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    2024年四川省成都市锦江区九年级中考二诊模拟考试数学试题

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    2024年四川省成都市锦江区九年级中考二诊模拟考试数学试题

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    这是一份2024年四川省成都市锦江区九年级中考二诊模拟考试数学试题,共29页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    第Ⅰ卷(选择题,共32分)
    一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
    1. 某植物种子发芽最适宜温度是,如果低于最适宜发芽温度记作,那么高于最适宜发芽温度应该记作( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】此题考查正负数和相反意义的量,根据低于最适宜发芽温度记作,即可得到答案
    【详解】解:∵某植物种子发芽的最适宜温度是,如果低于最适宜发芽温度记作,
    ∴高于最适宜发芽温度应该记作,
    故选:A
    2. 如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体,这个几何体从正面看到的图形是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题主要考查了组合体的正视图,找到从正面看所得到的图形即可;掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解题的关键.
    【详解】解:从正面看,共有三列,左边一列是三个小正方形,中间和右边一列分别是一个小正方形.
    故选:B.
    3. 2024年2月,中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定,新一代载人飞船命名为“梦舟”,月面着陆器命名为“揽月”,中国探月工程正向新的目标迈进.已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千试卷源自 每日更新,不到1元,欢迎访问。米,数据384000用科学记数法表示为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数,据此解答即可.
    【详解】解:.
    故选:C.
    4. 下列运算正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题考查了整式的运算,利用合并同类项法则、积的乘方法则、单项式除以单项式法则,完全平方公式逐项判断即可.
    【详解】解:A.,原计算错误,不符合题意;
    B.,原计算正确,符合题意;
    C.,原计算错误,不符合题意;
    D.,原计算错误,不符合题意;
    故选:B.
    5. 《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程,并作出明确规定.某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为:2,4,3,2,5,2,3.则这组数据的众数和中位数分别是( )
    A. 2,2B. 2,2.5C. 2,3D. 3,3
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题主要考查了众数及中位数的概念,一组数据中,出现次数最多的数为众数;按从小到大(或从大到小)顺序排列,处于中间位置的一个数(或两个数的平均数)为这组数据的中位数,根据众数及中位数的概念进行判断即可.
    【详解】解:∵2出现的次数最多,
    ∴众数是2.
    把这组数据从小到大排序为2,2,2,3,3,4,5.
    ∵3处于第四位的中间位置,
    ∴中位数是3.
    故选:C.
    6. 如图,为了估算河的宽度,小明采用的办法是:在河的对岸选取一点A,在近岸取点D,B,使得A,D,B在一条直线上,且与河的边沿垂直,然后又在垂直于的直线上取点C,并测得,.如果,则河宽为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题考查了相似三角形的应用,证明,利用相似三角形的性质求解即可.
    【详解】解:由题意,得,
    ∴,
    ∴,即,
    解得,
    即河宽为,
    故选:D.
    7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题:隔墙听得客分银,不知人数不知银;七两分之多四两,九两分之少半斤.其大意为:有一群人分银子,如果每人分七两,则剩余四两;如果每人分九两,则还差八两,问有多少人,多少银两(注:明代当时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语).设有x人,银子有y两,可列方程组是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据每人分七两,则剩余四两;若每人分九两,则还差八两,可以列出相应的二元一次方程组,本题得以解决.
    【详解】解:由题意可得,
    故选B.
