2024年湖北省武汉市九年级中考数学模拟试卷三

这是一份2024年湖北省武汉市九年级中考数学模拟试卷三，共36页。
1．（2023·内蒙古）－5的倒数是（ ）
A．B．－C．－5D．5
2．（2023·德州）下列选项中，直线l是四边形的对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·营口）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360° B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视，正播放神舟十六号载人飞船发射实况
4．（2023·苏州）今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物．已知礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是（ ）
A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱锥
5．（2023·台州）下列运算正确的是（ ）
A．2（a－1）＝2a－2B．（a＋b）2＝a2＋b2
C．3a＋2a＝5a2D．（ab）2＝ab2
6．（2023·枣庄）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为（ ）
A．14°B．16°C．24°D．26°
7．（2023·临沂）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线y1射到平面镜a上，被a反射后的光线为y2，则入射光线y1，反射光线y2与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1＝∠2．若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线与反射光线所在直线的解析式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（ ）
A．k1＋k2＝0B．k1＝k2C．k1＞k2D．k2＝2k1
9．（2023·乐山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x－2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ ）
A．8B．6C．4D．3
10．（2023·硚口区模拟）有3个不同的函数y＝（km为不为0的常数，m＝1，2，3）；4个不同的二次函数y＝anx2＋cn（n＝1，2，3，4），则这7个函数的图象的交点个数最多是（ ）
A．36个B．48个C．60个D．72个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2023·徐州）“五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为 ．
12．（2023·岳阳）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．（2022·自贡）化简：·＋＝ ．
14．（2023·赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB．如图，经勘测，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB的长是 千米（精确到0.1千米；参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）．
15．（2023·深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG∶CG＝3∶1，则＝ ．
16．（2023·汉阳区6月中考模拟）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），
过A（－1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．当a＞0时，现有下列四个结论：
①b＜0； ②a＋b＞0； ③a＋2b＝0；
④若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，有（x1－x2）（y1－y2）＜0，
则x1＋x2＜1．
其中正确的是 （填写序号）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2023·扬州）解不等式组，并写出它的所有整数解．
18．（8分）（2023·日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
19．（8分）（2023·无锡）为迎接第28个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办5类主题活动．
A：阅读分享会；B：征文比赛；C：名家进校园；D：知识竞赛；E：经典诵读表演
为了解同学们参与这5类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成如图．请根据图表提供的信息，解答下列问题．
（1）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
（2）扇形统计图中“C”所对应的圆心角的度数等于 ；
（3）该校共有2400名学生，请你估计该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生人数．
20．（8分）（2023·阜新）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求图中阴影部分的面积．
21．（8分）（2023·江汉区二模）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）如图（1），在AB上取点E，使得DE＝CD；
（2）直接写出＝ ；
（3）如图（2），在BC边上取点F，使得tan∠BAF＝；
（4）如图（2），作△ABF的高FG．
22．（10分）（2023·孝感）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000 m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
（1）当x＝ m2时，y＝35元/m2；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这1000 m2土地上均按（2）中方案种蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？
23．（10分）【问题情境】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝kBC，CD是AB边上的高，点E是DB上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于F，交CD于点G．
（1）【特例证明】如图1，当k＝1时，求证：DG＝DE；
（2）【类比探究】如图2，当k≠1时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时DG与DE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展运用】如图3，连接DF，若k＝，AC＝AE，DG＝3，求DF的长．
24．（12分）（2023·南充）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于
A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM·EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
2024年武汉市中考数学模拟试卷三
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2023·内蒙古）－5的倒数是（ ）
A．B．－C．－5D．5
【考点】倒数．
【答案】B
【分析】根据倒数的意义进行解答即可．
