九年级数学下册专题01比例系数K的两种考法(原卷版+解析)(人教版)

这是一份九年级数学下册专题01比例系数K的两种考法(原卷版+解析)(人教版)，共33页。试卷主要包含了求K的值，根据K求面积等内容，欢迎下载使用。
例．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，C，D两点在反比例函数的图象上，轴于点E，轴于点F，，，的长度为，则的值是（ ）

A．8B．11C．15D．16
【变式训练1】．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、C、E、F，且，连接恰好经过点D，则k的值是（ ）

A．4B．8C．D．
【变式训练2】．如图，在中，对角线交于点，双曲线经过两点，若的面积为18，则的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲线第一和第三象限的两支上，连接，线段恰好经过原点O，以为腰作等腰三角形，，点C落在第四象限中，且轴，过点C作交x轴于E点，交双曲线第一象限一支于D点，若的面积为，则k的值为（ ）

A．2B．3C．4D．
【变式训练4】．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在第二象限，轴，，且，于E，．反比例函数，与边交于点F，连接．若，则k的值为（ ）

A．B．C．7D．
类型二、根据K求面积
例．如图，过点作直线与双曲线交于，两点，过点作轴于点，作轴于点，在轴、轴上分别取点，，使点，，在同一条直线上，且，设图中矩形的面积为，的面积为，则，的数量关系是 ．

【变式训练1】．如图，、两点在双曲线上，、两点在双曲线上，若轴，且，则的面积为
．

【变式训练2】．如图，已知直线交轴于点，分别与函数和的图象相交于点，，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，若，，则 ．

【变式训练3】．如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．

课后训练
1．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，连接，则的面积为（ ）

A．4B．3C．D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形（）交反比例函数的图象于点D，E．点D的坐标为．连接．若，则的值为

3．如图，点、、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4……，过这些点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为、、……，则 ．
4．如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．

5．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线对称后的图象经过直线上的点，则线段的长度为 ．

6．如图，，反比例函数，在直角坐标系中A点坐标为，若反比例函数与直角三角形的边有公共点，则k的取值范围为 ．

7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，轴，点在反比例函数的图象上，，若，，则的值为 ．

8．如图平面直角坐标系中放置绕点转动，、所在直线分别交轴、轴正半轴于点，点在上．当均为正整数时，则 ．
9．如图，反比例函数的图象分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值．

专题01 比例系数K的两种考法
类型一、求K的值
例．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，C，D两点在反比例函数的图象上，轴于点E，轴于点F，，，的长度为，则的值是（ ）

A．8B．11C．15D．16
【答案】C
【分析】由反比例函数的性质可知，，结合和可求得的值．
【详解】解：连接、、、，如图：

由反比例函数的性质可知，，
，
①，
，
②，
由①②两式得：，
解得，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练1】．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、C、E、F，且，连接恰好经过点D，则k的值是（ ）

A．4B．8C．D．
【答案】C
【分析】通过证明，得出，则，根据反比例函数k值的几何意义得出，则，进而得出，根据图象经过第四象限，即可得出．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，则，
∵点A在反比例函数的图象上，轴，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，轴，
∴，
由图可知，图象经过第四象限，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，反比例函数k值的几何意义，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及反比例函数k值的几何意义．
【变式训练2】．如图，在中，对角线交于点，双曲线经过两点，若的面积为18，则的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】分别过点、作、垂直于轴于、，先求出，再由平行四边形面积公式求出即可．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，
设，，
则，，，，，，
、在双曲线上，
三角形与三角形的面积相等，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，即，
，
，根据三角形的中位线，可得，
，
平行四边形的面积，
，，即；
故选：B．
【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的中位线定理，反比例函数的性质等知识点的理解和掌握，解题的关键是根据这些性质正确地进行计算．
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲线第一和第三象限的两支上，连接，线段恰好经过原点O，以为腰作等腰三角形，，点C落在第四象限中，且轴，过点C作交x轴于E点，交双曲线第一象限一支于D点，若的面积为，则k的值为（ ）

