安徽省江南十校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省江南十校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．等差数列中,,,则( )
A.-2B.-1C.0D.2
2．安徽省某市石斛企业2024年加入网络平台直播后,每天石斛的销售量（单位：盒）,估计300天内石斛的销售量约在1950到2050盒的天数大约为( )
（附：若随机变量,则,,）
A.205B.246C.270D.286
3．已知,,圆M经过A,B两点,且圆的周长被x轴平分,则圆M的标准方程为( )
A.B.
C.D.
4．“一带一路”2024国际冰雪大会中国青少年冰球国际邀请赛在江苏无锡举行,现将4名志愿者分成3组,每组至少一人,分赴3个不同场馆服务,则不同的分配方案种数是( )
A.18B.36C.54D.72
5．在棱长均相等的正三棱柱中,E为棱AB的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
6．已知是各项均为正数的等比数列,若,,,则数列的最小项为( )
A.B.C.D.
7．已知抛物线的焦点为F,直线l过点F且与抛物线交于P,Q两点,若,则直线l倾斜角的正弦值为( )
A.B.C.2D.3
8．已知函数,若在上单调,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,下列关于的说法正确的是( )
A.在上单调递减B.在上单调递增
C.有且仅有一个零点D.存在极大值点
10．现有甲、乙两个盒子,各装有若干个大小相同的小球（如图）,则下列说法正确的是( )
A.甲盒中一次取出3个球,至少取到一个红球的概率是
B.乙盒有放回的取3次球,每次取一个,取到2个白球和1个红球的概率是
C.甲盒不放回的取2次球,每次取一个,第二次取到红球的概率是
D.甲盒不放回的多次取球,每次取一个,则在第一、二次都取到白球的条件下,第三次也取到白球的概率是
11．达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案,如图1,把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合,这个组合再转化为图3所示的几何体,图3中每个正方体的棱长为1,E,F为棱,AB的中点,则( )
A.点P到直线CQ的距离为2
B.直线平面
C.平面和平面的距离为
D.平面截正方体所得的截面的周长为
三、填空题
12．的展开式中常数项为___________.
13．已知函数,其中,若是的极小值点,则实数a的取值范围为______________.
14．过双曲线的左焦点F作渐近线的垂线,与双曲线及渐近线的交点分别为A,B,点A,B均在第二象限,且A为线段FB的中点,则_____________.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为,且满足.
（1）求及;
（2）若,求满足条件的最大整数n的值.
16．如图,某市有三条连接生活区与工作区的城市主干道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,在出行高峰期主干道Ⅰ有,,三个易堵点,它们出现堵车的概率都是;主干道Ⅱ有,两个易堵点,它们出现堵车的概率分别为和;主干道Ⅲ有,,,四个易堵点,它们出现堵车的概率都是,某人在出行高峰期开车从生活区到工作区,假设以上各路点是否被堵塞互不影响.
（1）若选择了主干道Ⅰ行驶,求三个易堵点,,至少有一个出现堵塞的概率;
（2）已知主干道Ⅰ的每个易堵点平均拥堵4分钟,主干道Ⅱ的每个易堵点平均拥堵5分钟,主干道Ⅲ的每个易堵点平均拥堵3分钟,若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准,则从生活区到工作区最优的出行路线是哪一条？
17．在我国古代数学典籍《九章算术》中,有一种名为“羡除”的几何体,它由古代的隧道形状抽象而来,如图,ABCDFE为五面体,,四边形ABCD,AEFD,BEFC均为等腰梯形,平面平面AEFD,,,,EF到平面ABCD的距离为3,BC和AD的距离为2,点G在棱BC上且.
（1）证明：;
（2）求平面ABE与平面BEF夹角的余弦值.
18．已知直线与函数.
（1）记,求函数的单调区间;
（2）若直线l与函数的图象相切,求实数k的值;
（3）若时,直线l始终在函数图象的上方,求实数k的取值范围.
19．已知椭圆的离心率为,焦距为2,,分别为椭圆的左、右焦点,M为椭圆上异于长轴端点的一个动点,直线,与椭圆的另外一个交点分别为P,Q.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若点M在x轴上方,,求直线MP的方程;
（3）设,的面积分别为,,求的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由等差数列性质得,即,又,故.
