广西壮族自治区贵港市2024届高三下学期模拟预测数学试题

这是一份广西壮族自治区贵港市2024届高三下学期模拟预测数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则（ ）
A.B.C.D.
2.某校组织校庆活动，负责人将任务分解为编号为A，B，C，D的四个子任务，并将任务分配给甲、乙、丙3人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为A的子任务的分配方法共有（ ）
A.12种B.18种C.24种D.36种
3.设向量，，若，则（ ）
A.B.C.1D.
4.若函数在上是单调增函数，则a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
5.已知，则（ ）
A.B.C.D.
6.已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（ ）
A.B.C.2D.4
8.已知四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，，，是等边三角形且.若点P在四棱锥S-ABCD的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面平面ABCD，则d的最大值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.声强级（单位：dB）由公式给出，其中l为声强（单位：），不同声的声强级如下，则（ ）
A.B.C.D.
10.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，点Q在抛物线C的准线上，则以下命题正确的是（ ）
A.的最小值是2
B.
C.当点P的纵坐标为4时，存在点Q，使得
D.若是等边三角形，则点P的横坐标是3
11.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.是奇函数B.在区间上有且只有一个零点
C.在区间上单调递增D.在区间上有且只有两个极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.曲线在处的切线方程为__________.
13.一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2.现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，方差为__________.
14.将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”，若单位圆上n个颜色不相同且位置固定的点经过k次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”，并将所有满足“条件T”的图形个数记为，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足.
（1）求角A的大小；
（2）试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，写出你的选择__________，并以此为依据求的面积.（注：只需写出一个选定方案即可）
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
16.（15分）如图，在中，，，.将绕OP旋转得到，D，E分别为线段OP，AP的中点.
（1）求点D到平面ABP的距离；
（2）求平面OBE与平面ABP夹角的余弦值.
17.（15分）某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲、乙、丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为P.
（1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率；
（2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若，试比较乙、丙两同学得分的数学期望的大小.
18.（17分）设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线l过点，直线l与双曲线C的左、右两支的交点分别为M、N，直线l与双曲线C的渐近线的交点为P、Q，其中点Q在y轴的右侧.设、、的面积分别是、，.
（1）求双曲线C的方程；
（2）求的取值范围.
19.（17分）若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数”.
（1）证明：为“切合函数”；
（2）若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为，
（i）求证：；
（ii）求证：.
2024届高三收网考数学试题参考答案
1.【答案】B.【详解】因为复数满足，所以，
所以，，所以.故选：B.
2.【答案】C.【详解】不考虑限制条件则共有种方法，若甲分到编号子任务，有两种情况：甲分到一个子任务（即只有编号子任务），此时共有种方法；甲分到两个子任务（即包含编号子任务），此时共有种方法；则所求的分配方法共有种.故选：C.
3.【答案】C.【详解】由，，
由题意可知，，则，解得.故选：C.
4.【答案】C.【详解】要使函数在上是增函数，
只需，解得，即的取值范围是.故选：C.
5.【答案】A.【详解】，.故选：A.
6.【答案】C.【详解】若数列为递增数列，则，即，由，所以有；
反之，当时，，则数列为递增数列；
所以“”是“数列为递增数列”的充要条件.故选：C.
7.【答案】A.【详解】由题意可知，椭圆的离心率为，，解得，
故椭圆的标准方程为，令，
联立，消去得，
则，得，则最大值为.
故选：A.
8.【答案】A.【详解】依题意如图所示：
取BC的中点，则是等腰梯形ABCD外接圆的圆心，取是的外心，
作平面，平面SAB，则是四棱雉的外接球球心，
且，，设四棱雉的外接球半径为，则，
而，所以.故选：A.
9.【答案】BC.【详解】由表知，当时，，得；当时，，得，
所以，故A错误；
，则，故B正确；
当时，，故C正确；
当时，即，得，则，故D错误.故选：BC.
10.【答案】ABD.【详解】A选项，由题意得，准线方程为，
设准线与轴交点为，过点作抛物线的准线，垂足为，
由拋物线定义可知，，则，
故当与点A重合时，取的最小值，
显然，当P与点O重合时，取得最小值，最小值为，
故的最小值为2，A正确；
B选项，由A选项知，当点与点A重合时，等号成立，故B正确；
C选项，当点的纵坐标为4时，令中的，得，故.假设存在点，
则，，令，无解，矛盾，故不存在点Q，C错误；
D选项，若是等边三角形，则，因，故，
即点与点A重合，则轴，则，又，
则，所以，故点P的横坐标是，D正确.故选：ABD.
