重庆市乌江新高考协作体2024届高三下学期模拟监测（三）数学试题（Word版附解析）

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数学试题
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知表示空间中两条不同的直线，表示一个平面，且∥，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知是虚数单位，复数的实部、虚部分别为3，2，则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ）
A. B. C. D.
4. 《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A. B. C. D.
5. 设为某正方体的一条体对角线，为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从中任选两点连成线段，则与垂直的线段数目是（ ）
A. 12B. 21C. 27D. 33
6. 设A，B，C，D为抛物线上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线和直线的距离分别为，，已知.则（ ）
A. B. C. 1D.
7. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A B. 1C. 2D.
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9. 某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A. a＝0.028
B. 在4 000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1 320人
C. 估计短视频观众的平均年龄为32岁
D. 估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁
10. 如图，将一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，正四棱锥的侧面积为
B. 当时，正四棱锥的体积为
C. 当时，正四棱锥外接球的体积为
D. 正四棱锥的体积最大值为
11. 已知，动点满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 点的轨迹围成的图形面积为
B. 的最小值为
C. 是的任意两个位置点，则
D. 过点的直线与点的轨迹交于点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的最小值为____________.
13. 若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有______个．
14. 设，则的最大值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）试讨论函数单调性．
16. 在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给出真实答复，因此需要特别的调查方法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．某单位为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查．问卷调查中设置了两个问题：①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意．调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题，第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）．已知统计问卷中有198个“是”．（参考数据：）
（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计员工对新考勤管理方案满意的概率；
（2）据核实，以上的300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人，试判断是否有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关；
参考公式和数据如下：，．
（3）从该单位任取10人，恰有X人对考勤管理方案不满意，利用（1）中的结果，写出的表达式（其中，），并求出X的数学期望.
17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）O为坐标原点，过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．
18. 如图，在三棱锥中，分别是侧棱的中点，，平面.

（1）求证：平面平面；
（2）如果，且三棱锥体积为，求二面角的余弦值.
19. 在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数”；还有“欧拉质数多项式”：.但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术—DZB数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数的分子分母分别乘以同一个素数19，就会得到加密数据.这个过程叫加密，逆过程叫解密.
（1）数列中经DZB数据加密协议加密后依次变为.求经解密还原的数据的数值；
（2）依据的数值写出数列的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列前项的和；
（3）为研究“欧拉质数多项式”性质，构造函数是方程的两个根是的导数.设.证明：对任意的正整数，都有.（本小题数列不同于第（1）（2）小题）
0.15
0.10
005
0.025
0.005
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2.706
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7.879