河南省洛阳市汝阳县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份河南省洛阳市汝阳县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则下列分式化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知在中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，若，，则点C的坐标为解（ ）
A．B．C．D．
5．将直线向下平移2个单位长度后所得直线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
6．如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积．那么下列说法错误的是（ ）
A．当a为定长时，S是h的一次函数B．当h为定长时，S是a的一次函数
C．当S确定时，a是h的一次函数D．当S确定时，h是a的反比例函数
7．在公式中，以下变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．在A、B两地之间有汽车站C（C在直线上），甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲、乙两车离C站的路程，（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示．如果绘制成甲、乙两车的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象，这个图象大约是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知a，b为实数，且，，设，，则M，N的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
10．如图1，正方形中，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交于点F，设点E的运动路程为，，y与x对应关系的图象如图2，那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．图2中
C．图2中D．当点E运动到中点时，
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．写一个经过点且在时y随x的增大而增大的函数关系式，这个函数关系式可以是______．
12．如图，的对角线与相交于点O，，若，，则的长是______．
13．若点，都在双曲线上，且，则a的取值范围是______．
14．如图，矩形的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为．将线段绕点O逆时针旋转至线段，若反比例函数的图象经过A、D两点，则k值为______．
15．在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，边上的高，则边上的高______．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题10分）
（1）计算：；
（2）化简：．
17．（本小题9分）
已知正比例函数的图象经过横坐标为3的点A，过点A作轴，垂足为点H，且的面积为6．
（1）填空：点A的坐标是（______，______），的面积为______；
（2）点在x轴上，点Q在第二象限，四边形是平行四边形，求四边形的周长．
18．（本小题9分）
我县某校九年级为进行数学综合与实践活动，需要到一个批发兼零售的商店购买所需器材．该商店规定一次性购买该器材达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．如果给九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买120个使希望参加进去的八年级学生都拥有，则可以按批发价付款，同样需用3600元．经销商定价，按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
19．（本小题9分）
如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A点，连接交双曲线另一支于B点．已知B点的坐标为，分别过A、B作轴于D、轴与C，连接，过作直线．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）点B在双曲线上移动，其它条件不变，和的面积会改变吗？如果不会改变，请直接写出它们的面积；如果会改变，请说明理由．
20．（本小题9分）
如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接．作的角平分线，交、及的延长线于G、E、F．
（1）如果，，那么______，______；
（2）若点G恰好是线段的中点，求证：．
21．（本小题9分）
小明与小亮发现，已知复杂分式的值求另一个复杂分式的值，通常需要去分母变形为整式关系，然后整体代入后化简求解．
如已知，求的值．
小明的做法是：
，
，
．
小亮的做法是：
，
，
．
学习他们的方法求解：
（1）已知，且，求的值；
（2）已知，，求m的值．
22．（本小题10分）
2024年正月十六晚，汝阳“在水一方醉美汝阳”烟火晚会隆重举行．据气象部门预报，当晚大气温度是5℃，寒冷的天气阻止不了群众观看的热情，小明与小亮也不例外．据有关资料研究表明：声音在空气中的传播速度简称声速，它与气温有如表所反映的函数关系：
（1）观察表格数据，y与x之间的函数关系符合我们学习过的______函数，由此表格中______．求出y与x之间的函数关系式；
（2）小亮在距燃放中心约1002米的地方观看，他看到烟花放多少秒后才能听到声响？
（3）小明在瑞云山上观看，他、小亮与燃放中心正好在一条线上，已知他看到烟花放5秒后才听到声响，直接写出小明与小亮所在地的大约距离．
23．（本小题10分）
如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为，，．反比例函数的函数图象经过点D，点P是反比例函数上一动点，直线的解析式为：．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果把四边形的面积分成两部分，直接写出直线的解析式；