【解答】解：∵（－5）×（－）＝1，
∴－5的倒数是－．
故选：B．
【点评】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．
2．（2023·德州）下列选项中，直线l是四边形的对称轴的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；空间观念．
【答案】C
【分析】利用对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线可对各选项进行判断．
【解答】解：直线L是四边形的对称轴的是．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
3．（2023·营口）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
【考点】随机事件．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、四边形内角和是360°，是必然事件，故A符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4．（2023·苏州）今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物．已知礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是（ ）
A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱锥
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】D
【分析】根据主视图即可判断出答案．
【解答】解：根据主视图可知，只有D选项不可能．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，熟练掌握主视图的定义是解题的关键．
5．（2023·台州）下列运算正确的是（ ）
A．2（a－1）＝2a－2B．（a＋b）2＝a2＋b2
C．3a＋2a＝5a2D．（ab）2＝ab2
【考点】完全平方公式；整式的加减；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据去括号法则，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．2（a－1）
＝2a－2×1
＝2a－2，
则A符合题意；
B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
则B不符合题意；
C．3a＋2a
＝（3＋2）a
＝5a，
则C不符合题意；
D．（ab）2＝a2b2，
则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（2023·枣庄）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为（ ）
A．14°B．16°C．24°D．26°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由多边形的外角和可求得∠BCD＝60°，∠ABC＝120°，再由平行线的性质可得∠BDC＝∠1＝44°，由三角形的外角性质可求得∠3的度数，即可求∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，
∴∠BCD＝360°÷6＝60°，EF∥BD，∠ABC＝120°，
∴∠BDC＝∠1＝44°，
∵∠3是△BCD的外角，
∴∠3＝∠BDC＋∠BCD＝104°，
∴∠2＝∠ABC－∠3＝16°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
7．（2023·临沂）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
8．（2024·湖南模拟）平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线y1射到平面镜a上，被a反射后的光线为y2，则入射光线y1，反射光线y2与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1＝∠2．若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线与反射光线所在直线的解析式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（ ）
A．k1＋k2＝0B．k1＝k2C．k1＞k2D．k2＝2k1
【考点】待定系数法求一次函数解析式；规律型：点的坐标．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】先利用∠1＝∠2得到直线y1＝k1x与直线y2＝k2x关于y轴对称，设直线y1＝k1x上一点的坐标为（t，k1t），点（t，k1t）关于y轴的对称点（－t，k1t）在直线y2＝k2x，所以k1t＝－k2t，从而得到k1与k2的关系，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴直线y1＝k1x与直线y2＝k2x关于y轴对称，
设直线y1＝k1x上一点的坐标为（t，k1t），
点（t，k1t）关于y轴的对称点的坐标为（－t，k1t），
把（－t，k1t）代入y2＝k2x得k1t＝－k2t，
∴k1＋k2＝0．、
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），然后把一组对应值代入求出k得到正比例函数解析式．
9．（2023·乐山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x－2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ ）
A．8B．6C．4D．3
【考点】点与圆的位置关系；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理；垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】判断三角形OCD和三角形OAB都是等腰直角三角形，由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，求出AB、PQ，根据面积公式计算即可．
【解答】解：作OQ⊥AB，连接OP、OD、OC，
∵CD＝，OC＝OD＝1，
∴OC2＋OD2＝CD2，
∴△OCD为等腰直角三角形，
由y＝－x－2得，点A（－2，0）、B（0，－2），
∴OA＝OB＝2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝2，OQ＝，
由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，
∵P为中点，
∴OP＝，
∴PQ＝OP＋OQ＝，
∴S△ABP＝AB·PQ＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，点圆最值的计算是解题关键．
10．（2023·硚口区模拟）有3个不同的函数（km为不为0的常数，m＝1，2，3）；4个不同的二次函数y＝anx2＋cn（n＝1，2，3，4），则这7个函数的图象的交点个数最多是（ ）
A．36个B．48个C．60个D．72个
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；规律型：数字的变化类．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】分三种情况：3个不同的函数与4个不同的二次函数的交点个数，4个不同的二次函数之间最多的交点个数，3个不同的函数之间的交点个数，然后再相加即可．
【解答】解：∵一个函数与一个二次函数的交点最多有4个，
∴3个不同的函数与4个不同的二次函数的交点个数最多为：4×3×4＝48（个），
2个二次函数图象最多有2个交点，
第3个二次函数图象与前2个二次函数图象都有2个交点，
第4个二次函数图象与前3个二次函数图象也都有2个交点，
∴4个二次函数最多的交点个数为2＋4＋6＝12（个），
