2023-2024学年重庆市巴蜀中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年重庆市巴蜀中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=lnx，则f(x)在点P(2,ln2)处切线的斜率为( )
A. 12B. 1C. eD. e
2.(x+2x)5的二项展开式中x的系数为( )
A. −40B. 40C. −80D. 80
3.已知公比为正数的等比数列{an}前n项和为Sn，且S2=1，S4=5，则a1=( )
A. −1或13B. −1C. 13D. −13
4.已知函数f(x)=−x3+3x+1，则f(x)在区间[−32,32]上的最小值为( )
A. −2B. −1C. −18D. 178
5.甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有( )
A. 3种B. 6种C. 9种D. 12种
6.已知函数f(x)=ex⋅lnxx4，其中e为自然对数的底数，下列四个图象中f(x)的大致图象是( )
A. B. C. D.
7.设等差数列{an}满足(a1012−1)2025+(a1012−1)=2024，(1−a1013)2025+(1−a1013)=2024，数列{an}的前n项和记为Sn，则( )
A. S2024=2024，a1012>a1013B. S2024=−2024，a1012>a1013
C. S2024=2024，a10128.已知双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点F2与抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点重合，C1与C2在第一象限相交于点P.若|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，则C1的渐近线方程为( )
A. y=±3xB. y=±3 2xC. y=±2xD. y=±2 2x
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知(3−2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则( )
A. a0=729
B. a3是所有系数中的最大值
C. a0+a2+a4+a6=56−12
D. 26a0+25a1+24a2+…+2a5+a6=4096
10.对于事件A，B，C，下列命题中正确的有( )
A. 若P(A)+P(B)=1，则A与B互为对立事件
B. 若P(C)>0，则P(A|C)≥P(AC)
C. 若A⊆B，B−是B的对立事件，则P(A∪B−)=P(A)+P(B−)
D. 若P(A)≠0，P(AB)≠0，则P(ABC)=P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)
11.已知函数f(x)=ex−ax(a∈R)，其中e为自然对数的底数，下列选项正确的有( )
A. 若函数f(x)有两个零点，则a的取值范围是(e,+∞)
B. 当a=2时，若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>2ln2
C. 当a=3时，若f(x1)=f(x2)=0，则x1+x2>2
D. 若f(x1)=f(x2)=0(00
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从正态分布，即：X∼N(2,σ2)，若P(X≥−1)=0.8，P(2≤X≤m)=0.3，则实数m=______.
13.某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，则4个语言类中恰有1个安排在3个歌舞类节目之间的概率为______.
14.在探究(a+b)n的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角.杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章.杨辉三角如图1所示：
如图1，杨辉三角第6行的7个数依次为C60，C61，C62…C65，C66.现将杨辉三角中第n(n≥1,n∈N*)行的第r(1≤r≤n+1,r∈N*,n∈N*)个数乘以(r−1)，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2：
在这个新的三角数阵中，第10行的第3个数为______；前n(n∈N*)行的所有数的和为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛.该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”.根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
若三人各自比赛时互不影响.
(1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率；
(2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率.
16.(本小题15分)
已知数列{an}各项均为正数，{an}的前n项和为Sn，从①a1=1，Sn=nan+12(n∈N*)；②2S1a1+1+2S2a2+1+⋯+2Snan+1=Sn(n∈N*)，这两个条件中任选一个，解决下面两个问题.(如果两个都选择的按第一个给分.)
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}为等比数列，满足b1=a2，a4+b4=20，数列{cn}满足cn=bn(bn−1)(bn+1−1)，求{cn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品.奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱.某果园从一批(个数很多)成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量(单位：g)将它们分类如下：质量在[300,400)的为二级果，质量在[400,500)的为一级果，质量在[500,600]的为特级果，个数分别为30个，40个，30个.
(1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率；
(2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)若这批脐橙的质量都在[300,600]内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差.
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，且过点(2,1).圆O：x2+y2=2的切线l与椭圆E相交于A，B两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线OA，OB的斜率存在为k1，k2，直线l的斜率存在为k，若k=k1⋅k2，求直线l的方程；
(3)直线OA，OB与圆O：x2+y2=2的另一个交点分别为C，D，求△OAB与△OCD的面积之和的取值范围.
