山东省青岛市2024届高三年级第三次适应性检测考试(青岛三模)数学

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1. 已知复数 z 满足 z-11-i=i ,则 z 的虚部为（ ）
A. -i B. i C. -1 D. 1
2. 已知命题 p:∀x∈0,π2,sinxx B. ∃x∈0,π2,sinx>x
C. ∃x∉0,π2,sinx≥x D. ∃x∈0,π2,sinx≥x
3. 为了得到 y=sin2x+cs2x 的图象,只要把 y=2cs2x 的图象上所有的点（ ）
A. 向右平行移动 π8 个单位长度 B. 向左平行移动 π8 个单位长度
C. 向右平行移动 π4 个单位长度 D. 向左平行移动 π4 个单位长度
4. 某校高一有学生 980 人,在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 X 服从正态分布 N100,σ2 ,已知 P900 的左,右焦点分别为 F1,F2 ,左、右顶点分 别为 A,B ,焦距为 2c ,以 F1F2 为直径的圆与椭圆 E 在第一和第三象限分别交于 M,N 两点. 且NM⋅AB=23ac ,则椭圆 E 的离心率为（ ）
A. 22 B. 2 C. 33 D. 63
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分
9. 某新能源车厂家 2015 - 2023 年新能源电车的产量和销量数据如下表所示
记“产销率” = 销量 产量 ×100%,2015-2023 年新能源电车产量的中位数为 m ,则（ ）
A. m=18.7
B. 2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率与年份正相关
C. 从 2015 -2023 年中随机取 1 年,新能源电车产销率大于 100% 的概率为 29
D. 从 2015 -2023 年中随机取 2 年,在这 2 年中新能源电车的年产量都大于 m 的条件下,这 2 年中新能源电车的产销率都大于 70% 的概率为 16
10. 已知动点 M,N 分别在圆 C1:x-12+y-22=1 和 C2:x-32+y-42=3 上,动点 P 在 α 轴上, 则（ ）
A. 圆 C2 的半径为 3
B. 圆 C1 和圆 C2 相离
C. PM+PN 的最小值为 210
D. 过点 P 做圆 C1 的切线,则切线长最短为 3
11. 若有穷整数数列 An:a1,a2,⋯ann≥3 满足: ai+1-ai∈{-1,2}i=1,2,⋯,n-1 ,且 a1=a , =0 ,则称 An 具有性质 T .则（ ）
A. 存在具有性质 T 的 A4
B. 存在具有性质 T 的 A5
C. 若 A10 具有性质 T ,则 a1,a2,⋯,a9 中至少有两项相同
D. 存在正整数 k ,使得对任意具有性质 T 的 Ak ,都有 a1,a2,⋯,ak-1 中任意两项均不相同
三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知等差数列 an 的公差 d≠0 ,首项 a1=12,a4 是 a2 与 a8 的等比中项,记 Sn 为数列 an 的 前 n 项和,则 S20= _________.
13. 如图,函数 fx=3sinωx+φω>0,00 的左、右焦 点分别为 F1,F2,E 的离心率为 2 点 P 为 E 右支上一动点,直线 m 与曲线 E 相切于点 P 且与 E 的 渐近线交于 A,B 两点. 当 PF2⊥x 轴时,直线 y=1 为 △PF1F2 的等线
(1) 求 E 的方程;
(2) 若 y=2x 是四边形 AF1BF2 的等线,求四边形 AF1BF2 的面积;
(3) 设 OG=13OP ,点 G 的轨迹为曲线 Γ ,证明: Γ 在点 G 处的切线 n 为 △AF1F2 的等线
19. (17 分)
已知 O 为坐标原点,曲线 fx=alnx 在点 P1,0 处的切线与曲线 gx=ex+b 在点 Q0,1+b 处的切线平行,且两切线间的距离为 2 ,其中 b≥0 .
(1) 求实数 a,b 的值;
(2) 若点 M,N 分别在曲线 y=fx,y=gx 上,求 ∠ONP 与 ∠OMQ 之和的最大值;
(3) 若点 A,B 在曲线 y=fx 上,点 C,D 在曲线 y=gx 上,四边形 ABCD 为正方形,其面 积为 S ,证明: S>2e-122
附:ln2 ≈ 0.693.
