2024年北京市石景山区高三下学期3月统一练习数学试卷含答案

这是一份2024年北京市石景山区高三下学期3月统一练习数学试卷含答案，共11页。
本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则（ ）
A．B．C．D．
4．设，，是三个不同平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则的前5项和为（ ）
A．－15B．－3C．5D．25
6．直线与圆相交于A，B两点，则线段AB的长度可能为（ ）
A．5B．7C．9D．14
7．已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ）
A．B．1C．D．
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
10．对于曲线，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线C与曲线有四个交点．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．复数z在复平面内对应的点为，则______．
12．斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，则______．
13．已知向量，满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为______．
14．设函数．
①若有两个零点，则实数a的一个取值可以是______；
②若是上的增函数，则实数a的取值范围是______．
15．黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，．若，，给出下列四个结论：
①；②；
③；④．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题13分）
在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
17．（本小题14分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．
（Ⅰ）求证：平面PAD；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的大小．
条件①：；
条件②：平面PAD．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题13分）
为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：
（Ⅰ）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
（Ⅱ）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）
19．（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值；
（Ⅲ）当时，求证：．
20．（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，过点分别作直线，，直线与椭圆相切于第三象限内的点G，直线交椭圆C于M，N两点．若，判断直线与直线OG的位置关系，并说明理由．
21．（本小题15分）
已知集合，对于，，定义A与B之间的距离为．
（Ⅰ）已知，写出所有的，使得；
（Ⅱ）已知，若A，，并且，求的最大值；
（Ⅲ）设集合，P中有个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值为t，求证：．
石景山区2024年高三统一练习
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B 7．A 8．B 9．C 10．C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11． 12．8 13．1 14．－1 15．②③④
三、解答题
16．（本小题13分）
解：（1）在锐角中，，
因为，所以，所以，
因为，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
，
在锐角中，因为，所以，
所以．
17．（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为平面ABCD，AD，平面ABCD，
所以，，
在中，，所以．
因为，，，
所以，即．
又因为，所以平面PAD．
（Ⅱ）选条件①
在平面ABCD上过A点作交BC于E点，
根据（Ⅰ）知，，，建立以A为原点，
向量，，方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系．
连接AC，易知，因为，，
在中，，
所以，因为，所以，
易证四边形AECD为正方形．
，，，，，
，，
设平面PBC的法向量为，则
即，解得，，令，则，
由（Ⅰ）知平面PAD的法向量为，
．
所以，平面PBC与平面PAD所成锐二面角的大小为．
选条件②
因为平面PAD，平面平面，平面ABCD，所以．
在平面ABCD上过A点作交BC于E点，
易证四边形AECD为正方形，
根据（Ⅰ）知，，，建立以A为原点，
向量，，方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系．
则，，，，，
，，
设平面PBC的法向量为，则，
即，解得，，令，则，
由（Ⅰ）知平面PAD的法向量为，
．
所以，平面PBC与平面PAD所成锐二面角的大小为．
18．（本小题13分）
解：（Ⅰ）设事件A为“从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，2株植物的类型都是乔木幼苗”，由表格知，样本中老山油松人工林林下灌木层的植物共有100株，其中乔木幼苗有5株，所以估计为．
（Ⅱ）由题意可知，从抽取的妙峰山油松次生林灌木层的植物样本中随机抽取1株植物是灌木的概率估计为，X的可能取值是0，1，2，3．
所以估计为；估计为；
估计为；估计为．
随机变量X的分布列为
所以EX估计为．
或因为，所以EX估计为．
（Ⅲ）．
19．（本小题15分）
解：（Ⅰ），
所以，．
所以在点处的切线方程为．
（Ⅱ）因为，令，由已知，解得．
当x变化时，，随x的变化如下表：
所以①当，即时，在为增函数，
则，．
②当，即时，
在为减函数，在为增函数．
则，而，，
所以，即．
（Ⅲ）当时，，
令，
则，
令，则当时，，
所以函数在区间上是增函数，
又，，所以函数存在唯一的零点，
且当时，；当时，．
所以当时，；当时，．
所以函数在上为减函数，在上为增函数，
故，
由得，即．
两边取对数得，故，
所以恒成立，即．
20．（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意得，解得，．
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）直线与直线OG平行．证明如下：
显然直线斜率存在，设直线方程为．
由得．
因为直线与椭圆相切，
，
令解得或．
因为直线与椭圆相切于第三象限内的点G，所以舍去．
所以，所以，，
所以，
所以，直线OG斜率为，，
直线的斜率不存在时，，所以，不成立．
设直线的方程为，，，
由，得．
直线交椭圆C于M，N两点．，
所以或．所以，．
，同理，
所以．
所以，解得或；
因为或，所以．所以直线与直线OG平行．
21．（本小题15分）
解：（Ⅰ），，，．
（Ⅱ）
，
所以．同理．
①当，即时，
．
例如当，时，等号成立．
②当，即时
．
同理可知等号成立．所以．
（Ⅲ）记，
①显然集合中元素的个数小于等于集合P中元素的个数；
②，且，假设它们满足，，…，，
则由定义必有，与P中不同元素间距离至少为t相矛盾．
从而．
从而集合中元素的个数等于集合P中元素的个数，即均为m个．
又因为中元素有个分量，
所以集合至多有个元素，从而成立．
表1：老山油松人工林林下灌木层
表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
植物名称
植物类型
株数
植物名称
植物类型
株数
酸枣
灌木
28
黄栌
乔木幼苗
6
荆条
灌木
41
朴树
乔木幼苗
7
孩儿拳头
灌木
22
栾树
乔木幼苗
4
河朔荛花
灌木
4
鹅耳枥
乔木幼苗
7
臭椿
乔木幼苗
1
葎叶蛇葡萄
木质藤本
8
黑枣
乔木幼苗
1
毛樱桃
灌木
9
构树
乔木幼苗
2
三裂绣线菊
灌木
11
元宝槭
乔木幼苗
1
胡枝子
灌木
10
大花溲疏
灌木
10
丁香
灌木
8
X
0
1
2
3
P
x
－
0
＋
减函数
极小值
增函数