11.【答案】AC.【详解】函数是偶函数，则，因为，
所以，故，将替换为，得到，
故为奇函数，A正确；因为，故，故，
所以的一个周期为4，故在区间上的零点个数与在区间上的相同，因为，而，故，
其中，，故在区间至少有2个零点，B错误；
当时，，则，令，，，所以，当时，
，单调递增，当时，，单调递减，
又，，
故在上恒成立，则在上恒成立，
故在上单调递增，C正确：当时，，
故，令，，
当时，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，因为，，，
由零点存在性定理，，使得，当时，，
当时，，时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以区间上有且只有一个极值点，D错误.故选：AC.
12.【答案】.【详解】由题意得，且，时，，所以曲线在处的切线方程为，即.
13.【答案】.【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为，则，
所以，，
所以.
当加入新数据4，5，6后，平均数，
方差.
14.【答案】125.【详解】，即，.
如图，在单位圆上有5个颜色不同的点，由4条边连接起来，每条边有2个端点，所以4条边一共有8个端点，又由于从任意一点出发，沿着边可以达到任意一点，所以每一点必定会作至少一条边的端点，所以可能出现的情形有三种情形，按照5个点可能同时做几条边的公共端点来分情况讨论：
情形1：有3个点是2条边的端点，另2个点是1条边的端点，有种；
情形2：有1个点是3条边的端点，有1个点是2条边的端点，
另3个点是1条边的端点，有种：
情形3：有1个点是4条边的端点，另4个点是1条边的端点，共有种；
综上：.故答案为：125.
15.（13分）【详解】（1），，
，，，.由于，，所以，.
（2）若选②③，三个已知条件是，，，
没有一个是具体的边长，无法确定.
若选①②，三个已知条件是，，，
由正弦定理得，
此时存在且唯一，，
所以；
若选①③，三个已知条件是，，.
由余弦定理得，即，
解得，，此时存在且唯一，
所以.
16.（15分）【详解】（1）取AB的中点，连接PC，OC，作，垂足为.
因为，，点为AB的中点，所以，.
又，所以平面POC.
因为平面POC，所以.又，，
所以平面PAB，即点到平面ABP的距离为DF的长度.
易证平面OAB，所以.
因为是边长为2的等边三角形，所以，
又，所以，所以.
（2）以为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，.
设平面OBE的法向歶为，
可得即
令，得.取PC的中点，连接OG，
在等腰中，易证，平面PAB，
所以为平面ABP的一个法向量.设平面OBE与平面ABP的夹角为，
则.
17.（15分）【详解】（1）记事件为该题的正确答案是2个选项，则为该题的正确答案是3个选项，
即，，由得，，，
设事件为甲同学既选出正确选项也选出错误迭项，
则，，
则.
（2）由得，，设表示乙同学答题得分，则的可能取值为0，2，3，
所以，
，，所以，
设表示乙同学答题得分，则的可能取值为0，4，6，
所以，，，
所以，即，
故乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望.
18.（17分）【详解】（1）由题意知双曲线的一条渐近线方程为，
离心率为，即①，顶点到渐近线的距离为，
由对称性不妨取顶点，则②，又③，
联立①②③，解得：，
所以双曲线的方程为：.
（2）由题意可得，直线的斜率存在，
设直线的方程为，设，
联立直线l与双曲线，消y得，
则，解得：，
则，
则，
联立直线与渐近线方程：，解得：，，
所以，
所以，
又因为，即，所以，所以.
19.（17分）【详解】（1）假设存在两个不同的数，，满足题意，
易知，
由题意可得，即，
，，，，又，所以.
因为，即，
化简可得，又，所以，
代入，可得，或，，
所以为“切合函数”.
（2）由题意知，因为为“切合函数”，
故存在不同的数，（不妨设）使得，
即，
整理得，
（i）先证，即，，
令，则由，知，要证，只需证，
即，设，
易知，
故在单调递减，所以，故有，
由上面的（2）式知，所以.
（ii）由上面的（2）得，
，
又，所以且，
故要证，
只需证，即，
设，则即证，，
设，
则，
即也就是在单调递增，
，
所以在单调递增，所以，
因为，所以，
所以，所以原不等式成立.I（）
正常人能忍受最高声强
正常人能忍受最低声强
正常人平时谈话声强
某人谈话声强
（dB）
120
0
80