（3）对于一次函数，当y随x的增大而增大时，直接写出点P的横坐标x的取值范围．
答案和解析
1．【答案】C
【解析】解：A．该分式的分子、分母中含有公因数a，则它不是最简分式．故本选项错误；
B．该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项错误；
C．该分式符合最简分式的定义．故本选项正确．
D．分母为，所以该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项错误；
故选：C．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
本题考查了对最简分式，约分的应用，关键是理解最简分式的定义．
2．【答案】D
【解析】解：A．从等式的左边不能推出等式的右边，故本选项不符合题意；
B．从等式的左边不能推出等式的右边，故本选项不符合题意；
C．从等式的左边不能推出等式的右边，故本选项不符合题意；
D．，能从等式的左边推出等式的右边，故本选项符合题意；
故选：D．
根据分式的基本性质逐个判断即可．
本题考查了分式的混合运算和分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
3．【答案】C
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：C．
根据平行四边形的对角相等，即可得出的度数．
本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等．
4．【答案】C
【解析】解：，，
坐标系如图，
由图可知，．
故选：C．
根据题意建立坐标系，根据点C在坐标系中的位置即可得出结论．
本题考查的是点的坐标，根据题意建立出平面直角坐标系是解题的关键．
5．【答案】D
【解析】解：根据平移的规则可知：
将直线向下平移2个单位长度后所得直线的表达式为：，
故选：D．
根据函数图象的平移规则“上加、下减”，即可得出直线平移后的解析式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”．
6．【答案】C
【解析】解：三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积，
A．当a为定长时，S是h的一次函数，正确，不符合题意；
B．当h为定长时，S是a的一次函数，正确，不符合题意；
C．当S确定时，a是h的反比例函数，原说法错误，符合题意；
D．当S确定时，h是a的反比例函数，正确，不符合题意．
故选：C．
根据反比例函数及一次函数的定义解答即可．
本题考查的是反比例函数及一次函数的定义，熟记定义是解题的关键．
7．【答案】B
【解析】解：，即，
，
因此选项C．选项D不符合题意；
，即，
即，
，
因此选项A不符合题意；
，即，
即，
，
因此选项B符合题意；
故选：B．
根据等式的性质以及分式加减法的计算方法逐项进行计算后再判断即可．
本题考查分式的解决运算，掌握分式加减的计算方法以及等式的性质是正确解答的关键．
8．【答案】D
【解析】解：如图所示：
由函数图象可知，当时，，，
、C两地之间的距离是360千米，B、C两地之间的距离是80千米，
（千米），
、B两地相距440千米，
故选项A不符合题意；
两车的速度和不变，
相遇前y随x的增大而减小，
故选项C不符合题意；
甲车到达C站后，甲、乙两车的距离y随x的增加而增加且增加的速度比开始小，
选项B不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
由函数图象可知，A、C两地之间的距离是360千米，B、C两地之间的距离是80千米，可求得A、B两地之间的距离是440千米，可判断选项A不符合题意；根据相遇前两车的速度和不变，随x的增大而减小，可得判断选项C不符合题意；根据甲车到达C
此题考查了函数的图象，正确理解不同取值范围内的函数图象所表示的实际意义是解题的关键．
9．【答案】B
【解析】解：由题意可知：
，
，
，
，
故选：B．
运用作差法，根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
10．【答案】A
【解析】解：当点E运动在上时，四边形为矩形，
，
当点E运动在上时，的长呈先变短再变长的变化，故不一定等于，故A不一定正确，符合题意；
当点E运动到点B处时，，
，故B正确，不符合题意；
当点E运动到点C处时，点E运动路程为8，E、F、C三点重合，
，
，故C正确，不符合题意；
当点E运动到中点时，如图，
，此时，
，
，
，故D正确，不符合题意．
故选：A．
根据点P的运动位置，判断出点P的运动路程及运动时间的关系，结合函数图象逐个判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
11．【答案】（答案不唯一）
【解析】解：当时，y随x的增大而增大，
设解析式为：，
图象经过点，
，
解得：，
解析式为：．
故答案为：（答案不唯一）．
根据该函数的增减性确定其比例系数的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式．
本题考查了函数的性质，用到的知识点：函数图象经过点，则点的坐标满足函数解析式；一次函数中，当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小．本题是开放性试题，答案不唯一，也可以举反比例函数或二次函数的例子．
12．【答案】8
【解析】解：四边形是平行四边形，，
，
，，
，
，
故答案为：8．
根据平行四边形的性质得出，利用勾股定理得出，进而利用平行四边形的性质得出即可．
本题考查了平行四边形的性质，以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键．
13．【答案】
【解析】解：，，
双曲线图象分布在第二、四象限，
，
．
根据点的横坐标大小关系和确定双曲线分布的象限，再确定反比例函数的k值范围，最后解不等式即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
14．【答案】
【解析】解：过点D作轴于点E，
点B的坐标为，
，
，
由旋转性质知，，
，
，，
即，
反比例函数的图象经过D点，
，
解得：（舍）或，
故答案为：．
过点D作轴于点E，由点B的坐标为知，由旋转性质知、，据此求得，代入解析式解之可得．
本题主要考查反比例函数图象上的点，解题的关键是表示出点D的坐标．
15．【答案】
