天津市和平区2023-2024学年高三下学期第三次质量调查数学试卷

这是一份天津市和平区2023-2024学年高三下学期第三次质量调查数学试卷，共9页。试卷主要包含了若，则等于，下列说法中，正确的个数为，已知函数等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.
考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
●如果事件、互斥，则.
●如果事件、相互独立，则.
●任意两个事件与，若，则.
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.命题“，”的否定为（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.设，，，则，，的大小关系为（ ）
A.B.C.D.
4.若，则等于（ ）
A.B.6C.D.3
5.已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）
A.B.C.D.
6.下列说法中，正确的个数为（ ）
①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度；
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
③随机变量服从正态分布，若，则；
④随机变量服从二项分布，若方差，则.
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.已知正方体的棱长为6，点，分别在棱，上，且满足，点为底面的中心，过点，，作平面，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
9.双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
注意事项：
1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.
2.本卷共11题，共105分.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10.为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______.
11.在的展开式中，常数项为______（请用数字作答）.
12.抛掷两颗质地均匀的骰子，其中白色骰子与黑色骰子各一颗，记事件为“白色骰子的点数为4或5”，事件为“两颗骰子点数之和大于8”，则______；______.
13.已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为______.
14.已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示______；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为______.
15.已知函数，，且有若关于的方程有8个相异实根，则实数的取值范围为______.
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分14分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，的面积为，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值.
17.（本小题满分15分）
如图，平面平面，，，，.
（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅱ）求平面与平面所成夹角的正弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
18.（本小题满分15分）
已知椭圆的焦距为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点，，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且满足，求的值.
19.（本小题满分15分）
等差数列的前项和为，（且），.
（Ⅰ）求的通项公式与前项和；
（Ⅱ）记，，当，时，试比较与的大小；
（Ⅲ）若，正项等比数列中，首项，数列是公比为4的等比数列，且，求的通项公式与.
20.（本小题满分16分）
已知函数，，.
（Ⅰ）若，函数存在斜率为3的切线，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，试讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若，设函数的图象与函数的图象交于两点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由.
和平区2023-2024学年度第二学期高三年级第三次质量调查
数学学科试卷参考答案及评分标准
一、选择题（分分）
二、填空题（分分）
10..11..12.；
13.14.；15..
三、解答题（共75分）
16.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为，由正弦定理有①.
又因为，所以，代入①式有，
又因为三角形内角，因此，所以，.
（Ⅱ）因为的面积为.即，所以②.
又由余弦定理，，可得③.
因为，由②③式可知，.
（Ⅲ）由正弦定理有，题，，，..
17.（本小题满分15分）
解：因为平面平面，交线为，，所以平面，
又因为，则以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知，所以，，，，.
（Ⅰ）因为，平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，，
所以直线与平面所成角为.
（Ⅱ）设平面的法向量为，，
则，令，则，又因为
设平面与平面所成夹角为，，
所以，，则平面与平面所成夹角的正弦值为.
（Ⅲ）因为，平面的法向量为，
所以，点到平面的距离为.
18.（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）设椭圆焦距为，依题意，，解得
又因为，所以，
所以，椭圆的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设点，，中点为，
（i）若直线的斜率不存在，，线段的垂直平分线方程为轴，
，代入，有
（ii）若直线的斜率存在，设直线的方程为，
，联立方程组，整理得
解得，，即，
则中点，由题意，
所以，线段的垂直平分线方程为，
令，则，所以，
，，
，解得，
代入，则，
综上或.
19.（本小题满分15分）
略
20.（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）因为，所以，，
由题意在有解，即在有解，
所以，得，所以实数的取值范围为
（Ⅱ）因为，所以，
，
令，即，，
（i）当时，即，，在上单调递增.
（ii）当时，即，或，
有两根，，，，
①当时，，在上单调递增.
②当时，，
在，上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，
在上单调递减.
（Ⅲ）设点，的坐标为，，且，
则点与点的横坐标均为，
所以，在点处的切线斜率为，
在点处的切线斜率为，
假设在点处的切线与在点处的切线平行，则有，
即，则有下式成立：
，即，
设，有①，
设，则，
所以，在上单调递增，故，即②，与①式矛盾，
所以假设不成立，不存在点使在点处的切线与在点处的切线平行.1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
B
C
D
C
A
D
C