任意2个函数的图象都不存在交点，
∴3个不同的函数之间没有交点，
综上，这7个函数的图象的交点个数最多为48＋12＝60（个）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与反比例函数图象的特点．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2023·徐州）“五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为 4.37×106 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，据此解答即可．
【解答】解：4370000＝4.37×106，
故答案为：4.37×106．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a和n的值．
12．（2023·岳阳）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】x≠2．
【分析】根据分母不为0可得：x－2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x－2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
13．（2022·自贡）化简：·＋＝ ．
【考点】分式的混合运算．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．
【解答】解：·＋
＝＋
＝＋
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．
14．（2023·赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB．如图，经勘测，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB的长是 9.9 千米（精确到0.1千米；参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】9.9．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中利用∠CAB的余弦函数求出AD，利用∠CAB的正弦函数求出CD，然后再Rt△BCD中利用∠CBA正切函数求出DB，进而可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图：
在Rt△ADC中，AC＝6，∠CAB＝60°，，，
∴AD＝AC·cs∠CAB＝6cs60°＝3（千米），（千米），
在Rt△CDB中，∠CBA＝37°，，，
∴（千米），
∴（千米）．
答：改造后公路AB的长是9.9千米．
故答案为：9.9．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，解答此题的关键理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义，难点是正确的作出辅助线构造直角三角形．
15．（2023·深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，则＝ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，由折叠易得AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，CG＝a，则AG＝3a，于是AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，利用tanB＝可求出AH＝AF＝，BF＝EH＝，在Rt△AGH中，利用勾股定理求出GH＝，以此求出EG＝，由△AEG∽△DCG得，求得，则＝．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据折叠的性质可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，
∴∠E＝∠C，
设CG＝a，则AG＝3a，
∴AB＝AC＝AE＝4a，
在Rt△ABF中，tanB＝＝，
∴BF＝AF，
∴，
解得：或AF＝（舍去），
∴AH＝AF＝，BF＝EH＝，
在Rt△AGH中，GH＝＝＝，
∴EG＝EH－GH＝＝，
∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，
∴△AEG∽△DCG，
∴，即，
∴，
∴＝，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是将两三角形的面积比转化为两条线段的比，再利用相似三角形解决问题．
16．（2023·汉阳区模拟）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），过A（－1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．当a＞0时，现有下列四个结论：
①b＜0；②a＋b＞0；③a＋2b＝0；④若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，有（x1－x2）（y1－y2）＜0，则x1＋x2＜1．
其中正确的是 ①②④ （填写序号）．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】根据抛物线的对称性可知－＞0，由a＞0，得出b＜0，即可判断①；根据抛物线的对称性可知－＜，由a＞0得出－b＜a，即a＋b＞0，即可判断②；x＝－时，y＝a－b＋c＜0，x＝1时，a＋b＋c＜0，两式相加得出a＋b＜0，进一步得出a＋2b＜0，即可判断③；把y1＝＋bx1＋c，y2＝＋bx2＋c代入不等式，得出（x1－x2）2[a（x1＋x2）＋b]＜0，即可得出a（x1＋x2）＋b＜0，即x1＋x2＜－，由－＜可知x1＋x2＜1，即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），过A（－1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2，
∴对称轴x＝＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
∴－＞0，
∵a＞0，
∴b＜0，
故①正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），过A（－1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2，
∴对称轴x＝＜，
∴－，
∵a＞0，
∴－b＜a，
∴a＋b＞0，
故②正确；
∵x＝－时，y＝a－b＋c＜0，x＝1时，a＋b＋c＜0，
∴a＋b＜0，
∴a＋2b＜0，
故③错误；
∵（x1－x2）（y1－y2）＜0，
∴（x1－x2）（＋bx1＋c－－bx2－c）＜0，
∴（x1－x2）[a（x1＋x2）（x1－x2）＋b（x1－x2）]＜0，
∴（x1－x2）2[a（x1＋x2）＋b]＜0，
∴a（x1＋x2）＋b＜0，
∴x1＋x2＜－，
由题意可知－＜，
∴－＜1，
∴x1＋x2＜1，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2023·扬州）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】－1＜x≤2，解集在数轴上表示见解答．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞－1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：－1＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18．（8分）（2023·日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）80．
【分析】（1）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得到BO＝OD，根据全等三角形的判定和性质和菱形的判定即可得到结论；
