江苏省镇江市润州区2023-2004学年九年级下学期第二次中考模拟数学试卷

这是一份江苏省镇江市润州区2023-2004学年九年级下学期第二次中考模拟数学试卷，共30页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．4的平方根是 ．
2．分解因式：2a3﹣8a＝ ．
3．若x+2y＝5，则3x+6y﹣1的值是 ．
4．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
5．计算+的结果是 ．
6．一种新型材料长度为0.3nm，用科学记数法来表示0.3nm＝ m．
7．若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是 ．
8．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．
9．如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 cm．（结果保留π）
10．如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为 ．
11．如图，一次函数y＝x+3与反比例函数的图象交于A、B两点，则点A到原点O的距离为 ．
12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，，点O是对称中心，点P、Q分别在边AD、BC上，且PQ经过点O．将该纸片沿PQ折叠，使点A、B分别落在点A′、B′的位置，则△BA′B′面积的最大值为 ．
二、选择题
13．下列运算正确的是（ ）
A．a•a＝2aB．（a+1）2＝a2+1
C．（2a）3＝6a3D．a2•2a3＝2a5
14．不等式2x﹣3≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
15．学校男子篮球队的12位队员的身高如表：
这12位队员身高的中位数是（ ）
A．176cmB．178cmC．179cmD．180cm
16．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3B．2，9C．4，18D．4，27
17．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（ ）
A．10尺B．5尺C．10尺或2尺D．5尺或4尺
18．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
三、解答题
19．（1）计算：|﹣3|﹣2﹣1+；
（2）解分式方程：．
20．先化简、再求值：，其中．
21．如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同．
（1）若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是 ；
（2）若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率．
22．在跨学科学习成果现场展示活动中，为了解学生最喜爱的初中数学学习项目，随机抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一个项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查的学生有 人，补全统计图①；
（2）图②中扇形C的圆心角为 °；
（3）已知参加展示活动的学生共有2000人，估计最喜爱“枕河人家”项目的学生人数．
23．某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．
如图，①分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接AC，BC，AD，作射线BD；③以D为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BD于点E；④连接CE，交AB于点F．点F即为AB的一个三等分点（即AF＝AB）．
学习任务：
（1）填空：四边形ADBC的形状是 ；你的依据是 ；
（2）证明：AF＝AB．
24．如图，四边形OABC为菱形，且点A在x轴正半轴上，点C的坐标为（3，4），反比例函数的图象经过点C，且与边AB交于点D．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）判断点D是否为边AB的中点，并说明理由．
25．图1是某住宅楼单元门的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）欢欢站在离摄像头水平距离130cm的点C处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线），问欢欢的身高约是多少厘米？
（2）身高148cm的乐乐，头部长度为17cm，踮起脚尖可以增高4cm．他需要站在距离点O多远的区域内才能被识别到？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27）
26．如图1，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AC上一点，AE∥BC交CD延长线于点E．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）如图2，连接BD，BD恰好过圆心，过点A作AG⊥BD于G，过点C作CF⊥BD于F．
①求证：△ABG≌△ACE；
②若GF＝2，DF＝1，求BD的长．
27．在平面直角坐标系，二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）已知点M（1，1﹣a），N（3，﹣3）．
①若函数图象恰好经过点M，求a的值；
②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
28．数学的思考
如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（3，5），试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得∠APB最大，并求出此时点P的坐标．
数学的眼光
（1）如图①，请说明∠AP1B＞∠AP2B1；
数学的表达
（2）如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段AB的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及AC＝PC，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；
