宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024届高考第四次模拟文科数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用不等式与常用数集化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】由，得，
所以，
而，
所以.
故选：B.
2. 已知i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到共轭复数为，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数，可得共轭复数为，
其在复平面内对应点为，位于第二象限.
故选：B．
3. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
4. 点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离.
【详解】抛物线开口向右，准线方程为，
点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6，
点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4．
故选：A．
5. 如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．
【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.
所以，，，.
故选：D．
6. 执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据流程图判断循环次数，求出每次得得值，判断出最终结果.
【详解】由题意知循环四次，分别是：
；；；；
这时，故输出．
故选：C.
7. 已知直线，则“是直线与相交”的（ ）
A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件D. 即不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到.
【详解】当直线与相交时，则，即，
当时满足，即“是直线与相交”的充分条件，
当直线与相交时，不一定有，如时也满足，
所以“是直线与相交”的充分而不必要条件，
故选：C.
8. 用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成的实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成2个实数，则这2个实数都小于1的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据独立事件同时发生的概率乘法公式以及几何概型的概率公式即可求出．
【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这2个实数都小于1的概率为.
故选：D.
9. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. －36或36B. －36C. 36D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可.
【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，，
则，则，
则，
则，
故选：C.
10. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的图像变换求解.
【详解】因为，
所以，
故为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.
故选:B.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段比及椭圆的定义求得，，取的中点为，根据余弦定理建立关于的方程，即可求解离心率.
【详解】设，，则，即，
则，从而，，所以，
如图，取的中点为，则，
在中，.
在中，由余弦定理得，，
化简得，则.
故选：D
12. 是定义在上的奇函数，当时，，，令，则函数的零点个数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的性质作出的图象，再作出的图象，数形结合求解.
【详解】由可得，的图象关于对称，
又由可得，
所以，所以以4为周期，
所以作出的图象如下，
的零点个数即为方程的根的个数，
也即的图象与图象的交点个数，
因为，
所以数形结合可得的图象与图象的交点个数为5个，
故选:B.
二、填空题
13. 已知函数是偶函数，则实数______.
【答案】2
【解析】
【分析】由偶函数的性质可得，即可得出答案.
【详解】因为函数的定义域为，
函数是偶函数，所以，
则，
，所以，
解得：，经检验满足题意.
故答案为：2.
14. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则的最小值为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据平均数的概念可求的值，再利用不等式可求的最小值.
【详解】因为各个个体的值是有小到大排列的，所以，
又总体平均值为，所以.
所以（当且仅当时取“”）.
故答案为：
15. 已知数列的前项和为，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】结合等比数列求和公式，利用分组求和即可求解.
详解】根据题意，可得，，…，，
所以
.
故答案为：
16. 在三棱锥中，是边长为2的正三角形，分别是的中点，且，则三棱锥外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，证明出两两垂直，将三棱锥外接球转化为以为长，宽，高的长方体的外接球，进而求出外接球半径和表面积.
【详解】取的中点，连接，
因为是边长为2的正三角形，，
所以，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，
因为分别是的中点，所以是的中位线，
故，
因为，所以，
因为平面，，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，⊥，
因为，，
由勾股定理得，
因为，所以，
由勾股定理逆定理可得⊥，
所以两两垂直，
故棱锥外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，
设外接球半径为，
则，解得，
则三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
三、解答题
17. 在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
（1）B的大小；
（2）的面积．
条件①：；条件②：．
【答案】选择见解析；（1）；（2）．
【解析】
【分析】选择条件①时：（1）利用余弦定理求出和B的值；
（2）由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出sinC，计算的面积．
选择条件②时：（1）由正弦定理求出和B的值；
（2）由正弦定理求出a值，再利用三角形内角和定理求出，计算的面积．
【详解】选择条件①：，
（1）由，得，
所以；
又，
所以；
（2）由正弦定理知，
所以；
所以，
所以的面积为．
选择条件②：．
（1）由正弦定理得，
所以；
又，
所以，
所以；
又，
所以；
（2）由正弦定理知，
所以；
所以，
所以的面积为．
【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
18. 某企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新产品进行合理定价，该企业将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：
（1）若变量具有线性相关关系，求产品销量（百件）关于试销单价（千元）的线性回归方程；
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“精准销售”.现从5个销售数据中任取2个，求“精准销售”至少有1个的概率.
