湖南省衡阳市第一中学2024年高二下学期期中考试数学试卷（学生版+教师版）

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考试时间：120分钟 总分：150分
命题人：罗政 范晓农 审题人：王小波
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
4. 设定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6. 衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（ ）
A. 15B. 16C. 17D. 18
7. 已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
8. 已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 关于的不等式的解集是，则
C. 若正实数，满足，则的最小值为
D. 若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是
10. 已知函数为奇函数，且，当时，，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. 的图象关于直线对称
C. 的最小正周期为2D.
11. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是极大值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正整数k，使得恒成立
D. 对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的单调递减区间为_______
13. 已知函数，则______．
14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______.
四、解答题:本题共5小题，15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求最大值及取得最大值时x的取值集合．
16. 记等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
17. 如图，在三棱锥中，E为BC的中点，O为DE的中点，，，都是正三角形．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
18. 如图，已知椭圆（）左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，证明：直线过定点，并求出定点坐标；
19 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：函数的图象位于直线的下方；
（3）若函数在区间上无零点，求的取值范围.