【新结构】2023-2024学年云南省曲靖市高三第二次教学质量监测数学试题（含详细答案解析）

这是一份【新结构】2023-2024学年云南省曲靖市高三第二次教学质量监测数学试题（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数y=2x−1x∈1,2,3的值域为( )
A. 1,5B. 1,3,5C. 2,6D. 2,4,6
2.小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是( )
A. 25元B. 18元C. 20元D. 16元
3.曲线x2+y2+2x−4y−4=0所围成的区域的面积为( )
A. 7πB. 7πC. 3πD. 9π
4.已知Sn是等比数列an的前n项和，若a3=3,S3=9，则数列an的公比是( )
A. −12或1B. 12或1C. −12D. 12
5.大年初一，爷爷､奶奶､爸爸､妈妈､读高中的姐姐以及刚满周岁的小弟弟一家六口外出游玩，到某处景点时站成一排拍照，小弟弟由其中任意一人抱着，则不同的站法共有( )
A. 120种B. 480种C. 600种D. 720种
6.在三棱锥O−ABC中，OA,OB,OC两两垂直，OA=OC=3,OB=2，则直线OB与平面ABC所成角的正切值等于( )
A. 132B. 2 1313C. 2 23D. 3 24
7.已知O是△ABC的外心，AB+AC=2AO，OA=AB，则向量AC在向量BC上的投影向量为( )
A. −14BCB. − 24BCC. 34BCD. 34BC
8.设点A,B的坐标分别是−5,0,5,0，M是平面内的动点，直线MA,MB的斜率之积为λ，动点M的轨迹C与曲线y2=2x相交于4个点，以这四个交点为顶点的矩形的面积等于48 3，则轨迹C的离心率等于( )
A. 25411B. 25311C. 1211D. 1311
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是( )
A. x−1x6展开式中x6的系数为1
B. x+1x6展开式的常数项等于20
C. x+1x6展开式的二项式系数之和为64
D. x−1x6展开式的系数之和为64
10.已知集合S,T，定义ST=xy∣x∈S,y∈T，则下列命题正确的是( )
A. 若S=1921,1949,T=0,1，则ST与TS的全部元素之和等于3874
B. 若S=2021,R表示实数集，R+表示正实数集，则SR=R+
C. 若S=2024,R表示实数集，则RS=R
D. 若S=2049,R+表示正实数集，函数fx=lg2024x,x∈R+S，则2049属于函数fx的值域
11.如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，水面在筒车圆弧内的宽度为3m.记筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m，在水面以下时d0,y0>0，
且y02=2x0，由对称性可知所求矩形的面积S=2x0⋅2y0=y02⋅2y0=48 3，
解得y0=2 3，x0=6，故P6,2 3.
因为P6,2 3在曲线C上，所以λ=y02x02−25=2 3236−25=1211，
轨迹C的方程可化为x225−y225λ=1，所以轨迹C是双曲线，且a2=25,b2=25λ，
离心率e满足：e2=c2a2=25+25λ25=1+1211=2311，所以e= 25311.
故选：B
9.【答案】ABC
【解析】【解析】
【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算可判断选项A，B；根据二项式系数之和为2n可判断选项C；令x=1，可得所有项系数之和进而判断选项D.
【详解】对于选项A：由x−1x6展开式的通项为Tr+1=C6rx6−r−1xr=−1rC6rx6−2r,r=0,1,2,⋯,6，
令6−2r=6，解得r=0，所以含x6的项为T1=−10C60x6=x6,此时系数为1，故A正确；
对于选项B：由x+1x6展开式的通项为Tr+1=C6rx6−r1xr=C6rx6−2r,r=0,1,2,⋯,6，
令6−2r=0，解得r=3，所以常数项为T4=C63x0=20,故B正确；
对于选项C：由x+1x6可知n=6，所以二项式系数之和为26=64，故C正确；
对于选项D：令x=1，可得所有项系数之和为1−16=0，故D错误.
故选：ABC.
10.【答案】BD
【解析】【解析】
【分析】对于A：根据题意可得TS=0,1，ST=1,1921,1949，即可得结果；对于B：根据题意结合指数函数的值域分析判断；对于C：根据题意结合幂函数值域分析判断；对于D：根据题意取特值检验即可.
【详解】对于选项A：因为S=1921,1949,T=0,1，
根据所给定义可得TS=0,1，ST=1,1921,1949，
则ST与TS的全部元素之和等于3872，故选项A错误；
对于选项B：SR=y|y=2021x,x∈R=R+，故选项B正确；
对于选项C：RS=y|y=x2024,x∈R，表示幂函数y=x2024x∈R的值域，
可知幂函数y=x2024x∈R的值域为0,+∞,即RS=0,+∞,故选项C错误；
对于选项D：因为x∈R+S=x|x=t2049,t>0，
当t=2024时，则x=20242049，
可得f20242049=lg202420242049=2049，故选项D正确.
故选：BD.