2024青岛三模数学试题
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1-8: CDAC BCBD
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. ACD 10. BD 11. ACD
三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 105 ; 13. fx=3sinπ2x+5π6 ; 14. 109 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤
15. (13 分)
解: (1) 因为 A,B,C 为 △ABC 的内角,
所以 sinB+C=sinA 1分
因为 sin2A2=1-csA2 .2分
所以 sinB+C=23sin2A2 可化为: sinA=31-csA 3分
即 sinA+3csA=3 4分
即 2sinA+π3=3 5分
因为 A+π3∈π3,4π3 ,解得: A=π3 6分
（2）由三角形面积公式得 12b⋅csinA=12×3217a ,所以 a=72c 9分
由余弦定理 a2=b2+c2-2bccsA 得: c2+4c-12=0 11分
解得: c=2 或 c=-6 舍去
所以 △ABC 的周长为 5+7 13分
16. (15 分)
解: (1) 根据列联表中的数据, 经计算得到:
χ2=100×15×35-5×45260×40×80×20≈3.278>2.706=x0.1 3分
根据小概率值 α=0.1 的独立性检验,可以认为性别与身高有关联 4分
（2）由题可知 X 的可能取值为 0,1,2,3 ,
PX=0=C103C153=2491, PX=1=C51C102C153=4591,
PX=2=C52C101C153=2091, PX=3=C53C153=291, 8分
所以 X 的分布列为:
所以 EX=0×2491+1×4591+2×2091+3×291=1 ,
所以 X 的数学期望为 1 10分
(3)由题,18 名男生身高数据的平均数 z=49×166.5+59×180=174 11分
18 名男生身高数据的方差 s2=118i=18xi-z2+i=110yi-z2
=118i=18xi-x+x-z2+i=110yi-y+y-z2
=118i=18xi-x2+8x-z2+i=110yi-y2+10y-z2
=49×s1​2+x-z2+59×s2​2+y-z2
=59
所以, 该中学男生身高数据的平均数约为 174 , 方差约为 59
17. (15 分)
解: (1) 取 AB,CD 中点 K,Q ,连接 FK,KQ,QE ,则 O 为 KQ 的中点,
因为侧面 ADEF 是等腰梯形,所以 EF//AD ,又 KQ//AD ,所以 KQ//EF 1分 又 FK=EQ ,所以四边形 FKQE 为等腰梯形
因为点 M 为 EF 的中点,所以所以 MO⊥KQ .2分
因为 △ABF 是等边三角形,所以 AB⊥FK 3分
又 AB⊥KQ ,所以 AB⊥ 平面 FKQE
所以平面 FKQE⊥ 平面 ABCD 故 MO⊥ 平面 ABCD
(2)在梯形 FKQE 中, EF=4,KQ=2 , FK=EQ=3 ,由勾股定理得 MO=2 , 取 BC 中点 N ,由 (1) 知, OK,ON,OM 两两垂直,以 O 为原点,分别以 OK,ON,OM 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示 空间直角坐标系,
则 O0,0,0,M0,0,2,K1,0,0,C-1,1,0,A1,-1,0B1,1,0,E-2,0,2
设平面 ABM 的法向量为 n=x,y,z,AB=0,2,0,AM=-1,1,2 ,
则 n⋅AB=2y=0n⋅AM=-x+y+2z=0 ,则令 z=1 ,得 n=2,0,1
设 CP=λCE0≤λ≤1,BP=BC+CP=BC+λCE=-2-λ,-λ,2λ 设直线 BP 与平面 ABM 所成角为 θ , 所以 sinθ=cs=BP⋅nBP⋅n=2234λ2+4λ+4=24221 .
解得 λ=12 (负值舍去),所以点 P 为棱 CE 的中点,所以 EP 的长为 1.
