江西省多校联考2023-2024学年高一下学期5月教学质量检测数学试卷（Word版附解析）

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考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：北师大版必修第二册第一章~第五章．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的有关概念即可求解.
【详解】由题意，复数，
所以复数的虚部为．
故选：B．
2. 在中，，则的外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可.
【详解】由正弦定理得的外接圆的半径，
所以的外接圆的面积．
故选:．
3. 已知向量满足，向是与的夹角为，则（ ）
A. 12B. 4C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积公式得到，从而得到.
【详解】因为，向量与的夹角为．所以，
所以．
故选：C．
4. 已知复数，若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. -2B. -3C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，利用共轭复数的概念与复数的乘法运算，结合纯虚数的概念建立方程组，解之即可求解.
【详解】因为复数，
所以，
因为为纯虚数，所以，解得．
故选：D．
5. 已知角满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】由，得．
故选：B
6. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦函数的单调性、大边对大角、正弦定理，两个条件可以互相推出，从而判断充要条件.
【详解】设内角的对边分别为，
因为，所以，
又因为函数在区间上单调递减，且，所以，所以，
由正弦定理可得，所以，即“”是“”的充分条件；
因为，所以，由正弦定理可得，所以，
因为函数在区间上单调递减，且，所以，所以，
即“”是“”的必要条件条件；
所以“”是“”的充要条件．
故选：C.
7. 若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二倍角正弦公式对化简；由正切差角公式对化简；由二倍角公式对化简；最后由余弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，
由所以，
即；
又，
故；
因为，所以，
又，
又，所以.
故选：D.
8. 在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，根据余弦定理可得，结合基本不等式和可得，即可求解.
【详解】因为，由余弦定理可得，
则，则，
又，所以，则的面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为．
故选：B．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是三个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面数列数量积的定义即可判断A；对等式两边同时平方可得、，即可判断BC；根据共线向量和数量积的运算律计算即可判断D.
【详解】A：由，所以，不一定有，故A错误；
B：因，所以，即．
得，所以，故B正确；
C：因为，所以，即，
得，故与反向，所以，故C正确：
D：因为．所以存在实数，使得，
此时，
即，故D正确．
故选：BCD．
10. 下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据两角和与差的正弦公式的逆用，判断A；利用正切二倍角的逆用，判断B;利用二倍角余弦，判断C;利用二倍角和诱导公式，判断D.
【详解】，故A正确：
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选:AC．
11. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 复数的共轭复数为
B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
C. 复数是方程的解
D. 若复数满足，则的最大值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，利用复数的除法法则和模长公式求出，得到共轭复数；B选项，在复平面内对应的点为，得到B正确；C选项，代入计算得到C错误；D选项，利用得到D正确.
【详解】A选项，因为复数满足，
所以，所以，故A正确；
B选项，因为复数在复平面内对应的点为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确；
C选项，，故C错误；
D选项，，所以的最大值为4，故D正确．
故选：ABD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的计算公式得到答案.
【详解】向量，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为：
．.
故答案为：
13. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，则__________．

【答案】##
【解析】
【分析】由图形可得，利用诱导公式和同角的平方关系，结合两角差的余弦公式计算即可求解.
【详解】由题意可知大正方形的边长为5，小正方形的边长为3．
所以，又，
所以，得，
则
，
解得．
故答案为：.
14. 如图，在梯形中，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】建立如图平面直角坐标系，设，利用平面向量线性运算的坐标表示和相等向量建立方程组，解出x、y，进而利用辅助角公式化简可得（其中），结合正弦函数的想即可求解.
【详解】以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示．

所以，设，
则，
所以．
所以．所以．
所以，
其中，所以，
此时，所以的最小值为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量线性运算的坐标表示，三角恒等变换的化简和三角函数的性质，解决本题的关键在于合理巧妙建立平面直角坐标系.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15 已知向量．
（1）若三点共线，求的值；
（2）若四边形为矩形，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，由三点共线，可得.
（2）由，，若四边形为矩形，求解．即可得到结果.
【小问1详解】
因为，
所以，．
又三点共线，所以，所以，
解得．
【小问2详解】
由
，
若四边形为矩形，则．即，
解得．
由，得
解得．所以．
16. 已知，且．
（1）求和的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数关系和得到，，利用诱导公式和齐次化得到方程；
（2）计算出，结合得到答案.
【小问1详解】
因为，又，
解得或，
又，所以，
所以．
所以
；
【小问2详解】
因，且，所以，
所以，
由，得，所以．
17. 在中，内角的对边分别为的面积为，且．
（1）证明：；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式化简可得，解之即可求解；
（2）由（1），根据余弦定理可得，再次利用余弦定理计算即可求解.
【小问1详解】
的面积，又．
所以，
又．所以．所以．
所以，又，所以．
【小问2详解】
因为．所以，
所以．所以，
所以．
18. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，且，求的值；
（3）若函数在区间上恰有4个不同的零点，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，结合和整体代换法即可求解；
（2）由解得 ，则，结合给值求值型问题和两角差的余弦公式计算即可求解；
（3）根据三角恒等变换的化简可得，则，由的单调性，利用换元法，结合二次函数的性质建立不等式组，解之即可求解.
【小问1详解】
，
所以的最小正周期．
令，解得，
所以的单调递增区间为．
【小问2详解】
由题意知，所以，
又．所以，则，
故．
【小问3详解】
，
所以，
当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
要使函数在区间上恰有4个不同的零点，
令，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且两根均在内，
因为，所以．解得，即的取值范围是．
19. 如图，在矩形中，，点是线段的中点，点分别为线段上的一点，且，点是线段的中点．
（1）求的值；
（2）若，求线段的长度；
（3）设，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先求出，的长度，再根据数量积的运算律计算可得；
（2）首先在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，最后在中利用余弦定理计算可得；
（3）在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由数量积的运算律得到，再利用三角恒等变换公式化简，转化为关于的三角函数，结合的范围及正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
在矩形中，点是线段的中点，
所以，又，所以，
所以
．
【小问2详解】
在矩形中，，所以，所以．
在中，，
根据正弦定理，得．
在中，，，则，
由正弦定理，可得．
在中，，
根据余弦定理，
得，所以．
【小问3详解】
在中，，
根据正弦定理，得．
在中，，则，
根据正弦定理，可得．
因为，
所以
，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
即的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过基底法转化得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后根据正弦型函数的性质求出其值域即可.