19.(本小题17分)
若函数f(x)的导函数f′(x)在点x0可导，则称f′(x)在点x0的导数值为f(x)在点x0的二阶导数，记作f′′(x).若f(x)在开区间I内的每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶导函数，记作f′′(x).曲线y=x2上任意两点间的弧段总在这两点的下方；而曲线y= x则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数.连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.拐点在统计学，物理学，经济学领域都有重要的应用.若函数f(x)在定义域内是一条连续不断的曲线，对任意的x∈(m,n)，f(x)的导函数f′(x)都存在，且f′(x)的导函数f′′(x)也都存在，若∃x0∈(m,n)，使得f′′(x0)=0，且在x0的左右附近，f′′(x)异号，则称点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.已知函数f(x)=x−(x+1)ln(x+1)，g(x)=(x−5)ex−k12x4+12kx3，h(x)=ex−ax3−sinx.
(1)求f(x)在定义域内的拐点个数；
(2)若g(x)在(0,+∞)上有唯一拐点(3,g(3))，求实数k的取值范围；
(3)函数F(x)=f(x)+h(x)在区间(−1,0)恰有一个拐点，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：f′(x)=1x，
则f′(2)=12，即f(x)在点P(2,ln2)处切线的斜率为12.
故选：A.
利用导数的几何意义直接得解．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：二项式(x+2x)5的展开式的通项公式是Tr+1=C5r⋅x5−r⋅(2x)r=C5r⋅2r⋅x5−2r，r=0，1，，
令5−2r=1，解得r=2；
∴T2+1=C52⋅22⋅x=40x，
∴x的系数是40.
故选：B.
根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数．
本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，则q>0，
S2=1，即a1+a2=1，
又由S4=5，则有a3+a4=S4−S2=q2(a1+a2)=4，
变形可得q2=4，即q=2，
又由a1+a2=1，即a1+a2=a1+2a1=3a1=1，解可得a1=13.
故选：C.
根据题意，设等比数列{an}的公比为q，分析可得a3+a4=S4−S2=q2(a1+a2)=4，求出q的值，进而可得a1+a2=a1+2a1=3a1=1，解可得答案．
本题考查等比数列的前n项和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：f′(x)=−3x2+3=3(1−x)(1+x)，
当−10，f(x)单调递增，
当−32≤x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当1因为f(−1)=−1，f(32)=178，
所以f(x)的最小值为−1.
故选：B.
先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，
则不同的报名学习方式有C31(C21+C22)=9种．
故选：C.
由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题．
6.【答案】C
【解析】解：f(x)=ex⋅lnxx4，x∈(0,+∞)，
f′(x)=ex[(x−4)lnx+1]x5，
令g(x)=(x−4)lnx+1，
g′(x)=lnx+1−4x在x∈(0,+∞)上单调递增，
又g(e)=2−4e>0，g(2)=ln2−1<0，
∴存在唯一x0∈(2,e)，使得g′(x0)=0，
函数g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
∴函数g(x)取得极小值即最小值，g(x0)=(x0−4)lnx0+1而g(1)=1>0，g(4)=1>0，
∴存在x1∈(1,x0)，x2∈(x0,4)，
使得g(x1)=g(x2)=0，
且函数f(x)在(0,x1)上单调递增，在x1，x2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增．
故选：C.
利用导数的运算法则可得f′(x)=ex[(x−4)lnx+1]x5，令g(x)=(x−4)lnx+1，再利用导数研究函数g(x)的单调性，进而得出函数f(x)的单调性与极值，即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、数形结合法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：令f(x)=x2025+x，则f(x)为奇函数，
当x≥0时，f′(x)=2025x2024+1>0，即f(x)单调递增，
根据奇函数的对称性可知，f(x)在R上单调递增，
因为(a1012−1)2025+(a1012−1)=2024，(1−a1013)2025+(1−a1013)=2024，
所以a1012−1=1−a1013，即a1012+a1013=2，
故S2024=2024(a1+a2024)2=1012(a1012+a1013)=2024，
因为a1012−1=1−a1013>0，
所以a1012>1>a1013.