（3）如图③，延长线段BA交x轴于点D，连接BP、AP，当⊙C与DP相切时，通过求DP的长可得到点P的坐标，请写出具体的过程；
（4）如图④，已知线段AB，用尺规在射线MN上作出点P，使得∠APB最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
2024年江苏省镇江市润州区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．4的平方根是 ±2 ．
【分析】一个数x的平方等于a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．
【解答】解：∵22＝4，（﹣2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．分解因式：2a3﹣8a＝ 2a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．若x+2y＝5，则3x+6y﹣1的值是 14 ．
【分析】将3x+6y﹣1转化为3（x+2y）﹣1再整体代入计算即可．
【解答】解：∵x+2y＝5，
∴3x+6y﹣1＝3（x+2y）﹣1＝3×5﹣1＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了代数式求值，整体代入是解答本题的关键．
4．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
5．计算+的结果是 ．
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝+2
＝3．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
6．一种新型材料长度为0.3nm，用科学记数法来表示0.3nm＝ 3×10﹣10 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.3nm用科学记数法表示为0.3nm×0.000000001m＝3×10﹣10m．
故答案为：3×10﹣10．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是 2π ．
【分析】直接利用圆锥的侧面积公式计算即可．
【解答】解：∵圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，
∴S侧＝πrl＝2×1×π＝2π，
故答案为：2π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积计算公式，牢记公式是解答本题的关键，难度不大．
8．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 26 米．
【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2.4，AE＝10米，AE⊥BD，
∵i＝＝，
∴BE＝24米，
∴在Rt△ABE中，AB＝＝26（米）．
故答案为：26．
【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．
9．如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 4π cm．（结果保留π）
【分析】直接根据弧长公式计算即可．
【解答】解：砝码被提起了：＝4π（cm）．
故答案为：4π．
【点评】本题考查了弧长的计算，关键是熟练掌握弧长公式．
10．如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为 ．
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D．根据格点和勾股定理先求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD、AD，最后求出∠BAC的正切．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
由格点三角形可知：AC＝＝3，
AB＝＝．
∵S△ABC＝•3•3﹣•3•2
＝﹣3
＝，
S△ABC＝AC•BD
＝•3•BD
＝•BD．
∴•BD＝，
∴BD＝．
∴AD＝
＝
＝．
∴tan∠BAC＝
＝÷
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
11．如图，一次函数y＝x+3与反比例函数的图象交于A、B两点，则点A到原点O的距离为 5 ．
【分析】联立方程组求出交点坐标，再根据勾股定理计算OA长即可．
【解答】解：联立方程组得，解得，
∴A（，）
∴AO＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，，点O是对称中心，点P、Q分别在边AD、BC上，且PQ经过点O．将该纸片沿PQ折叠，使点A、B分别落在点A′、B′的位置，则△BA′B′面积的最大值为 + ．
【分析】如图，连接AC，BD交于点O，连接OB′，过点O作OH⊥A′B′于点H．求出OH的值，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，过点O作OH⊥A′B′于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，
∵AB＝1，BC＝，
∴AC＝＝＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OB′＝1，
∵OP＝OQ，OH∥PA′∥QB′，
∴A′H＝HB′，
∴OH＝（PA′+QB′）＝（PA+BQ）＝（PA+PD）＝，
∴当B，O，H共线时，△BA′B′的面积最大，最大值为×1×（1+）＝+．
故答案为：+．
【点评】本题考查中心对称，三角形的面积，矩形的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、选择题
13．下列运算正确的是（ ）
A．a•a＝2aB．（a+1）2＝a2+1
C．（2a）3＝6a3D．a2•2a3＝2a5
【分析】利用同底数幂的运算、完全平方公式、积的乘方进行计算逐一判断即可．
【解答】解：A．a•a＝a2，故本选项不符合题意；
B．（a+1）2＝a2+1+2a，故本选项不符合题意；
C．（2a）3＝8a3，故本选项不符合题意；
D．a2•2a3＝2a5，故本选项符合题意．
故选D．
【点评】本题主要考查完全平方公式、积的乘方及幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点是解题的关键．