    【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组,解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系.
    8. 如图,抛物线的部分图象如图所示,与x轴的一个交点坐标为,抛物线的对称轴是直线.下列结论正确的是( )
    A.
    B.
    C. 关于x的方程没有实数根
    D. 若点在该抛物线上,则
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题考查了二次函数的图象和性质,根据图象可得,即可判断A;根据对称轴为直线,抛物线与x轴交于点,可得抛物线与x轴的另一个交点,即可判断B;根据抛物线与直线有两个交点,可判断C;根据抛物线开口向下,有最大值,可判断D.
    详解】由题得,,
    ∴;故A选项错误,不符合题意;
    ∵对称轴为直线,抛物线与x轴交于点,
    ∴抛物线与x轴的另一个交点为,
    当时,;故B选项错误,不符合题意;
    ∵抛物线与直线有两个交点,
    ∴关于x的方程有两个不相等的实数根;故C选项错误,不符合题意;
    ∵,
    ∴抛物线开口向下,有最大值,即当时,抛物线有最大值,
    ∴;故D选项正确,符合题意;
    故选:D.
    第Ⅱ卷(非选择题,共68分)
    二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,答案写在答题卡上)
    9. 分解因式:x2y-4y=____.
    【答案】y(x+2)(x-2)
    【解析】
    【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式,若是就考虑用公式法继续分解因式.
    【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2),
    故答案为:y(x+2)(x-2).
    【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解.
    10. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,则a的值为____.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程,若,则方程有两个不相等的实数根,若,则方程有两个相等的实数根,若,则方程没有实数根,利用一元二次方程根的判别式求解即可.
    【详解】解:∵一元二次方程有两个相等的实数根,
    ∴,
    解得,
    故答案:2.
    11. 如图,在菱形中,,分别是,上的点,且,连接,.若,,则的大小为____.
    【答案】##40度
    【解析】
    【分析】本题主要考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是熟记菱形的性质.
    根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“”即可证明,再得到,因为,故.
    【详解】∵四边形是菱形,,
    ∴,,
    又∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    故答案为.
    12. 如图,正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点,若点A的坐标为,则关于x的不等式的解集为____.
    【答案】或
    【解析】
    【分析】本题考查了函数与不等式的关系,先求出点B的坐标,再根据图象求不等式的解集即可.
    【详解】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点,若点A的坐标为,
    ∴,
    ∴关于x的不等式的解集为或,
    故答案为:或.
    13. 如图,在中,按以下步骤操作:①分别以点B和C为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②以点C为圆心,以任意长为半径作弧,分别交,于点E,F;③分别以E,F为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧交于点O;④作射线,交直线于点P,连接.若,,则____.
    【答案】##21度
    【解析】
    【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理,由作图过程可知,直线为线段的垂直平分线,为的平分线,可得,,即,结合三角形内角和定理可得,进而可得答案.
    【详解】解:由作图过程可知,直线为线段的垂直平分线,为的平分线,
    ∴,,
    ∴.
    ∵,
    即,
    ∴,
    ∴.
    故答案为:.
    三、解答题(本大题共5个小题,共48分,解答过程写在答题卡上)
    14. (1);
    (2)解不等式组:.
    【答案】(1);(2)
    【解析】
    【分析】本题考查了含特殊三角函数的实数运算,解一元一次不等式等知识.
    (1)先根据二次根式性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂等知识进行化简,再进行二次根式加减运算即可求解;
    (2)先分别解不等式①得,不等式②得,即可得到不等式组的解集为.
    【详解】(1)原式