11.【答案】ABD
【解析】【解析】
【分析】设函数关系为d=3sinωt+φ+h0t≥0.根据周期和振幅、初相求出解析式，即可判断AB，代入求值判断C，根据周期性求出1周内盛水筒离开水面的时间求解即可.
【详解】对于AB，筒车上的盛水筒P做匀速圆周运动，设d与t之间的函数关系式为：d=3sinωt+φ+h0t≥0.
∵筒车每分钟转1.5圈，∴函数的周期为40s,∴ω=2π40=π20.
∵AB=OA=OB=r=3,∴D到筒车轴心的距离h0=OD=3 32,∠COB=π3.
已知在盛水筒P某次刚出水面时开始计时，则初相φ=−π3，
于是得到d与t之间的函数关系为：d=3sinπ20t−π3+3 32t≥0，故选项B正确.
由诱导公式得：sinπ20t−π3=csπ2−π20t+π3=csπ20t−5π6，故选项A正确.
对于C，t=1h=3600s时，d=3sinπ20×3600−π3+3 32=0，故选项C错误.
对于D，筒车旋转1周，盛水筒P离开水面的时段所对应的圆心角大小为：2π−π3=5π3，
对应时长为5π3×20π=1003s，则筒车旋转3周盛水筒P离开水面的时间总和等于100s，
故选项D正确.
故选：ABD
12.【答案】159
【解析】【解析】
【详解】将数据由小到大排列为：154,155,155,155.5,157,158,160,162，
由8×75%=6，得第75百分位数是158+1602=159.
故答案为：159
13.【答案】 3
【解析】【解析】
【分析】配方求出一元二次方程的根，得出共轭复数，由模的定义求解即可.
【详解】x2+x+1=0⇒x+122=−34⇒x=−12± 32i，
x=−12± 32i,−1+x=−32± 32i,−1+x= −322+± 322= 3，
故答案为： 3
14.【答案】2025 2
【解析】【解析】
【分析】方法一：dM,N表示函数y=ex+2024图象上的动点P与函数y=lnx−2024图象上动点Q的距离的最小值，利用互为反函数和点到直线的距离和构造函数的最小值，即|PQ|min.
方法二：函数y=ex与y=lnx互为反函数，函数y=ex图象上任意点与y=lnx图象上任意点之间的最小值恰好等于点0,1与1,0之间的距离，再平移后求解最小值.
【详解】方法一：dM,N表示函数y=ex+2024图象上的动点P与函数y=lnx−2024图象上动点Q的距离的最小值，即|PQ|min.
y=ex+2024⇔ex=y−2024⇔x=lny−2024，互换x,y得y=lnx−2024，
因此y=ex+2024与y=lnx−2024互为反函数，
它们的图象关于直线y=x对称，
则|PQ|min恰好等于函数y=ex+2024图象上的动点Px,y到直线y=x的距离的最小值的2倍.
点Px,y到直线y=x的距离dx=x−y 2= 22ex−x+2024，
设fx=ex−x+2024，则f′x=ex−1，
当x0；
函数fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
所以f(x)min=f0=2025，
所以d(x)min=2025 22,|PQ|min=2025 2，所以dM,N=2025 2.
方法二：函数y=ex与y=lnx互为反函数，
函数y=ex图象上任意点与y=lnx图象上任意点之间的最小值恰好等于点0,1与1,0之间的距离，
y=ex图象向上平移2024个单位得到y=ex+2024的图象，
y=lnx图象向右平移2024个单位得到y=lnx−2024的图象.
从而dM,N就等于点0,2025与点2025,0的距离，故dM,N=2025 2.
故答案为：2025 2.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
(1)找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
(2)由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
(3)将已知条件代入新定义的要素中；
(4)结合数学知识进行解答.
15.【答案】【小问1详解】
角度一：∵第一次摸到白球，∴第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，∴所求概率P=14.
角度二：设A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”，
则PA=25，PAB=2×15×4=110 .
∴所求概率P=PBA=PABPA=110×52=14；
【小问2详解】
X的所有可能取值为0,1,2,3.
PX=0=353=27125，PX=1=C31⋅25⋅352=54125，
PX=2=C32⋅252⋅35⋅=36125，PX=3=253=8125，
X的分布列为：
∵X∼B3,25，∴X的均值EX=3×25=65.

【解析】【解析】
【分析】(1)根据条件概率公式的定义或者公式，即可求解；
(2)首先写出随机变量的取值，再根据取值的意义，写出概率，即可求出分布列和数学期望.
16.【答案】【小问1详解】
∵f(x)=(x+a)ex，∴f(0)=a，
又∵f′(x)=(x+a+1)ex,k=f′(0)=a+1，
∴函数fx的图象在点T0,f0处的切线方程为y−a=a+1x，
即y=a+1x+a.
【小问2详解】
∵函数fx的定义域为R，且f′x=x+a+1ex，
∴x0，
∴fx在−∞,−a−1上单调递减，在−a−1,+∞上单调递增，
∴f(x)min=f(x)极小=f(−a−1)=−1ea+1