14．不等式2x﹣3≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】移项，合并同类项，系数化成1，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得：2x≥1+3，
合并同类项得：2x≥4，
系数化成1得：x≥2，
将解集在数轴上表示为：
，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．
15．学校男子篮球队的12位队员的身高如表：
这12位队员身高的中位数是（ ）
A．176cmB．178cmC．179cmD．180cm
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：12÷2＝6，第六，七位队员身高分别是178cm，180cm，
∴12位队员身高的中位数是＝179（cm），
故选：C．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
16．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3B．2，9C．4，18D．4，27
【分析】利用平均数、方差的定义和性质直接求解．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，
∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为：3×2﹣2＝4，方差为：32×3＝27．
故选：D．
【点评】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握若数据x1，x2，……，xn的平均数是，方差为s2，则新数据ax1+b，ax2+b，……，axn+b的平均数为a+b，方差为a2s2．
17．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（ ）
A．10尺B．5尺C．10尺或2尺D．5尺或4尺
【分析】设竿长为x尺，则门对角线的长为x尺，门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设竿长为x尺，则门对角线的长为x尺，门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，
解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10，
即竿长10尺，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【分析】以EC为边作等边△ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证BN＝MH，证明△FEH≌△GEC（SAS），可得FH＝GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，以EC为边作等边△ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH＝BN，
∵BE＝2，
∴EC＝3，
∵△ECH是等边三角形，HN⊥BC，
∴EC＝EH＝3，EN＝NC＝1.5，∠HEC＝60°，
∴BN＝3.5＝MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC，
∴∠FEH＝∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
，
∴△FEH≌△GEC（SAS），
∴FH＝GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH＝HM＝3.5，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题
19．（1）计算：|﹣3|﹣2﹣1+；
（2）解分式方程：．
【分析】（1）利用绝对值的性质，负整数指数幂，立方根的定义计算即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣+2
＝；
（2）原方程去分母得：1﹣2x＝5x+15，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+3）（1﹣2x）≠0，
故原方程的解为x＝﹣2．
【点评】本题考查实数的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
20．先化简、再求值：，其中．
【分析】根据分式的乘法运算法则，进行约分计算，最后再通分算减法；将 x的值代入化简后的式子求出结果即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当．
原式＝＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解是解题关键．
21．如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同．
（1）若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是 ；
（2）若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种，
∴这辆车直行的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果有：（向左转，向右转），（向右转，向左转），共2种，
∴这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．在跨学科学习成果现场展示活动中，为了解学生最喜爱的初中数学学习项目，随机抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一个项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查的学生有 120 人，补全统计图①；
（2）图②中扇形C的圆心角为 54 °；
（3）已知参加展示活动的学生共有2000人，估计最喜爱“枕河人家”项目的学生人数．
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次抽样调查的学生人数．求出C项目的人数，补全统计图①即可．
（2）用360°乘以C项目的人数所占的百分比可得答案．