    (2),
    解不等式①得:;
    解不等式②得:;
    ∴不等式组解集为.
    15. “岁岁春草生,踏青二三月”,又到了阳光明媚,适合春季研学的季节.某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研:“A:非遗博览园:B:武侯祠:C:杜甫草堂;D:大熊猫繁育基地:E:金沙遗址博物馆”.实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”(每人必选且只选一个地点)调查,根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.

    请结合统计图中的信息,解决下列问题:
    (1)数学实践小组在这次活动中,调查的学生共有_____人,在扇形统计图中,地点D所对应的圆心角是_____度;
    (2)补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图;
    (3)若要选出两名研学小组组长,有两名男同学和两名女同学报名,为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长,请用列表或画树状图的方法,求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率.
    【答案】(1)200,
    (2)见解析 (3)
    【解析】
    【分析】本题考查了列表法与树状图法,统计图.
    (1)用B组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,然后用D组人数所占的百分比乘以得到在扇形统计图中,地点D所对应的圆心角;
    (2)先求出C组人数,再计算出A组人数,然后补全条形统计图;
    (3)画树状图展示12种等可能的结果,再找出一名男同学和一名女同学的结果数,然后根据概率公式求解.
    【小问1详解】
    解:调查的总人数为(人),
    在扇形统计图中,地点D所对应的圆心角为;
    故答案为:200,36;
    【小问2详解】
    解:∵C组人数为(人),
    ∴A组人数为(人),
    条形统计图补充为:
    【小问3详解】
    解:画树状图为:
    共有12种等可能的结果,其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种,
    所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率=.
    16. 如图,为了测量山坡的护坡石坝坝顶C与坝脚B之间的距离,把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁,量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米,又测得石坝与地面的倾斜角为.求石坝坝顶C与坝脚B之间的距离.(结果精确到,参考数据:,,)
    【答案】石坝坝顶C与坝脚B之间的距离为米.
    【解析】
    【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用,过点C作交延长线于点F.在中,,在中,,可求出,再解,即可求出
    【详解】解:过点C作交延长线于点F.
    在中,,
    在中,,

    在中,,

    答:石坝坝顶C与坝脚B之间的距离为米.
    17. 如图,在中,以边为直径作,交于点D,交的延长线于点E,连接交于点F,且.
    (1)求证:;
    (2)如图1,若,求的值;
    (3)如图2,若,求阴影部分的面积.
    【答案】(1)见解析 (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据等腰三角形的性质和圆周角定理证明即可;
    (2)根据三角形的中位线,得且,进而可证,可得,进而求解即可;
    (3)由垂径定理可得,由三角函数分别求出,,再由求解即可;
    【小问1详解】
    连接,





    为直径,


    【小问2详解】
    连接,
    ,,
    且,
    ,,




    【小问3详解】

    ,,
    在中,,


    在中, ,



    【点睛】本题考查了垂径定理,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形的中位线,相似三角形的性质和判定,扇形面积,三角函数,解题的关键是正确作出辅助线,综合运用以上知识求解;
    18. 如图,已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B.
    (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
    (2)连接,,点P为反比例函数图象第一象限上一点,连接,,若,求点P的坐标;
    (3)已知为x轴上一点,作直线关于点T中心对称的直线,交反比例函数的图象于点E,F,若,求t的值.
    【答案】(1),
    (2)或
    (3)或
    【解析】
    【分析】(1)利用一次函数的解析式求得的坐标,即可利用待定系数法求得反比例函数的解析式,然后解析式联立成方程组,解方程组即可求得点的坐标;
    (2)延长,交反比例函数的图象于点,则则此时,故与重合时,符合题意,作,交轴于,求得直线的解析式,求得点的坐标,即可求得直线向下平移6个单位得到直线,关于向上平移6单位得到的直线与反比例函数图象第一象限上的交点也为点;
    (3)设直线为,由中心对称可知与x轴交点为,从而求出函数表达式,与反比例函数联立,得二次方程,由根于系数关系可得,即可求得T点的坐标,得到的值.
    【小问1详解】
    将代入,得:,

    反比例函数表达式为:,
    联立,求得点;
    【小问2详解】
    ①延长交图象于点,
    反比例函数与正比例函数关于原点O中心对称,
    交点B和关于原点O中心对称,
    即,
    ,则,
    点即为所求;
    ②,
    取点,连接,,

    过点Q作平行线交图象于点,
    则的函数表达式为,联立,解得,
    综上,点P坐标为或;
    【小问3详解】
    与x轴交于,
    由中心对称可知与x轴交点为,
    且,
    直线函数表达式为,
    化简得:,
    联立,得:,
    ,;


    即:
    解得或.
    【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题,考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数的解析式,反比例函数的对称性,一次函数图象与几何变换,函数与方程的关系,根于系数的关系,能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键.
    B卷(共50分)
    一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,答案写在答题卡上)
    19. 若,则的值为______.
    【答案】10
    【解析】
    【分析】本题考查分式化简求值.先通分算括号内的,把除化为乘,约分后即可得到答案.
    【详解】解:

    ∵,
    ∴原式;
    故答案为:10.
    20. 如图,将沿方向平移得到,随机在与组成的图形中取点,取到重叠部分(图中阴影部分)的概率为.若,则平移的距离为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质,依据平移的性质,即可得到 ,再根据取到重叠部分(图中阴影部分)的概率为,得到,设,,求得,根据题意列方程即可得到结论,解题的关键是掌握知识点的应用.
    【详解】由平移可得,,,
    ∴,
    ∵在与组成的图形中取点,取到重叠部分(图中阴影部分)的概率为
    ∴,
    ∴,
    ∴设,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    解得 ,
    ∴,
    故平移的距离为,
    故答案为:.
    21. 如图,在的正方形网格中,每个小正方形的顶点叫做格点,直线l经过格点A,B,直线m经过格点C,D,直线n经过格点E,F.点O,Q分别在直线l,n上,连接交直线m于点P,则的值为_____.
    【答案】##1.25
    【解析】
    【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识,取格点H、L、K,连接交直线m于点I,连接,则,所以,则,求得,,因为,所以,于是得到问题的答案.
    【详解】解:取格点H、L、K,连接交直线m于点I,连接,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,,
    连接,则四边形和四边形都是平行四边形,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:
    22. 如图,为了提醒司机安全驾驶,要在隧道中安装电子显示屏.已知隧道截面为抛物线型,水平路面宽米,抛物线顶点到距离为12米.根据计划,安装矩形显示屏的高为1米,为了确保行车安全,显示屏底部距离地面至少8米,若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间,则该矩形显示屏的宽的最大长度为________米.

    【答案】6
    【解析】
    【分析】本题考查了二次函数的应用,由题意建立平面直角坐标系,结合顶点为设出抛物线解析式为,代入得出抛物线解析式为,由显示屏底部距离地面至少8米,则可令,求出的值判断即可,正确建立平面直角坐标系是解此题的关键.
    【详解】解:由题意建立平面直角坐标系如图所示:

    由顶点为,
    可设抛物线解析式为,


    解得:,
    抛物线的解析式为,
    显示屏底部距离地面至少8米,
    令,即,
    解得:或(不符合题意,舍去),

    距离左右墙壁各留至少1米的维修空间,
    (米),此时是最大值,
    故答案为:.
    23. 如图,在等边中,,点D是边上一点,且,过点D作于点E,连接,则_____;点F是的中点,连接,过点F作交于点G,则_____.
    【答案】 ①. ②.
    【解析】
    【分析】在中,利用含的直角三角形的性质求出,利用勾股定理求出,在中,利用勾股定理求出即可;如图,作于H,作于M,作于N,延长交于O,利用勾股定理求出,,证明,求出,,进而求出,证明,求出,利用勾股定理求出,在中,设,则,证明,得出,即,即可求出,再代入求出,即可求解.
    【详解】解:∵等边中,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    如图,作于H,作于M,作于N,延长交于O,
    ∴,,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∴即,
    ∴,,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    在中,设,则,
    ∵,
    ∴,
    ∴,即,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:,.
    【点睛】本题考查了等边三角形的性质,勾股定理,含的直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,明确题意,添加合适辅助线,构造相似三角形求解是解题的关键.
    二、解答题(本大题共3个小题,共30分,解答过程写在答题卡上)
    24. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”,某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动,购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品.在前期询价时,通过电话询问文具店了解到,钢笔的价格比自动铅笔贵60%,且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支.
    (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少?
    (2)前往文具店购买时,恰逢商家对价格进行了调整:自动铅笔比之前询问时涨价20%,而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售.若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支,且购买奖品的费用没有超过1250元,则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品?
    【答案】(1)前期电话询问时钢笔的单价是8元,自动铅笔的单价是5元
    (2)学校最多购买了62支钢笔作为奖品
    【解析】
    【分析】本题考查了分式方程的实际应用,一元一次不等式的应用,解题关键是理清题目中的数量关系,掌握分式方程及一元一次不等式的应用.
    (1)设前期电话询问时自动铅笔的单价是元,则自钢笔的单价是元,根据数量=费用单价,结合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”,即可得到等量关系,列出分式方程求解,并检验解即可;
    (2)设学校购买了支钢笔作为奖品,则购买了支自动铅笔,根据费用=单价数量,找到题目中的数量关系:购买自动铅笔费用+购买钢笔费用1250元,列出不等式,求出不等式的最大整数解即可.
    【小问1详解】
    解:设前期电话询问时自动铅笔的单价是元,则自钢笔的单价是元,
    根据题意得:,
    解得:,
    经检验,是所列方程的解,且符合题意,
    ∴(元),
    答:前期电话询问时钢笔的单价是8元,自动铅笔的单价是5元.
    【小问2详解】
    解:设学校购买了支钢笔作为奖品,则购买了支自动铅笔,
    根据题意得:,
    解得:,
    又∵为正整数,
    ∴的最大值为62,
    答:学校最多购买了62支钢笔作为奖品.
    25. 如图,二次函数的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,二次函数图象的顶点为D.
    (1)若,求顶点D的坐标及线段的长;
    (2)当时,二次函数的最小值为,求m的值;
    (3)连接,,,若,求点C的坐标.
    【答案】(1),6
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】本题主要考查解直角三角形、一次函数的图象和性质、二次函数的图象与性质:
    (1)当时,抛物线的表达式为:,则抛物线的顶点坐标为:,令,则或5,即可求解;
    (2)当时,函数时取得最小值,即;当时,同理可解.
    (3)过C作x轴平行线l,过D作于点M,求出,,,得,证明,根据正切的定义即可求解.
    【小问1详解】
    解:当时,,