（2）解直角三角形得到AO＝2，BO＝4，根据菱形的性质得到AC＝2AO＝4，BD＝2BO＝8，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）方法一：证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
在△BOE与△DOE中，
∴△BOE≌△DOE（SSS），
∴∠DOE＝∠BOE，
∵∠DOE＋∠BOE＝180°，
∴∠DOE＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
方法二：证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
在△BOE与△DOE中，
∴△BOE≌△DOE（SSS），
∴∠BEO＝∠DEO，
在△BAE与△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：在Rt△ABO中，∵tan∠BAC＝＝2，
∴设AO＝x，BO＝2x，
∴AB＝＝x＝10，
∴x＝2，
∴AO＝2，BO＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝4，BD＝2BO＝8，
∴四边形ABCD的面积＝AC·BD＝＝80．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．（8分）（2023·无锡）为迎接第28个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办5类主题活动．A：阅读分享会；B：征文比赛；C：名家进校园；D：知识竞赛；E：经典诵读表演．为了解同学们参与这5类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成如图．请根据图表提供的信息，解答下列问题．
（1）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
（2）扇形统计图中“C”所对应的圆心角的度数等于 126° ；
（3）该校共有2400名学生，请你估计该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生人数．
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）见解答；（2）126°；（3）552人．
【分析】（1）先由B活动人数及其所占百分比求出总人数，再根据各活动人数之和等于总人数求出D人数，从而补全图形；
（2）用360°乘以C活动人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中E活动人数所占比例即可．
【解答】解：（1）被调查的总人数为20÷10%＝200（人），
D活动人数为200－（24＋20＋70＋46）＝40（人），
补全图形如下：
（2）扇形统计图中“C”所对应的圆心角的度数等于360°×＝126°，
故答案为：126°；
（3）2400×＝552（人），
答：估计该校想参加“E：经典诵读表演”活动的学生约有552人．
【点评】本题考查的是频数分布直方图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了利用样本估计总体．
20．（8分）（2023·阜新）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；角平分线的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）图中阴影部分的面积为－．
【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠E＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得OD∥BE，然后利用平行线的性质可得∠ODE＝90°，即可解答；
（2）连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，根据已知易得△OBC是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得OB＝OC＝BC＝2，∠BOC＝60°，然后在Rt△OBF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，最后根据图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积－△BOC的面积，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥CB，
∴∠E＝90°，
∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴∠ODB＝∠DBE，
∴OD∥BE，
∴∠ODE＝180°－∠E＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，
∵∠ABC＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝AB＝2，∠BOC＝60°，
在Rt△OBF中，OF＝OB·sin60°＝2×＝，
∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积－△BOC的面积
＝－BC·OF
＝－×2×
＝－，
∴图中阴影部分的面积为－．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（8分）（2023·江汉区二模）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）如图（1），在AB上取点E，使得DE＝CD；
（2）直接写出＝ ；
（3）如图（2），在BC边上取点F，使得tan∠BAF＝；
（4）如图（2），作△ABF的高FG．
【考点】三角形综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）；
（3）见解析过程；
（4）见解析过程．
【分析】（1）由相似三角形的性质可得AD＝CD，由直角三角形的性质可得DE＝CD；
（2）分别求出S△ADE和S△ABC的值，即可求解；
（3）取格点K，连接BK，则BK＝2，AB＝4，即可求解；
（4）由相似三角形的性质可求HF＝PM＝，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图，取格点N，连接CN，并延长交AB于E，则DE为所求；
∵∠ABC＝∠BCN＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∵AR∥CT，
∴△ARD∽△CTD，
∴，
∵AR＝CT，
∴AD＝CD，
∴DE＝DC；
（2）∵BC＝5，点A到BC的距离为4，
∴S△ABC＝10，
∵△BEC是等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝，
∵AB＝＝4，
∴AE＝，
∴S△AEC＝×AE·EC＝，
∵AD＝CD，
∴S△ADE＝，
∴＝，
故答案为：；
（3）如图2，取格点K，连接BK，连接AK交BC于F，则点F为所求，
∵∠ABC＝45°，∠CBK＝45°，
∴∠ABK＝90°，
∵BK＝2，AB＝4，
∴tan∠BAK＝＝，
即tan∠BAF＝；
（4）如图（2），取格点Q，连接TQ交BL于点P，连接FP交AB于G，则点G为所求，
∵HK∥AR，
∴＝＝，
∴HF＝，
∵QL∥MG，
∴＝＝，
∴PM＝，
∴PB＝BF，
∵∠ABC＝∠ABP＝45°，
∴BG⊥GF．
【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22．（10分）（2023·湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
（1）当x＝ 500 m2时，y＝35元/m2；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）500；