2．答案：A
解析：由可知大约有205天.
3．答案：B
解析：线段AB的中垂线为,令得,
所以圆M的标准方程为.
4．答案：B
解析：种.
5．答案：A
解析：过E作,F为垂足,连接,则为直线与平面所成角,
设三棱柱的棱长为2,则,,.
6．答案：B
解析：由题意,,由得,故最小.
7．答案：A
解析：过P,Q分别作,垂直于准线,垂足分别为,,过Q作,垂足为R,
设,则,,.
8．答案：D
解析：因为为奇函数,要使函数在上单调,只要函数在上单调.
又,且,故函数在上只能单调递减,
由解得,经检验易知,时符合题意.
9．答案：BC
解析：由题意知函数的定义域为R,令,得为函数的极小值点;
令,得为的唯一零点,
综上：BC正确.
10．答案：ABC
解析：记记“甲盒中取3球至少一个红球”,则,故A正确;
记“乙盒有放回的取3次球,取到2个白球”,则,故B正确;
记“甲盒不放回第i次取到红球”,
则,故C正确.
又,故D不正确.
11．答案：ABD
解析：由余弦定理得得,P到CQ的距离为,所以A正确;
选项B：如图,以点D为坐标原点,以DA,DC,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,
则,,,,, ,
设平面的法向量分别为,
,所以B正确;
选项C：易求,A到平面的距离为,
所以平面与平面的距离为,故C不正确;
选项D：连接并延长交CD延长线于U,连接UF交AD于V,
交CB的延长线于W,,
,,,
所以截面周长为,所以D正确.
12．答案：135
解析：展开式的通项,
令,得故常数项为.
13．答案：
解析：由题意得,
由得,从而.
14．答案：1
解析：设双曲线的右焦点为,
由,得,,中,,
又,从而,故.
15．答案：（1）,
（2）3
解析：（1）由得,两式相减得,
又得,故是以为首项、为公比的等比数列,
从而,.
（2）由,得,
则满足条件的最大整数n为3
16．答案：（1）
（2）选择主干道Ⅲ行驶最优
解析：（1）记“三个路点中至少有一个被堵塞”,则.
（2）记各路线平均拥堵时间为,记选择主干道Ⅰ行驶遇到的堵塞次数为,
所以,
记选择主干道Ⅱ行驶遇到的堵塞次数为,则由题可得,
,
故平均拥堵时间分布列为
所以
记选择主干道Ⅲ行驶遇到的堵塞次数为,则,,
综上,选择主干道Ⅲ行驶最优.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）如图,过点G作,垂足为O,连接OE,
因为平面平面AEFD,平面ABCD,平面平面,
从而平面AEFD,所以,在BC上取一点I使得,
过I作,H为垂足,则,因为,所以,
又AEFD为等腰梯形,所以,又,所以平面EOG,
又平面EOG,所以;
（2）如图,以点O为坐标原点,以OE,OD,OG所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,
则,,,,
设平面ABE,平面BEF的法向量分别为,,
令,得,
令,得,
,
故平面ABE与平面BEF夹角的余弦值.
18．答案：（1）的单调增区间为,单调减区间为
（2）2
（3）
解析：（1）由题意得,,,则,
故函数的单调增区间为,单调减区间为.
（2）设直线与函数相切于点,
则,得,
令,则故在上单调递减,
从而至多一根,
又,故,.
（3）法一：由题意知,当时,恒成立,
令,,则,,
①当时,,则,在上单调递增,故.
②当时,令得,,
由且得,故当时,,在上单调递减,
从而,不符合题意;
综上所述：k的取值范围为.
法二：分离参数利用洛必达法则也可.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）;
（2）设,,,联立,得,
即,则
,即③
由①③得,,代入②得,, 或（舍）
直线MP的方程为：.
（3）设,,,则,
④
设：,,
联立,得,即,
,
即 ⑤
同理： ⑥
把⑤⑥代入④得,,
,.
0
5
10
P