2024年湖南长沙天心区长郡中学高三三模数学试卷

这是一份2024年湖南长沙天心区长郡中学高三三模数学试卷，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024年湖南长沙天心区长郡中学高三三模数学试卷
一、单选题
1.已知集合
A.
，
，则
（
）
B.
C.
D.
2.在
中，角
）
的对边分别是 ， ， ，则“
B. 必要不充分条件
”是“
是锐角三
角形”的（
A. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条
件
3.若实数 ， ， 满足
A.
，
，
，则（
C.
）
B.
B.
D.
4.已知函数
条对称轴，则
A.
在
上有且仅有4个零点，直线
C.
为函数
图象的一
（
）
D.
5.如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形
，在圆O内任取一点，该点落在扇形
内的概率为（
）
A.
B.
C.
D.

6.已知三棱锥
，则三棱锥
A.
的外接球的体积为
，
平面
，
，
的体积为（
B.
）
C.
D.
D.
7.过双曲线
的左焦点 作倾斜角为 的直线 交 于
两点．若
，则
（
A.
）
B.
C.
8.数列
A. 18
的前 项和为
，则
可以是（
D. 6
）
B. 12
C. 9
二、多选题
9.若正实数 ， 满足
A．
，则（
）
B．有序数对
（
）有6个
C．
D．
的最小值是
10.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳
水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的
（
）
A. 平均数为9.6
B. 众数为10
C. 第80百分位数为9.8
D. 方差为
11.已知平面
平面 ，且均与球 相交，得截面圆 与截面圆
为线段
的中点，且
，
线段
与
分别为圆 与圆 的直径，则（
为等边三角形，则球的体积为
）
A. 若
B.
若 为圆
上
的中点，
，且
，则
与
所成角的余弦值为

C. 若
D. 若
，且
，且
，则
与
所成的角为
，则球 的表面积为
或
三、填空题
12.在
中，
， 是
，
的中点，延长
,则
交
于点 ．设
，
，则
可用
， 表示为
，若
面积的最大值为
．
13.已知
是椭圆
的左、右焦点， 是 上一点．过点 作直线 的垂线 ，过点 作直
的交点 在 上（ 均在 轴上方 ，且 ，则 的离心率为 ．
线
的垂线 ．若
14.已知函数
四、解答题
的定义域为 ，且
，
，则
．
15.在
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)证明：
(2)若
.
，
，求
的面积.
16.刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们
的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在
～
分之间），并从参与者中随机抽取
人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)据此估计这
人满意度的平均数 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ；
(2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支

付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有 个形状、大小完全相同的小球 其中
红球 个，黑球 个 的抽奖盒中，一次性摸出 个球，若摸到 个红球，返消费金额的 ；若摸到 个红球，返
消费金额的 ，除此之外不返现金．
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得
知，使用“刷脸支付”时有 的概率享受 折优惠，有 的概率享受 折优惠，有 的概率享受 折优惠.现小
张在该超市购买了总价为
元的商品．
①求小张选择方案一付款时实际付款额 的分布列与数学期望；
②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到
）
17.已知数列
的前n项和为 ，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若数列
满足
为奇数，求
为偶数
的前 项和
.
18.如图，已知四棱锥
底面
的底面是菱形，对角线
分别为侧棱
交于点 ，
，
，
，
的中点，点
在
上且
．
(1)求证：
四点共面；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
19.已知抛物线
上的动点到其焦点的距离的最小值为 ．
(1)求抛物线的方程；
(2)过抛物线上一点
作抛物线的切线，分别交 轴于点 ，交 轴于点 ．点 在抛物线上，点
在线段
上，满足能
；点 在线段
上，满足
，且
，线段
与
交于点 ，当点 在抛物线上移动时，求点 的轨迹方程 ．
(3)将 向左平移 个单位，得到 ，已知
，求
，
，过点 作直线 交 于
．设
的值