（3）根据用样本估计总体，用2000乘以样本中C项目的人数所占的百分比可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，此次抽样调查的学生有36÷30%＝120（人）．
故答案为：120．
C项目的人数为120﹣36﹣30﹣6﹣30＝18（人）．
补全统计图①如图所示．
（2）图②中扇形C的圆心角为360°×＝54°．
故答案为：54．
（3）2000×＝300（人）．
∴估计最喜爱“枕河人家”项目的学生人数约300人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
23．某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．
如图，①分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接AC，BC，AD，作射线BD；③以D为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BD于点E；④连接CE，交AB于点F．点F即为AB的一个三等分点（即AF＝AB）．
学习任务：
（1）填空：四边形ADBC的形状是 菱形 ；你的依据是 四条边相等的四边形为菱形 ；
（2）证明：AF＝AB．
【分析】（1）利用菱形的判定与性质解答即可；
（2）利用菱形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）由作法可知：AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ADBC的形状是菱形，
依据是：四条边相等的四边形为菱形；
故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形；
（2）证明：∵四边形ADBC的形状是菱形，
∴AC∥BE，
∴△AFC∽△BFE，
∴＝，
∵AC＝BD，BD＝DE，
∴BE＝2AC，
∴，
∴FB＝2AF，
∴AB＝3AF．
∴AF＝．
【点评】本题主要考查了基本作图，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．如图，四边形OABC为菱形，且点A在x轴正半轴上，点C的坐标为（3，4），反比例函数的图象经过点C，且与边AB交于点D．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）判断点D是否为边AB的中点，并说明理由．
【分析】（1）根据点C坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点B坐标即可；
（2）先求出线段AB的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可．
【解答】解：（1）∵点C的坐标为（3，4），反比例函数的图象经过点C，
∴k＝12，OC＝5，
∴B（8，4），A（5，0），
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为：y＝，
∵A（5，0），B（8，4），
∴线段AB的中点坐标为（，2），
在反比例函数y＝中，当x＝时，y＝＝≠2，
∴点D不是边AB的中点，
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键．
25．图1是某住宅楼单元门的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）欢欢站在离摄像头水平距离130cm的点C处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线），问欢欢的身高约是多少厘米？
（2）身高148cm的乐乐，头部长度为17cm，踮起脚尖可以增高4cm．他需要站在距离点O多远的区域内才能被识别到？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27）
【分析】（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根据三角函数求出EF即可求出CE，进而可求出欢欢的身高；
（2）若乐乐站在G处踮起脚尖时头的下部正好位于俯角线上，过G点垂直于OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，可求出GN，进而求出PN，在Rt△APN中，利用三角函数可求出AP，从而解决问题．
【解答】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，
tan∠EAF＝，
∴EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），
由题意，知∠AOB＝∠OAF＝∠FCO＝90°，
∴四边形AOCF是矩形，
∴CF＝OA＝160cm，
∴CE＝CF+EF＝160+35.1＝195.1（cm），
∴欢欢的身高约是195.1厘米；
（2）乐乐踮起脚尖后应站在距摄像头水平距离不小于92.6cm，不大于150cm的区域内才能被识别到．
理由：如图，若乐乐站在G处踮起脚尖时头的下部正好位于俯角线上，过G点垂直于OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，
则GN＝148+4﹣17＝135（cm），
此时PN＝160﹣135＝25（cm），
在Rt△APN中，
tan∠NAP＝，
∴AP＝＝≈92.6（cm），
即乐乐踮起脚尖后应站在距摄像头水平距离不小于92.6cm，不大于150cm的区域内才能被识别到．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
26．如图1，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AC上一点，AE∥BC交CD延长线于点E．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）如图2，连接BD，BD恰好过圆心，过点A作AG⊥BD于G，过点C作CF⊥BD于F．
①求证：△ABG≌△ACE；
②若GF＝2，DF＝1，求BD的长．
【分析】（1）首先推导出＝，结合AM过圆心，得到AM⊥BC，利用∠MAE＝∠AMB＝90°，推导出AE⊥AO，AO为半径，即可得证；
（2）①利用∠AGB＝∠AEC，∠ABG＝∠ACE，AB＝AC，推导出△ABG≌△ACE（AAS）即可；
②首先推导出Rt△ADG≌Rt△ADE（HL），进而得到DG＝DE＝3，设CD＝x，则BG＝CE＝x+3，BD＝x+6，由射影定理得：CD2＝DF•BD，代入解得x1＝3，x2＝﹣2 （舍去），得到BD＝9．
【解答】（1）证明：连接AO并延长AO交BC于M，