故选：A.
令f(x)=x2025+x，则f(x)为奇函数且在R上单调递增，结合函数的单调性及奇偶性及等差数列的性质及求和公式即可求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点为(p2,0)，
设双曲线的半焦距为c，可得c=p2，
设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意可得m+n=4c，
由双曲线的定义可得m−n=2a，
解得n=2c−a，
设P(x0,y0)，可得n=x0+p2，即x0=2c−a−c=c−a，
则y02=2px0=4c(c−a)，
由P在双曲线上，可得(c−a)2a2−4c(c−a)b2=1，
结合b2=c2−a2，化简可得c2−ac−6a2=0，解得c=3a，
则c2=a2+b2=9a2，即有b=2 2a，
可得双曲线的渐近线方程为y=±2 2x.
故选：D.
设双曲线的半焦距为c，可得c=p2，由双曲线的定义和|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，推得|PF2|=2c−a，结合抛物线的定义和方程，求得P的坐标，代入双曲线的方程，化简整理，可得所求渐近线方程．
本题考查双曲线和抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A：当x=0时，a0=36=729，故A正确；
对于B：由通项可知a3=C63⋅33⋅(−2)3<0，而a0=36=729，∴a3不是所有系数中的最大值，故B错误；
对于C：当x=1时，1=a0+a1+a2+…+a6，
当x=−1时，56=a0−a1+a2−…+a6，
两式相加可得a0+a2+a4+a6=56+12，故C错误；
对于D：(3−2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，
可得(3−2x)6x6=a0x6+a1x5+a2x4+⋯+a5x+a6，
令x=12，可得46=26a0+25a1+24a2+…+2a5+a6=4096.
故选：AD.
直接利用二项式的展开式和赋值法的应用求出结果．
本题考查了二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，如有红黄蓝三张牌，事件A为“甲所取一张牌是红牌或黄牌”，则P(A)=23，
事件B为“乙抽取一张牌是黄牌”，则P(B)=13，
P(A)+P(B)=1，但事件A和事件B不是对立事件，故A错误；
对于B，∵P(C)>0，∴P(C)∈(0,1].
∴P(A|C)=P(AC)P(C)≤P(AC)，故B错误；
对于C，若A⊆B，B−是B的对立事件，则A与B−是互斥事件，
∴P(A∪B−)=P(A)+P(B−)，故C正确；
对于D，若P(A)≠0，P(AB)≠0，则P(ABC)=P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)，故D正确．
故选：CD.
利用对立事件的定义判断A；由条件概率公式判断B；由对立事件、互斥事件定义判断C；由概率乘法公式判断D.
本题考查对立事件、条件概率\互斥事件、概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，令f(x)=0可得1a=xex，令g(x)=xex,g′(x)=1−xex，
x<1时，g′(x)>0，g(x)为增函数；x>1时，g′(x)<0，g(x)为减函数；
g(0)=0,g(1)=1e，且x趋近于+∞时，g(x)趋近于0，其简图如下：
由图可知，若函数f(x)有两个零点，则0<1a<1e，解得a∈(e,+∞)，A正确．
对于B，当a=2时，f(x)=ex−2x，f′(x)=ex−2，
x>ln2时，f′(x)>0，f(x)为增函数；x不妨设x12ln2成立，则x2>2ln2−x1，
因为x12ln2−x1>ln2，所以f(x2)>f(2ln2−x1)，
因为f(x1)=f(x2)，所以f(x1)>f(2ln2−x1)，
设F(x)=f(x)−f(2ln2−x)，xF′(x)=f′(x)+f′(2ln2−x)=ex−2+e2ln2−x−2，
因为ex+e2ln2−x≥2 ex⋅e2ln2−x=2 e2ln2=4，所以F′(x)≥0，F(x)为增函数；
因为x1对于C，a=3时，f(x)=ex−3x，令f(x)=0得13=xex，由A可知，g(x)=xex的简图如下：
不妨设02成立，则需证x2>2−x1，
因为02−x1>1，且g(x)在(1,+∞)为减函数，所以需证g(x2)因为f(x1)=f(x2)=0，所以g(x1)=g(x2)，所以只需证g(x1)设G(x)=g(x)−g(2−x)，0G′(x)=g′(x)+g′(2−x)=1−xex+1−(2−x)e2−x=(x−1)(ex−e2−x)e2，
易知y=ex−e2−x是增函数，因为0因为00，G(x)为增函数；
所以G(x)对于D，因为f(x1)=f(x2)=0(0所以1a=x1ex1=x2ex2，等价于x2ex1=x1ex2，两边取自然对数可得lnx2+x1=lnx1+x2，
由选项C可知，00，lnx2+x1>0，
所以x2+lnx1>0，D正确．
故选：ACD.