参考数据：
参考公式：线性回归方程中的估计值分别为
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）按照所给的参考公式，计算可得到线性回归方程；
（2）先求出5个销售数据中精准销售的个数，再根据古典概型的概率公式计算.
【小问1详解】
由题意，，，，
结合参数数据得，，
所以线性回归方程为.
【小问2详解】
当时，，，则，所以为一个精准销售，
当时，，，则，所以为一个精准销售，
当时，，，则，所以为一个精准销售，
当时，，，则，所以不是一个精准销售，
当时，，，则，所以不一个精准销售.
记三个精准销售为，两个非精准销售为，
则从5个销售数据中任选2个，对应的基本事件有：
，，，，，，，，，，
其中满足要求的共有9个，
所以“精准销售”至少有1个的概率为.
19. 如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，，，，，
（1）求证：平面平面；
（2）若点为的中点，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1），取中点连接，，可证得，，即可证得平面，进而证得结果.
（2）由为的中点，可知到面的距离为到面的距离的一半，则，计算可得结果.
【小问1详解】
因为，取中点连接，所以，
因为，所以，
连接，，，底面四边形为矩形，
所以，，
在中，，，，
所以，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
因为为的中点，
所以到面的距离为到面的距离的一半，
.
20. 已知函数
（1）求的单调区间及最值
（2）令，若在区间上存在极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为，无最小值；
（2）．
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最值；
（2）对求导，再令，求导得到其单调性，进而求出，结合，，结合函数存在极值点，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
的定义域为，
，
令，解得，即的单调递增区间为；
令，解得，即的单调递减区间为．
故，无最小值；
【小问2详解】
因为，
所以，
令，则，
令，得；令，得；又，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，．
若在上存在极值点，则或，
解得或，
所以实数a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：对于参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交于、两点（不同于左、右顶点），的周长为，且在上．
（1）求的方程；
（2）若，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义可求得的值，再将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的方程；
（2）设点、，则，，由题意，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求得，，结合题干条件以及韦达定理求出的值，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：由椭圆的定义可得的周长为，
所以，，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，
所以，，故椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：在椭圆中，，则、，
设点、，则，，
由题意，设直线的方程为，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
，
同理可得，
所以，
，解得，
所以，直线的方程为或，即或.
四、选做题
22. 已知曲线参数方程为 （为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程.
（1）求、的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线、曲线分别交于A，B两点，点 ，求的面积.
【答案】（1）；.
（2）
【解析】
【分析】（1）消去参数，得到曲线的直角坐标方程，结合直角坐标与极坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程；
（2）利用极坐标公式，求得曲线的极坐标方程，利用极坐标方程求得点的坐标，结合，结合三角形的面积，即可求解.
【小问1详解】
解：由曲线的参数方程为 （为参数），可得 ，
两式相减，可得，
又，当且仅当，即时，等号成立，
所以的直角坐标方程为，
因为曲线的极坐标方程，可得，
由，代入可得，即曲线的直角坐标方程为.
【小问2详解】
解：由曲线的直角坐标方程为，
可得曲线的极坐标方程为，即，
又由，可得，解得，即，
由，可得，所以，
又由点，如图所示，
所以的面积为
,

23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）令的最小值为.若正实数，，满足，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）零点分段法解绝对值不等式；（2）在第一问的基础上得到，用基本不等式“1”的妙用求解最值，证明出结论.
【小问1详解】
由得：
或或
解得：或或
综上所述：不等式的解集是.
【小问2详解】
证明：由（1）中函数的单调性可得
∴
当且仅当时等号成立.
单价（千元）
4
5
6
7
8
销量（百件）
67
64
61
58
50