吉林省四校2023-2024学年高一下学期开学联考数学试卷(含答案)

这是一份吉林省四校2023-2024学年高一下学期开学联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．设则的值为( )
A.9B.11C.28D.14
3．“关于x的不等式的解集为R”是“”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4．函数的图像大致为( )
A.B.
C.D.
5．设,,则( )
A.B.C.D.
6．已知函数的部分图象如图所示,其中,,,现先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度,得到函数的图象,则( )
A.B.C.D.
7．已知,分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且满足.若恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数在上单调递增,且在上有且仅有1个零点,则的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的有( )
A.若a,,则B.若,,则
C.若,则D.若,则
10．对于函数,下列说法正确的是( )
A.函数的是最小正周期是
B.函数的图象的对称中心是
C.函数的图象的对称轴是
D.不等式的解集是
11．设函数的定义域为R,满足,且,当时,,若,则以下正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知幂函数满足.则____________.
13．已知,,且不等式恒成立.则实数a的取值范围是______________.
14．已知函数恰有3个零点,则m的取值范围是__________.
四、解答题
15．求下列各式的值.
（1）;
（2）
16．已知函数,已知的最大值为1,且的相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的解析式.
（2）求在的单调递增区间;
（3）将函数图象上的点纵坐标不变,横坐标变为原来的,再向右平移单位,得到函数的图象,若在区间上的最小值为,求m的最大值.
17．已知,且,.
（1）求;
（2）求角的大小.
18．心理学家根据高中生心理发展规律,对离中生的学习行为进行研究,发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.上课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用表示学生掌握和接受概念的能力（的值越大,表示接受能力越强）,表示提出和讲授概念的时间（单位：）,满足以下关系：
（1）上课多少分钟后,学生的接受能力最强？能维持多少分钟？
（2）有一道数学难题,需要54的接受能力及15min的讲授时间：老师能否及时在学生处干所需接受能力的状态下讲授完成这道难题？
19．已知函数,.
（1）求方程的解的个数（不要求详细过程,有简要理由即可）;
（2）求函数在区间上的最大值;
（3）若函数,且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点,求实数b的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：,得,所以,
函数中,,即,所以,,
所以.
故选：A.
2．答案：B
解析：.
故选：B.
3．答案：C
解析：当即时,不等式的解集为R,符合题意;
当即时,若不等式的解集为R,
可得,解得,
所以不等式的解集为R可得,充分性不成立,
若,则不等式的解集为R,必要性成立,
所以不等式的解集为是“”的必要不充分条件.
故选：C.
4．答案：A
解析：对于函数,有,解得且,
所以,函数的定义域为,
因为,函数为奇函数,排除CD选项,
当时,,则,排除B选项.
故选：A.
5．答案：D
解析：由,得,
由,得,
即,而,所以.
故选：D.
6．答案：C
解析：记函数的最小正周期为T,由题意知,得,所以,
故.因为的图象过点,所以,
得,又,所以,故,
因为的图象过点,所以,解得,所以.
将图象上所有点的横坐标缩短为原来的,得到的图象,再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,
所以,
故选：C.
7．答案：B
解析：因为,分别是定义在R上的偶函数和奇函数,
所以,,因为,①
所以,所以,②
①+②得,,
因为在定义域R上单调递增,在定义域R上单调递减,
所以在R上单调递增,又,
若恒成立,则恒成立,
所以恒成立,所以恒成立,所以只需,
因为,所以（当且仅当,即时取等号）,
所以（当且仅当时,取等号）,所以,
所以a的取值范围为.
故选：B.
8．答案：D
解析：当,,
因为在上单调递增,故,则;
当,,且,,
又因为在上有且仅有1个零点,
故讨论两种情况：
①,
②,
综上：的取值范围为,
故选：D.
9．答案：ACD
解析：对于A,因为,所以,故A正确;
对于B,,
因为,所以,,
所以,所以,故B错误;
对于C,若,则,所以,故C正确;
对于D,若,则,所以,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：函数的最小正周期为,A错误;
由,,解得,,
则函数的图象的对称中心是,B正确;
由于,则是图象的一条对称轴,
又,则是图象的一条对称轴,
而函数的最小正周期是,则,及,都是图象的对称轴,所以函数图象的对称轴是,C正确;
不等式,则,,
解得,,即不等式的解集是,
D错误.
故选：BC
11．答案：ABC
解析：因为,
所以,即,
又
所以,所以,A正确;
因为,
所以,B正确;
在中,令,得,
即,解得,C正确;
,D错误.
故选：ABC
12．答案：
解析：由幂函数的定义可知,,即,解得或.
当时,在上单调递减,不满足;
当时,在上单调递增,满足.
综上,.
故答案为：.
13．答案：
解析：令,则,
在恒成立,
在单调递增,,
,
故答案为：.
14．答案：
解析：由,得或,函数在上有3个零点,
当且仅当直线与函数及在内的图象有3个交点,
函数在上单调递减,函数值集合为,在上单调递增,函数值集合为,
函数在上单调递减,函数值集合为,
显然直线与的图象交于点和,
在坐标系内作出直线和函数及在内的图象,如图,
观察图象知,当,且且时,
直线与函数及在内的图象有3个交点,
所以m的取值范围是.
故答案为：
15．答案：（1）9
（2）
解析：（1）原式
.
（2）
.
16．答案：（1）;,
（2）
解析：（1）
,
,解得,,即,
解得;;
令,得,
所以函数的单调递增区间为;
所以在的单调递增区间为,.
（2）将函数图象上的点纵坐标不变,横坐标变为原来的,
得到的图象,再向右平移单位,
得到函数的图象,即;
因为,所以,
因为在区间上的最小值为,
所以,解得.
所以m的最大值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
,
,,
;
（2）,
,
,,
由倍角公式得,
由（1）得,,
,
,,
,.
18．答案：（1）上课10分钟后,学生的接受能力最强,能维持10分钟
（2）老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题
解析：（1）由题知在上单调递增,
所以 又时,
在上单调递减,,
所以上课10分钟后,学生的接受能力最强,能维持10分钟.
（2）当时,令,即,
化简得,解得,又,所以,此时有效时间为2分钟
当时,,有效时间为10分钟,
当时,令,解得,有效时间为1分钟,
由于讲授时间需15分钟,但有效时间分钟,,
所以老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题.
19．答案：（1）3个
（2）
（3）
解析：（1）如图,由翻折变换分别作出函数与函数的图象,
因为两函数图象有3个不同的交点,
所以方程的解的个数3;
（2）
,
令,
化为
则函数的图象开口向上,且对称轴为,
当即时,;
当即时,,
（3）,
令,,
,
,
令,
即①,
函数的图象如图,
因为函数的图象与函数的图象有3个不同的交点,所以①式有2个不等的实根,且一根在内,另一根为0或在内;
因为所以方程①的两根一根在内,另一根在内.
设,当一根在内,另一根在内时,
由,即,解得;
当一根为2时,由解得,
验证：此时方程①为,解得或,
故不合题意,舍去;综上所述,b的取值范围是.