选项A分离参数，利用导数研究函数性质作出简图，结合零点个数可得范围；选项B先假设成立，构造对称函数，结合单调性得出矛盾；选项C通过构造对称函数，结合单调性可证成立；选项D通过等价转化结合取值情况可证成立．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题．
12.【答案】5
【解析】解：∵X∼N(2,σ2)，且P(X≥−1)=0.8，
∴P(X>5)=P(X<−1)=1−P(X≥−1)=0.2，
又∵P(2≤X≤m)=0.3，∴P(2≤X≤m)+P(X>5)=0.5，
∴m=5.
故答案为：5.
利用正态分布曲线的对称性求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
13.【答案】835
【解析】解：先把3个歌舞类节目全排列，中间形成2个空，从这2个空中选一个位置安排一个语言类节目，
然后将这4个节目捆绑在一起，与剩余的3个语言节目全排列，共有4412A33CC41A种情况，
又因为7个节目全排列有A77种情况，
所以所求概率为4412A33CC41AA77=835.
故答案为：835.
利用插空法和捆绑法求出符合题意的排列情况总数，再结合古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
14.【答案】902n(n−1)+1
【解析】解：由题可得杨辉三角中第n行的第r个数为Cnr−1，
则新的三角数阵中第n行的第r个数为Cnr−1⋅(r−1)，故第10行的第3个数为C103−1⋅(3−1)=90；
新的三角数阵中第n行的和为：0×Cn0+1×Cn1+2×Cn2+⋯+n⋅Cnn，
设(1+x)n=Cn0⋅x0+Cn1⋅x1+Cn2⋅x2+⋯+Cnn⋅xn,n∈N*，
两边求导得，n(1+x)n−1=Cn1+2Cn2⋅x+3Cn2⋅x2+⋯+nCnn⋅xn−1，
令x=1得，n⋅2n−1=Cn1+2Cn2+3Cn2+⋯+nCnn，
所以新的三角数阵中第n行的和为n⋅2n−1，设前n(n∈N*)行的所有数的和为Sn，
则Sn=1×20+2×21+3×22+⋯+n⋅2n−1，
2Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，
两式相减得，−Sn=20+21+22+⋯+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n，
所以Sn=2n(n−1)+1.
故答案为：90；2n(n−1)+1.
由杨辉三角及二项式系数得出新的三角数阵中第n行的第r个数为Cnr−1⋅(r−1)；先求出新的三角数阵中第n行的和为n⋅2n−1，再根据错位相减法求前n行的所有数的和即可．
本题主要考查杨辉三角，二项式定理，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)根据题意，设甲通关为事件A，乙通关为事件B，
则P(A)=23×12=13，P(B)=12×12=14，
则甲乙都没有通关的概率P(A−B−)=P(A−)P(B−)=(1−13)×(1−14)=12，
故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率P(A+B)=1−P(A−B−)=1−12=12；
(2)根据题意，设丙通关为事件C，三人小组获得“团体奖”为事件D，
P(C)=12×13=16，
P(D)=P(ABC−)+P(ACB−)+P(A−BC)+P(ABC)=1172，
P(AB)=13×14=112，
故P(AB|D)=P(ABD)P(D)=P(AB)P(D)=1121172=611.