∵AB＝AC，
∴＝，
又∵AM过圆心，
∴AM⊥BC，即∠AMB＝90°，
∵AE∥BC，
∴∠MAE＝∠AMB＝90°，
∴AE⊥AO，AO为半径，
∴AE为⊙O的切线；
（2）①证明：∵BD过圆心O即BD为⊙O直径，
∴∠BCD＝90°，
∵AE∥BC，
∴∠AEC+∠BCD＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠BCD＝90°．
∵AG⊥BD即∠AGB＝90°，
∴∠AEC＝∠AGB，
在△AGB与△AEC中，
，
∴△ABG≌△ACE（AAS）；
②解：由（2）知△ABG≌△ACE，
∴BG＝CE，AG＝AE
在Rt△ADG与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△ADE（HL），
∴DG＝DE，
∵FG＝2，FD＝1，
∴DE＝DG＝2+1＝3，
设CD＝x，则BG＝CE＝x+3，
∴BD＝BG+DG＝x+3+3＝x+6，
在Rt△BCD中，CF⊥BD于F，
由射影定理得：CD2＝DF•BD，
∴x2＝1×（x+6），
解得x1＝3，x2＝﹣2 （舍去），
∴BD＝9．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，射影定理，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27．在平面直角坐标系，二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）已知点M（1，1﹣a），N（3，﹣3）．
①若函数图象恰好经过点M，求a的值；
②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）先求得点A的坐标，再根据平移的性质得到点B的坐标，根据A、B关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；
（2）①根据对称轴公式求得b＝﹣4a，则y＝ax2﹣4ax﹣a，代入M（1，1﹣a）即可求得a的值；
②根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到a的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，
∴A（0，﹣a），
点A向右平移4个单位长度，得到点B（4，﹣a），
∴点B（4，﹣a）；
∵A与B关于对称轴x＝2对称，
∴抛物线对称轴x＝2；
（2）①∵对称轴x＝2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣a，
∵函数图象恰好经过点M（1，1﹣a），
∴1﹣a＝a﹣4a﹣a，
∴a＝﹣；
将x＝1代入y＝ax2﹣4ax﹣a得y＝﹣4a，
将x＝3代入y＝ax2﹣4ax﹣a得y＝﹣4a，
②当a＞0时，抛物线开口向上，
∴﹣3≤﹣4a，
解得a≤，
故0＜a，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∴1﹣a≥﹣4a，
解得a，
故﹣≤a＜0，
综上，若函数图象与线段MN只有一个交点，a的取值范围是0＜a或﹣≤a＜0．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键．
28．数学的思考
如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（3，5），试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得∠APB最大，并求出此时点P的坐标．
数学的眼光
（1）如图①，请说明∠AP1B＞∠AP2B1；
数学的表达
（2）如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段AB的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及AC＝PC，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；
（3）如图③，延长线段BA交x轴于点D，连接BP、AP，当⊙C与DP相切时，通过求DP的长可得到点P的坐标，请写出具体的过程；
（4）如图④，已知线段AB，用尺规在射线MN上作出点P，使得∠APB最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
【分析】（1）连接BD，根据外角的性质，得到∠ADB＝∠BDP2+∠P2，即可解答．
（2）设点C（a，﹣a+5），求出AC，根据AC＝PC，列出等式，即可解答．
（3）连接PC并延长，交⊙C于点E，连接AE，证明△PDA∽△BDP，求出PO，即可解答．
（4）有三种作法，方法一：根据第（3）问，可知c2＝a•b，则在图中构造；方法二：思路如上，构造位似图形；方法三：DP2＝DA•DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．
【解答】解：（1）如图，连接BD，
∴∠P1＝∠ADB
∵∠ADB是△BDP2的外角，
∴∠ADB＝∠BDP2+∠P2，
∴∠ADB＞∠P2，
∴∠P1＞∠P2；
（2）直线l的表达式为y＝﹣x+5，
∵点C在直线l上，
设点C（a，﹣a+5），
∴，PC＝﹣a+5．
∵AC＝PC，
∴，
∴a2+4a﹣16＝0，
解得，（不合题意，舍去），
∴P点坐标为；
（3）连接PC并延长，交⊙C于点E，连接AE，如图，
∵AE是⊙C直径，
∴∠PAE＝90°，
∴∠E+∠EPA＝90°，
∵⊙C与x轴相切于点P，
∴PC⊥x轴，
∴∠APD+∠EPA＝90°，
∴∠E＝∠APD，
又∵∠E＝∠B，
∴∠APD＝∠B，
∵∠PDA＝∠BDP，
∴△PDA∽△BDP，
∴PD2＝DA•DB，
∵A（0，2）、B（3，5），
∴，，
∴，即，
∴，
∴P点的坐标为；
（4）提供三种作法如下：
方法一：
根据第（3）问，可知c2＝a•b，则在图中构造；
方法二：
思路如上，构造位似图形；
方法三：
DP2＝DA•DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．
【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查了垂径定理，作图，掌握垂径定理是解题的关键．
身高（单位：cm）
176
178
180
181
人数
1
5
4
2
身高（单位：cm）
176
178
180
181
人数
1
5
4
2
直行
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