（2）当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2 时，W最小；
（3）当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．
【分析】（1）当200≤x≤600时，由待定系数法求出一次函数关系式，当600＜x≤700时，y＝40，再求出当y＝35时x的值，即可得出结论；
（2）当200≤x≤600时，W＝（x－400）2＋42000，由二次函数的性质得当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，再求出当600≤x≤700时，W＝－10x＋50000，由一次函数的性质得当x＝700时，W有最小值为43000，然后比较即可；
（3）根据2025年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2 ）与其种植面积x（单位：m2 ）的函数关系式为y＝kx＋b，
把（200，20），（600，40）代入得：，
解得：，
∴，
当600＜x≤700时，y＝40，
∴当y＝35时，35＝x＋10，
解得：x＝500，
故答案为：500；
（2）当200≤x≤600时，W＝x（x＋10）＋50（1000－x）＝（x－400）2＋42000，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，
此时，1000－x＝1000－400＝600，
当600≤x≤700时，W＝40x＋50（1000－x）＝－10x＋50000，
∵－10＜0，
∴当x＝700时，W有最小值为：－10×700＋50000＝43000，
∵42000＜43000，
∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；
（3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30000（元），
则甲种蔬菜的种植成本为42000－30000＝12000（元），
由题意得：12000（1－10%）2＋30000（1－a%）2＝28920，
设a%＝m，
整理得：（1－m）2＝0.64，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合题意，舍去），
∴a%＝20%，
∴a＝20，
答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．
【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键：（1）用待定系数法正确求出一次函数关系式；（2）找出数量关系，正确求出二次函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（10分）（2024·阳新县校级模拟）【问题情境】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝kBC，CD是AB边上的高，点E是DB上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于F，交CD于点G．
（1）【特例证明】如图1，当k＝1时，求证：DG＝DE；
（2）【类比探究】如图2，当k≠1时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时DG与DE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展运用】如图3，连接DF，若k＝，AC＝AE，DG＝3，求DF的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）当k≠1时，（1）中的结论不成立，此时DG＝kDE，理由见解析；
（3）2．
【分析】（1）根据已知条件得到∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD＝BD，求得∠DAG＝∠DCE，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ACD＋∠BAC＝∠B＋∠BAC＝90°，根据相似三角形的性质得到＝＝k，得到∠DAG＝∠DCE，推出△ADG∽△CDE，根据相似三角形的性质得到DG＝kDE；
（3）如图，连接GE，根据全等三角形的性质得到FC＝FE，求得GC＝GE，根据勾股定理得到GE＝＝5，求得CG＝5，得到CD＝CG＋DG＝8，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝kBC，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD＝BD，
∵AF⊥CE，
∴∠DAG＋∠AEF＝∠DCE＋∠AEF＝90°，
∴∠DAG＝∠DCE，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴DG＝DE；
（2）解：当k≠1时，（1）中的结论不成立，此时DG＝kDE，
理由：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ACD＋∠BAC＝∠B＋∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴＝＝k，
∵AF⊥CE，
∴∠DAG＋∠AEF＝∠DCE＋∠AEF＝90°，
∴∠DAG＝∠DCE，
∴△ADG∽△CDE，
∴＝k，
∴DG＝kDE；
（3）解：如图，连接GE，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC＝∠AFE＝90°，
∵AC＝AE，AF＝AF，
∴RtAFC≌Rt△AFE（HL），
∴FC＝FE，
∴GC＝GE，
∵∠CDE＝∠ACB＝90°，
∴DF＝CE，
∵DG＝DE，DG＝3，
∴DE＝4，GE＝＝5，
∴CG＝5，
∴CD＝CG＋DG＝8，
∴CE＝＝4，
∴DF＝2．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
24．（12分）（2023·南充）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM·EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；分类讨论；多边形与平行四边形；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；
（2）点P的坐标为：（2，3），（1＋，－3）或（1－，－3）；
（3）是定值为16，理由见解答．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当BQ为对角线时，同理可解；
（3）求出直线GD的表达式为：y＝－（m－1）（x－1）＋4，得到M（1＋，0），同理可得，EN＝，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x＋1）（x－3）＝a（x2－2x－3），
即－3a＝3，
则抛物线的表达式为：y＝－x2＋2x＋3；
（2）设点P的坐标为：（m，－m2＋2m＋3），点Q（x，0），
当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式得：3＝－m2＋2m＋3，
解得：m＝0（舍去）或2，
则点P（2，3）；
当BQ为对角线时，同理可得：0＝－m2＋2m＋3＋3，
解得：m＝1±，
则点P的坐标为：（2，3），（1＋，－3）或（1－，－3）；
（3）是定值，理由：
直线GH过点（1，3），故设直线GH的表达式为：y＝k（x－1）＋3，
设点G、H的坐标分别为：（m，－m2＋2m＋3），点N（n，－n2＋2n＋3），
联立y＝k（x－1）＋3和y＝－x2＋2x＋3并整理得：x2＋（k－2）x－k＝0，
则m＋n＝2－k，mn＝－k，
由点G、D的坐标得，直线GD的表达式为：y＝－（m－1）（x－1）＋4，
令y＝0，则x＝1＋，即点M（1＋，0），
则EM＝1－1－＝－，
同理可得，EN＝，
则EM·EN＝－×＝－＝＝＝16．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、根和系数的关系等，有一定的综合性，难度适中．