    顶点,
    令,

    解得:或
    ,,

    【小问2详解】
    解:二次函数对称轴为直线,
    ①当时,当时,时函数值最小,


    ,所以舍去;
    ②当时,时函数值最小,




    ③当时,时函数值最小,


    ,舍去;
    综上所述,;
    【小问3详解】
    解:由整理得:,
    ,,



    过C作x轴平行线l,过D作于点M,
    则,





    ,,,

    ,解得:(负值舍),
    26. 已知两个矩形,若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上(顶点不重合),我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”.
    【模型探究】(1)如图1,矩形是矩形的“衍生矩形”,不连接其它线段,图中有哪几组全等三角形,请写出并任选一组证明;
    【迁移应用】(2)如图2,在矩形中,,.点M在线段上,且,点N是边上的动点,连接,以为边作矩形,点P在边上,点Q落在矩形内.连接,,当面积为时,求的长;
    【拓展延伸】(3)如图3,在矩形中,,.点N是的中点,点M是边上的动点,连接,以为边作矩形,点P在边上,点Q始终落在矩形内(不含边界).连接,点O是的中点,连接,求长的取值范围(用含a,b的式子表示).
    【答案】(1),,见解析;(2)2或5;(3)
    【解析】
    【分析】(1)根据“衍生矩形”的定义,可知矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上(顶点不重合),得出两组全等三角形,分别证明即可;
    (2)如图,过Q作平行线,分别与,交于点G,H,可证,得出,根据,求出,,证明,利用相似三角形的性质求解即可;
    (3)当Q落在边上时,最小,当Q落在矩形内部,且时,最大,即可得出答案.
    【详解】(1),.
    在矩形和矩形中,
    ,,


    同理可得:,

    在和中,,

    同理可证:;
    (2)如图,过Q作平行线,分别与,交于点G,H,四边形为矩形,则矩形为矩形的“衍生矩形”,
    由(1)可知:,




    由(1)可知:,
    又,


    设,则,

    解得或5,
    或5;
    (3)如图,过Q作平行线,分别与,交于点G,H,连接,
    四边形为矩形,过点O,
    由(1)知:,

    中点,,
    四边形为矩形,

    延长交于点F,则,,,
    当最小时,最小;当最大时,最大,
    即:当最大时,最小;当最小时,最大,
    当Q在上时,,,

    点Q落在矩形内(不含边界),

    在矩形中,,
    当最小时,最小,最大,
    时,,
    此时,


    综上,.
    【点睛】本题考查了矩形的判定与性质,相似三角形的判断与性质,全等三角形的判断与性质,勾股定理等知识,正确理解新定义“衍生矩形”是解题的关键.

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