A．2B．3C．4D．
【答案】A
【分析】设，，则，根据已知条件，求出，，，根据，即可求出，连接，设与轴交于点，根据已知条件证明，得出，根据已知条件证明，过点A作轴于点M，求出，即可求出k的值．
【详解】解：设，，，
∵，轴，
，
设AB的函数关系式为：，把代入得：，
解得：，
∵，
，
设的关系式为：，把代入得：，
解得：，
∴的关系式为：，
联立，
解得：或，
∵点D在第一象限，
∴，
，
连接，设与轴交于点，
，
∵，
，
为的中点，，
，
，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
过点A作轴于点M，
∵，，，
∴，
，
，
，
∴．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，求出，是解题的关键．
【变式训练4】．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在第二象限，轴，，且，于E，．反比例函数，与边交于点F，连接．若，则k的值为（ ）

A．B．C．7D．
【答案】A
【分析】延长交轴于点，过点作轴于点,根据已知可得轴;利用可得，得到;利用，四边形是菱形，可得．设，则，由勾股定理可得，，可得点坐标为，所以．由于为矩形，，可得点的坐标为，利用，列出关于的方程，求得的值，的值即可求出．
【详解】延长交轴于点，过点作轴于点，如图：

轴，，
轴
，
．
，
在和中，
四边形是菱形，，
设，则
．
反比例函数的图象经过点，
,
四边形为矩形．
点在反比例函数的图象上，
，
，
,
，解得：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示出相应点的坐标是解题的关键．
类型二、根据K求面积
例．如图，过点作直线与双曲线交于，两点，过点作轴于点，作轴于点，在轴、轴上分别取点，，使点，，在同一条直线上，且，设图中矩形的面积为，的面积为，则，的数量关系是 ．

【答案】
【分析】过点作轴于点，根据反比例函数图象系数的几何意义即可得出，，再根据中位线的性质可得出，由此即可得出，的数量关系．
【详解】过点作轴于点，如图所示，

∵轴，轴，轴，
∴，，
∵，轴，轴，
∴，，
∴，∴，即，
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数图象系数的几何意义以及三角形的中位线，根据反比例函数图象系数的几何意义找出、是解题的关键．
【变式训练1】．如图，、两点在双曲线上，、两点在双曲线上，若轴，且，则的面积为
．

【答案】/
【分析】如图，过点作轴于点，作轴于点，过点作轴于点，则四边形是矩形，设，，得到点和点的坐标，得到和的长，然后由列出方程，化简得到与的关系，最后用割补法求得的面积即可．
【详解】解：如图，过点作轴于点，作轴于点，过点作轴于点，则四边形是矩形，

设，，
点，，，，
，，，，，
，
，
化简得，，
，
点和点在反比例函数上，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，切割法求多边形的面积，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
【变式训练2】．如图，已知直线交轴于点，分别与函数和的图象相交于点，，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，若，，则 ．

【答案】
【分析】根据同底等高的三角形面积相等以及反比例函数系数的几何意义得出，然后根据，，即可求得的面积．
【详解】解：连接，，，延长交轴于，

∵同底等高的三角形面积相等
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积以及不同底等高是三角形面积的关系，证得是解题的关键．
【变式训练3】．如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．

【答案】 2
【分析】根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
过点B作轴于点D，交于点E，
∵，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，
∴，整理得：，
令，则，解得：（舍），，
∵，∴，即，∴，
故答案为：，2．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用面积关系建立方程．
课后训练
1．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，连接，则的面积为（ ）

A．4B．3C．D．
【答案】D
【分析】设 ，则的中点为 即可求得 表示出的坐标， 即可表示出，利用三角形面积公式求得
【详解】∵动点在反比例函数的图象上,
∴设 ，则的中点为 ，
的图象经过点，，，
∵过点作轴交函数的图象于点,∴的纵坐标
把 代入得, ，
，
，
故选:.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数的几何意义，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标.
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形（）交反比例函数的图象于点D，E．点D的坐标为．连接．若，则的值为

