黑龙江省佳木斯市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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时间：120分钟 总分：150分
I卷 选择题（共58分）
一、单选题：本题共8小题，年小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图所示的直观图中，，则其平面图形的面积是（ ）
A. 4B. C. D. 8
2. 三棱柱中，、、分别是、、中点，则下列直线中与直线异面的直线为（ ）
A. 直线B. 直线 C. 直线 D. 直线
3. 已知圆台的上下底面圆的半径分别为1与2，高为，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 梯形的直观图可能是平行四边形
B. 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
D. 底面是矩形的直平行六面体是长方体
5. 如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列命题正确的是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，，
7. 某船开始看见灯塔在南偏东方向,后来船沿南偏东的方向航行后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是
A. B.
C. D.
8. 已知正四棱锥的所有棱长均为2，点为正四棱锥的外接球球面上一动点，，则动点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则在第二象限
B. 若为纯虚数，则在虚轴上
C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
D. 若，且，则为实数
10. 在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱，，BC的中点，为侧面的中心，则（ ）
A. 直线平面PEFB. 直线平面
C. 三棱锥的体积为D. 三棱锥的外接球表面积
11. 如图所示，在直三棱柱中，若，，则下列说法中正确的有（ ）
A. 三棱锥表面积
B. 点在线段上运动，则的最小值为
C. 、分别为、的中点，过点的平面截三棱柱，则该截面周长为
D. 点在侧面及其边界上运动，点在棱上运动，若直线，是共面直线，则点的轨迹长度为
II卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本原共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则________.
13. 设，，则a等于________.
14. 已知锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是______.
四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l.
16. 的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，求；
（3）若，，求边上的高.
17. 已知，，与的夹角为.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）若，，，，求的值.
18. 如图，在中，，，点在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值．
19. 在中，，，对应边分别为，，，.
（1）求；
（2）若为边中点，，求的最大值；
（3）奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），.法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，P是内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值.