【解析】解：在平行四边形中，，，，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
，
，边上的高，，
平行四边形的面积，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质，平分，平分，证明，，然后利用平行四边形的面积即可解决问题．
此题考查了平行四边形的性质、等角对等边等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
16．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【解析】（1）直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用分式的加减运算法则计算，再利用分式的除法法则得出答案．
此题主要考查了实数的运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．【答案】3 6
【解析】解：（1）点A的横坐标为3，A在正比例函数为图象上，
故点A的坐标为．
的面积为6
故答案为：，6．
（2）如下图，轴于点H，
点A的坐标为，
，
点P的坐标为，
，
由勾股定理得．
四边形是平行四边形，
，
四边形是周长为：．
（1）将点A的横坐标为3代入正比例函数解析式求出纵坐标，面积题目已知；
（2）根据点的坐标利用勾股定理分别求出、长，即可得到平行四边形周长．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和平行四边形性质，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键．
18．【答案】解：批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，
零售价是批发价的1.2倍，
设批发价为x元，则零售价为元，这个学校九年级学生有人，
根据题意得：，
解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
（人），
答：这个学校九年级学生有600人．
【解析】设批发价为x元，则零售价为元，这个学校九年级学生有人，根据如果给九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买120个使希望参加进去的八年级学生都拥有，则可以按批发价付款，同样需用3600元．列出分式方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．【答案】解：（1）设反比例函数为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为，
点，
根据反比例函数的性质得A与B关于O对称，轴与C，得，
设直线表达式为经过，
，解得，
直线表达式为；
（2）不会改变，
作轴，垂足为E，根据中心对称性质，
，
，
的面积是6，的面积是3．
【解析】（1）待定系数法求出直线和反比例函数的表达式即可；
（2）根据反比例函数中心对称性质，即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
20．【答案】3 1
【解析】（1）解：是的角平分线，
，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，，
，，
，
故答案为：3，1；
证明：四边形为平行四边形，
，，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
．
（1）根据平行四边形的性质解答即可；
（2）根据平行四边形的性质证明，得，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到
21．【答案】解：（1），
，
；
（2）把去分母变形得，
，
，
整体代入可化为，
即，
，
解分式方程得．
【解析】（1）把已知条件去分母得到，然后把代入所求的代数式中约分即可；
（2）把已知条件去分母得到，再利用整体代入的方法把原方程化为，然后解分式方程即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
22．【答案】一次 334
【解析】解：（1）由图表可以看出，声速随温度的升高匀速上升，故为一次函数，
根据规律，问题每升高5度，声速提高3米/秒，故，
故答案为：一次，334；
y与x之间一次函数关系为，代入坐标、，
得，
解得，
所以y与x之间一次函数关系为；
（2）当时，，
小亮看到烟花后听到声响需要的时间为（秒）．
（3）小明距燃放中心得距离为：，
当小明和小亮在燃放中心的同侧时，两人的距离为：（米），
当小明和小亮在燃放中心的两侧时，两人的距离为：（米），
小明与小亮所在地的大约距离为668或2672米．
（1）根据表中规律判断，用待定系数法求解即可；
（2）用距离除以速度计算即可；
（3）先求出小亮距燃放中心得距离，再分两种情况进行讨论计算即可．
本题考查一次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
23．【答案】解：（1），，
轴，，
又四边形是平行四边形，，
，
又点D在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为；
（2）①当经过线段的中点时，把四边形的面积分成两部分，
由（1）可知中点坐标为，
设解析式为，
，解得，
解析式为：，
②当经过线段的中点时，把四边形的面积分成两部分，
线段的中点坐标为，设解析式为，
，解得，
直线的解析式为：．
综上分析，直线的解析式为：或．
（3）如图，过C作x轴、y轴的平行线，交双曲线于点、，
，
当时，，当时，，
，，
当点P在、之间的双曲线上时，直线，即直线，y随x的增大而增大，
点P的横坐标x的取值范围为．
【解析】（1）根据点B、C坐标求出线段长，根据平行四边形性质得到，求出点D坐标，可得反比例函数解析式；
（2）分两种情况得到解析式，①当经过线段的中点时，把四边形的面积分成两部分，②当经过线段的中点时，把四边形的面积分成两部分；
（3）过C作x轴、y轴的平行线，交双曲线于点、，分别求出、坐标，即可得到一次函数横坐标的取值范围．
本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握反比例函数性质是关键．气温
0
5
10
15
20
25
声速
331
a
337
340
343
346