18. (17 分)
解: (1) 由题意知 Pc,b2a,F1-c,0,F2c,0 ,显然点 P 在直线 y=1 的上方,
因为直线 y=1 为 △PF1F2 的等线,所以 b2a-1=2,e=ca=2,c2=a2+b2 2分 解得 a=1,b=3 ,所以 E 的方程为 x2-y23=1 ·4分
（2）设 Px0,y0 ,切线 m:y-y0=kx-x0 ,代入 x2-y23=1 得:
3-k2x2+2kkx0-y0x-k2x02+y02-2kx0y0+3=0,
所以 Δ=2kkx0-y02+43-k2k2x0​2+y0​2-2kx0y0+3=0 ,
该式可以看作关于 k 的一元二次方程 x0​2-1k2-2x0y0k+y0​2+3=0 ,
所以 k=x0y0x02-1=x0y01+y023-1=3x0y0 ,即 m 方程为 x0x-y0y3=1*
当 m 斜率不存在时,也成立 6分
渐近线方程为 y=±3x ,不妨设 A 在 B 上方,
联立得 xA=1x0-y03,xB=1x0+y03 ,故 xA+xB=1x0-y03+1x0+y03=2x0 ,
所以 P 是线段 AB 的中点 .7分
因为 F1,F2 到过 O 的直线距离相等,则过 O 点的等线必满足: A,B 到该等线距离相等 且分居两侧,所以该等线必过点 P ,即 OP 的方程为 y=2x ,
由 y=2xx2-y23=1 ,解得: P3,6 .9分
所以 yA=3xA=3x0-y03=33x0-y0=6+3 ,
所以 yB=-3xB=-3x0+y03=-33x0+y0=6-3 ,
所以 yA-yB=6 ,所以 SABCD=12F1F2⋅yA-yB=2yA-yB=12 11分
（3）设 Gx,y ,由 OG=13OP ,所以 x0=3x,y0=3y ,
故曲线 Γ 的方程为 9x2-3y2=1x>0 12分
由 (*) 知切线为 n 为 9x03x-3y0y3=1 ,即 x0x-y0y3=13 即 3x0x-y0y-1=0 13分
易知 A 与 F2 在 n 的右侧, F1 在 n 的左侧,分别记 F1,F2,A 到 n 的距离为 d1,d2,d3 , 由 (2) 知 xA=1x0-y03,yA=3⋅1x0-y03=3x0-y03 ,
所以 d3=3x0x0-y03-3y0x0-y03-19x02+y02=3x0-3y0-x0+y03x0-y039x02+y02=2x0-2y03x0-y039x02+y02=29x02+y02
由 x0≥1 得 d1=-6x0-19x02+y02=6x0+19x02+y02,d2=6x0-19x02+y02=6x0-19x02+y02 15分
因为 d2+d3=6x0-19x02+y02+29x02+y02=6x0+19x02+y02=d1 ,
所以直线 n 为 △AF1F2 的等线 .17分
19. (17 分)
解: (1) 因为 f'x=ax ,所以 f'1=a ,又因为 g'x=ex ,所以 g'0=1 ,
解得 a=1 1 分
所以 fx 在 1,0 处的切线方程为: y=ax-1=x-1 ,
所以 gx 在 0,1+b 处的切线方程为: y=x+1+b ,
所以 2=2+b2=2+b2 ,解得 b=0 3分
（2）(法一) 由（1）知： P1,0,Q0,1 ,记直线 NP,ON 的倾斜角分别为 α,β ,斜率分 别为 k1,k2 ,所以 ∠ONP=α-β ,设 Nx,ex,x≠0 且 x≠1 ,
所以 tan∠ONP=tanα-β=k1-k21+k1k2=exx-1-exx1+exx-1⋅exx=exx2-x+e2x 5分
令 mx=exx2-x+e2xx≠0,x≠1 ,则 m'x=exx2-3x+1-e2xx2-x+e2x2 ,
当 x>0 时,设函数 nx=ex-x-1 ,则 n'x=ex-1>0 ,
所以 nx 在 0,+∞ 单调递增,所以 nx≥n0=0 ,即 ex≥x+1>1 ,
所以 x2-3x+1-e2x≤x2-3x+1-x+12=-5x0 ,
所以 hx 在 0,+∞ 单调递增,
故 h12=e-ln2-1