
故关于某条直线对称的数字依次是BA629．
故答案为：BA629．
【点评】此题主要考查了镜面对称的知识，解决此类题应认真观察，注意技巧，难度一般．
【随堂练习】
1．(2023秋•北流市期末）开车时，从后视镜中看到后面一辆汽车车牌号的后四位数是“”，则该车号牌的后四位应该是_________．
【解答】解：由图分析可得题中所给的“”与“9087”成轴对称．
故答案为：9087．
2．(2023秋•泗洪县校级月考）在上学的路上，小刚从电瓶车的后视镜里看到一辆汽车，车顶字牌上的字在平面镜中的像是IXAT，则这辆车车顶字牌上的字实际是________．
【解答】解：IXAT是经过镜子反射后的字母，则这车车顶上字牌上的字实际是TAXI．
故答案为TAXI．
4画轴对称图形
对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
要点诠释：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
【例题精选】
例1(2023秋•安庆期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，使点A的坐标为（1，2），点C的坐标为（4，3），并写出B点坐标；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
分析：（1）根据A，C点坐标得出平面直角坐标系，进而得出B点坐标；
（2）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：B点坐标为：（3，5）；
（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
例2 (2023秋•枞阳县期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，3），C（4，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标____________；
（2）直接画出△ABC的中线BD和高CE．
分析：（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得△A1B1C1；
（2）依据三角形中线和高线的定义，即可得到△ABC的中线BD和高CE．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中A1的坐标为（1，﹣3）；
故答案为：（1，﹣3）；
（2）如图所示，中线BD和高CE即为所求．
【随堂练习】
1．(2023秋•庐江县期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，写出△A1B1C1三个顶点坐标：
A1＝____________；B1＝____________；C1＝____________；
（2）画出△A1B1C1，并求△A1B1C1面积．
【解答】解：（1）A1（﹣1，1）；B1（﹣4，2）；C1（﹣3，4）；
（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求，
△A1B1C1面积为：9﹣×2×3﹣×3×1﹣×1×2＝．
2．(2023秋•和县期末）如图，在直角坐标系xOy中，A（1，5）、B（3，0）、C（4，2）．
（1）在图中作△ABC关于y轴对称图形△A′B′C′．
（2）求四边形AA′C′C的面积．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）连接AA′，CC′，
S四边形AA′C′C＝（2+8）×3÷2＝15．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（ ）
A．8cmB．9 cmC．10 cmD．11 cm
【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，
∴AD＝DC，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+B，
∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，
∴BC＝11cm，
故选：D．
2．下列图形中，只有一条对称轴的轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、没有对称轴，故此选项错误；
B、有4条对称轴，故此选项错误；
C、有4条对称轴，故此选项错误；
D、只有一条对称轴，正确．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．130°B．95°C．90°D．85°
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠BDA＝50°，
∴∠DAC＝∠BDA＝25°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°
故选：B．
二．解答题（共4小题）
4．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．
5．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵∠C＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BD，
∴CD＝AD，
∵AC＝6，
∴AD＝4．
6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．
【解答】解：如图，作AM⊥BC于M．
∵AC的中垂线交BC于E，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠AEM＝∠EAC+∠C＝60°，
∵∠AME＝90°，AE＝EC＝4，∠MAE＝30°，
∴EMAE＝2，AM＝2，
∵∠B＝45°，∠AMB＝90°，
∴BM＝AM＝2，
∴BC＝BM+EM+EC＝6+2．
7．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：
（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
【解答】证明：（1）∵点C是AB的垂直平分线上的点，
∴CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵AF∥BC交DE于点F，
∴∠BAF＝∠CBA，
∴∠BAF＝∠CAB．
即 AB是∠CAF的角平分线．
（2）∵点D是AB的垂直平分线上的点，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB，
∵∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，
∴∠E＝∠FAD．