【答案】
【分析】根据四边形为矩形，证明，得出点E坐标，再根据点E和点D都在反比例函数图像上列关于k的等式即可求解；
【详解】∵四边形为矩形，
又
，
点D的坐标为
故
∴点坐标为，
∵两点都在反比例函数图像上，
∴，
解得：或，
∵反比例函数在第一象限，
故答案为：．
【点睛】该题主要考查了反比例函数的图像和性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是数形结合．
3．如图，点、、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4……，过这些点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为、、……，则 ．
【答案】/
【分析】根据反比例函数的几何意义，求出的坐标，再用平移法和反比例函数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：当，，
∴，
由图象可知：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的面积问题．熟练掌握反比例函数的几何意义，利用平移法解决面积问题是解题的关键．
4．如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．

【答案】24
【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵Q为的中点，
∴，
∴，
∵Q在反比例函数的图象上，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵P在上，
∴P点纵坐标为，
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点横坐标为，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线对称后的图象经过直线上的点，则线段的长度为 ．

【答案】或/或
【分析】根据题意求得反比例函数解析式为，得到和，根据反比例函数的对称轴的平移规律得到反比例函数上的点的平移规律，即可根据勾股定理求得两点间距离，
【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为1，
故将代入一次函数得，故点，
将代入反比例函数，得，故反比例函数的解析式为；
令，整理得，解得，，
将代入一次函数得，故点；
故点与点关于直线对称，
∵反比例函数关于直线对称，
则直线关于直线对称后的图像为直线；
令反比例函数的图像关于直线对称后的图象为，的图象关于直线对称
故的图象可以看做是由反比例函数进行平移得到，
原点关于直线的对称点，如图：

故直线可以看做直线每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到（或向右下45度防线平移个单位），
则的图象可以看做是由反比例函数图象上每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到（或向右下45度防线平移个单位），
则点平移之后的坐标为，
点平移之后的坐标为，
即反比例函数的图像关于直线对称后的图象经过直线上的点的坐标为或，
线段的长度为，或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点坐标，一次函数的平移，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．如图，，反比例函数，在直角坐标系中A点坐标为，若反比例函数与直角三角形的边有公共点，则k的取值范围为 ．

【答案】
【分析】由中的关系式可求得点B、点C的坐标，由此可求得直线AC的解析式．的边与反比例函数有公共点，则先可求出点B与反比例函数图像有公共点时的最小k值， 再设反比例函数与线段相交于点时k值最大，则，由知当时，k值最大，最大值为．由此确定了k的取值范围．
【详解】如图．

解：∵
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线为，
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点B相交时，最小，
设反比例函数与线段相交于点时k值最大，
则，
∵，
∴当时，k值最大，
因此，k的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数等知识点，解题的关键是熟练运用这些函数的性质．
7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，轴，点在反比例函数的图象上，，若，，则的值为 ．

【答案】
【分析】过点作轴于点，设，，证明为等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质和三线合一，得到，根据，以及反比例函数图象上的点的坐标特点，进行求解即可．
【详解】解：如图，过点作轴于点，设，，

∵轴，，
∴轴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，， ，
∴，，，
∵轴，轴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，主要考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，以及反比例函数图象上的点的特征，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想解题是关键．
8．如图平面直角坐标系中放置绕点转动，、所在直线分别交轴、轴正半轴于点，点在上．当均为正整数时，则 ．
【答案】或
【分析】如图，将线段绕点P逆时针旋转90°得到线段．连接，点N是的中点．求出直线的解析式，求出a,b的关系，根据整数解解决问题．
【详解】解：如图，将线段绕点P逆时针旋转90°得到线段．连接，点N是的中点．过点M作垂直交于点H,过点A作垂直于于点J;
又
，
又

，，
，
点M的横坐标为：
纵坐标为：

直线的解析式为：,
点B在射线上，
，
∵均为正整数，
或 ，
点
或，
点C在上，
或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会有添加常用辅助线，构造等腰直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．如图，反比例函数的图象分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值．

【答案】
【分析】证明，可得，从而得到，设，则，根据勾股定理可得，从而得到点D的坐标为，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵点坐标为，
∴，
∴，，
∴，
解得：，，舍去，
∴，
即点D的坐标为，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及反比例函数系数k的几何意义、正方形和等边三角形的性质、勾股定理等，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点．