【解析】(1)根据题意，设甲通关为事件A，乙通关为事件B，求出甲、乙都没有通关的概率，进而分析可得答案；
(2)根据题意，设丙通关为事件C，三人小组获得“团体奖”为事件D，求出P(D)和P(AB)，进而计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件的概率公式，属于基础题．
16.【答案】解：(1)选①a1=1，Sn=nan+12(n∈N*)，可得a1=S1=a22，解得a2=2，
当n≥2时，由2Sn=nan+1，可得2Sn−1=(n−1)an，
两式相减可得2an=nan+1−(n−1)an，
即为(n+1)an=nan+1，
即有an+1n+1=ann=，
可得an=n，对n=1也成立，
则an=n，n∈N*；
选②2S1a1+1+2S2a2+1+⋯+2Snan+1=Sn(n∈N*)，
可得n=1时，2S1a1+1=S1，解得a1=1，
当n≥2时，由2S1a1+1+2S2a2+1+...+2Snan+1=Sn，可得2S1a1+1+2S2a2+1+...+2Sn−1an−1+1=Sn−1，
两式相减可得由2Snan+1=Sn−Sn−1=an，
即2Sn=an2+an，n=2时，2(1+a2)=a22+a2，解得a2=2，
由2Sn=an2+an，可得2Sn−1=an−12+an−1，
两式相减可得2an=an2+an−an−12−an−1，
化为an+an−1=(an+an−1)(an−an−1)，
由an>0，可得an−an−1=1，且a2−a1=1，
则数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，即有an=n，n∈N*；
(2)数列{bn}为等比数列，设公比为q，由b1=a2=2，由a4+b4=20，可得b4=16，
则q3=8，即有q=2，bn=2n，
由cn=bn(bn−1)(bn+1−1)=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，
则{cn}的前n项和Tn=1−13+13−17+...+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1.
【解析】(1)选①②，运用数列的项与和的关系，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
(2)由等比数列的通项公式，可得bn=2n，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查数列的项与和的关系，以及等差数列和等比数列的定义和通项公式、数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可知，2个果都为一级果的概率为C402C1002=26165；
(2)由分层抽样可知，抽取的10个脐橙中二级果，一级果，特级果分别有3个，4个，3个，
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=C73C103=724，P(X=1)=27C31CC103=2140，P(X=2)=17C32CC103=740，P(X=3)=C33C103=1120，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910；
(3)因为样本中二级果的概率为30100=310，
所以Y∼B(4,310)，
所以E(Y)=4×310=65，D(Y)=4×310×(1−310)=2125.
【解析】(1)利用古典概型的概率公式求解；
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解；
(3)由题意可知，Y∼B(4,310)，利用二项分布的期望公式和方差公式求解．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了二项分布的期望公式和方差公式，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为椭圆E的离心率为 22，
所以e=ca= 22，
整理得a= 2b，①
因为椭圆E经过点(2,1)，
所以4a2+1b2=1，②
联立①②，
解得a= 6，b= 3，
则椭圆E的方程为x26+y23=1；
(2)不妨直线l的方程为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为直线l与圆O：x2+y2=2相切，
所以|m| k2+1= 2，
整理得m2=2(k2+1)，③
联立y=kx+mx26+y23=1，消去y并整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2−6=0，
此时Δ>0，
由韦达定理得x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−62k2+1，
则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=k2(2m2−6)2k2+1.−4k2m22k2+1+m2=m2−6k22k2+1，
可得k1k2=y1y2x1x2=m2−6k22k2+1⋅2k2+12m2−6=m2−6k22m2−6，
又m2=2(k2+1)，
所以k1k2=2−4k24k2−2=−1，
则OA⊥OB，
此时k=k1⋅k2=−1，④
联立③④，
解得m=±2，
则直线l的方程为y=−x±2；
(3)当直线l的斜率不存在时，l:x=± 2，
当x= 2时，
解得y=± 2，
即A( 2, 2)，B( 2,− 2)，
此时△OAB与△OCD的面积之和S=12×2 2× 2+12×( 2)2=3；
当直线l的斜率存在时，
不妨设直线l的方程为y=kx+m，
联立y=kx+mx26+y23=1，消去y并整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2−6=0，
此时Δ>0，
由韦达定理得x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−62k2+1，
此时OAB与△OCD的面积之和S=S△OAB+S△OCD=12|AB|× 2+12×( 2)2=2 4k4+5k2+14k4+4k2+1+1，
即S=2 1+k24k4+4k2+1+1=2 1+14k2+1k2+4+1，
因为k2>0，
所以4k2+1k2≥2 4k2⋅1k2=4，
当且仅当k=± 22时，等号成立，
此时S≤2 1+14+4+1=32 2+1，
因为14k2+1k2+4>0，
所以S>3，
此时3综上得，△OAB与△OCD的面积之和的取值范围为[3,32 2+1].
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；
(2)设出直线l的方程，根据直线与圆O相切得到m2=2(k2+1)，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及k=k1⋅k2，推出k1⋅k2=−1，进而可得直线l的方程；
(3)结合(2)中所得信息以及弦长公式得到|AB|的表达式，根据OA⊥OB得到△OAB与△OCD的面积之和的表达式，再利用基本不等式进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为{x|x>−1}，
则函数f(x)的一阶导数为：f′(x)=1−[ln(x+1)+(x+1)1x+1]=−ln(x+1)，
函数f(x)的二阶导数为：f′′(x)=−1x+1，
令f′(x)=0在定义域{x|x>−1}无解，故函数f(x)在定义域内拐点为0个．
(2)由题意可知，函数g(x)的定义域为R，
则函数g(x)的一阶导数为：g′(x)=(x−4)ex−k3x3+32kx2，
函数g(x)的二阶导数为：g′′(x)=(x−3)ex−kx2+3kx=(x−3)(ex−kx)，
因为函数g(x)在(0,+∞)上有唯一拐点(3,g(3))，
所以x=3是g′′(x)唯一的变号零点，
即y=ex−kx无变号零点，即k=exx无变号零点，
设m(x)=exx(x≠0),m′(x)=ex(x−1)x2，
当x>1时，m′(x)>0，m(x)单调递增，当x<1时，m′(x)<0，m(x)单调递减，
所以函数m(x)min=m(1)=e，
当x→+∞时，m(x)→+∞；
当x>0时，x→0，m(x)→+∞，故k≤e，满足题意．
所以k的取值范围是(−∞,e].
(3)由题意，F(x)=f(x)+h(x)=x−(x+1)ln(x+1)+ex−ax3−sinx，
函数F(x)的一阶导数为：F′(x)=−ln(x+1)+ex−3ax2−csx，
函数F(x)的二阶导数为：F′′(x)=−1x+1+ex−6ax+sinx，
因为函数F(x)在区间(−1,0)恰有一个拐点，所以F′′(x)=0在区间(−1,0)恰有一个根．
所以−1x+1+ex−6ax+sinx=0在区间(−1,0)恰有一个根．
令G(x)=−1x+1+ex−6ax+sinx，
首先观察函数G(x)在x=−1和x=0的极限或取值，
x→−1+limG(x)=−∞，G(0)=0，
由于函数G(x)在区间(−1,0)恰有一个零点，
那么G′(x)在区间(−1,0)上必须改变符号，
且G′(x)=1(x+1)2+ex−6a+csx，因为1(x+1)2，ex，csx在区间(−1,0)上都大于0，
又x→−1+limG′(x)=+∞，G′(0)=1+1−6a+1=3−6a，要使G′(x)在区间(−1,0)上改变符号，必须有G′(0)<0，
即a的取值范围为(12,+∞).
【解析】(1)根据拐点的定义计算即可；
(2)根据题意，k=exx无变号零点，利用导数判断y=exx的单调性求得其最值，即可求得参数的范围；
(3)通过导数将函数拐点问题转换为函数零点问题，并利用函数的极限求解即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于难题．甲
乙
丙
第一轮回答正确的概率
23
12
12
第二轮回答正确的概率
12
12
13
X
0
1
2
3
P
724
2140
740
1120