2024年安徽省亳州市谯城区中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列各数中是负数的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，相反数以及负数的定义，把A、B化简后根据负数的定义判断即可．
【详解】解：A．正数，不符合题意；
B．是正数，不符合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意；
D．是负数，符合题意；
故选：D．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．
【详解】．
故选：C．
3. 年第一季度我省地区生产总值约为亿元，其中亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：亿即大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴亿用科学记数法表示为，
故选：B．
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体．熟练掌握由几何体的三视图还原几何体是解题的关键．由题意知，该几何体为三棱柱，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，该几何体如下；

故选：A．
5. 如图，一个角的三角板的直角顶点恰好在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据平行线的性质求出的度数是解决本题的关键．
【详解】解：如图所示，
直尺的两边平行，，
，，
．
故选：B．
6. 一款纯电家用汽车电池容量为，电池的剩余电量与行驶路程之间满足一次函数关系．已知该汽车行驶时，电池的剩余电量为，行驶时，电池的剩余电量为．若该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法确定函数解析式，
首先利用待定系数法求出，然后将代入情况快乐．
【详解】设电池的剩余电量与行驶路程之间的关系式为
根据题意得，
解得
∴
当时，
解得
∴该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为．
故选：B．
7. 一个小组12名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：
则下列说法错误的是（ ）
A. 这组数据的平均数是7B. 这组数据的众数是8
C. 这组数据的中位数是6D. 这组数据的方差是3.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数、众数、平均数、方差，关键是掌握三种数的定义，掌握方差的计算公式．
【详解】解：A.平均数，正确，该选项不符合题意；
B.8出现的次数最多，因此众数为8，正确，该选项不符合题意；
C.中位数：，错误，该选项符合题意；
D.数据的方差，正确，该选项不符合题意．
故选：C．
8. 如图，四边形对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则四边形是矩形
B. 若平分，则四边形是菱形
C. 若且，则四边形是正方形
D. 若且，则四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．
先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
若，则四边形是矩形，故A选项不符合题意；
若平分，
∴
∴
则四边形是菱形，故B选项不符合题意；
若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意；
若且，则四边形是菱形，故D选项符合题意；
故选：D．
9. 二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，是解题的关键．
根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数
∴对称轴为直线，故B，D不符合题意；
∵当时，，，
∴二次函数与一次函数交于y轴上的点，故C不符合题意，A符合题意．
故选：A．
10. 如图，在矩形中，，，，分别是边，上的点，，垂足为点，连接，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的三边关系，勾股定理，分别以为边作平行四边形，连接，过点作交于点，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点作交于点 ，则，，
∵，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴的最小值为，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解，解题的关键是掌握一元一次不等式．
【详解】
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，．
故答案为：．
12. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___．
【答案】x（x﹣3）2
【解析】
【详解】解：x3﹣6x2+9x
=x（x2﹣6x+9）
=x（x﹣3）2
故答案为：x（x﹣3）2
13. 如图，正方形的边长为6，边，分别在轴、轴的正半轴上，顶点在第一象限内，反比例函数的图象与正方形的两边，分别相交于点，．若的面积为10，则的值为______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
首先得到，设，，根据代入求解即可．
【详解】∵正方形边长为6，
∴
设，，
∴，，，
∵的面积为10，
∴
∴
解得
∵反比例函数的图象在第一象限
∴．
故答案为：24．
14. 如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上．
（1）与的大小关系是______（填“相等”或“不相等”）；
（2）若，则的长是______．
【答案】 ①. 相等 ②.
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）证明，，从而可得结论；
（2）如图．过点作于点，过点作于点，交的延长线于点，则，证明，可得，，证明和是等腰直角三角形，再进一步可得答案．
【详解】解：（1）等腰，
，．
∵，
，
，
，
，
；
故答案为：相等
（2）如图．过点作于点，过点作于点，交的延长线于点，
则，
∴，
∵，
∴，，，
，，
，
，，
，
，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
由勾股定理得．
故答案为：
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，是格点三角形，点，均为格点（网格线的交点）．
（1）画出关于直线对称的；
（2）将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换和旋转变换，熟练掌握和运用轴对称变换和旋转变换作出图形是解决本题的关键．
（1）利用网格特点和轴对称的性质，分别画出A、B、C关于的对称点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质，分别画出，的对应点即可．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 《孙子算经》中有过样一道题，原文如下： “今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题.
【答案】城中有75户人家.
【解析】
【详解】【分析】设城中有x户人家，根据今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下鹿每3家共取一头，恰好取完，可得方程x+x=100，解方程即可得.
【详解】设城中有x户人家，由题意得
x+x=100，
解得x=75，
答：城中有75户人家.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系列方程进行求解是关键.
18. 图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……．
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）图4中有______个三角形，记作______．
（2）猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示）
（3）求的值．（结果用含的代数式表示）
【答案】（1）13，13
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题，整式的乘法，能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关键．
（1）由第一个图中1个三角形，第二个图中5个三角形，第三个图中9个三角形，每次递增4个，即可得出第4个图形中有13个三角形；
（2）根据（1）中的规律即可得出第n个图形中有个三角形；
（3）根据题意得到，然后整理求解即可．
【小问1详解】
∵第一个图中1个三角形，
第二个图中5个三角形，
第三个图中9个三角形，
∴图4中有13个三角形，记作
【小问2详解】
由（1）可得，
图中有个三角形，记作；
【小问3详解】
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，四边形是一个零部件的截面示意图，由相邻两个直角三角形组合而成，作菱形，使点，分别在边，上，点在对角线上，已知，，若菱形的边长为，求该零部件截面的面积．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，
首先根据菱形的性质得到，，然后解直角三角形求出，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，，
在中，，
四边形的面积为，
即该零部件截面的面积为．
20. 如图，是的直径，，是上的两点，且，交于点，点在的延长线上，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，．求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等：
（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，则，再证明，，进而得到，据此可证明结论；
（2）由三线合一定理得到，解得到；再解得到，则由勾股定理可得，即可得到的半径为10．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
，
在中，
，
；
在中，
，
，
，
的半径为10．
六、（本题满分12分）
21. “吃粽子，赛龙舟”是端午节的习俗，一直保留至今，某校为了解学生对端午节习俗的喜爱程度，随机抽取了部分学生进行调查，通过调查统计，将该校学生对端午节习俗的喜爱程度分为四个等级：．非常喜爱，．比较喜爱，．一般喜爱，．不喜爱．并绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）这次抽查的学生人数是______人，图中______，______，补全条形统计图；
（2）已知该校在校学生人数为2800人，请估计该校对端午节习俗“一般喜爱”的人数；
（3）老师计划从对端午节习俗非常喜爱的甲、乙、丙、丁、戊五名学生中选取两人参加学校组织的端午节习俗宣讲活动，请用“列表法”或“画树状图法”，求出甲、乙至少有一人参加了端午节习俗宣讲活动的概率．
【答案】（1），，
（2）910 （3）
【解析】
【分析】（1）用类别人数除以其占总人数的比例可得总人数，再求出类别人数所占百分比，得出和，补全条形统计图即可；
（2）由该校总人数乘以“一般喜爱”所占百分比即可；
（3）首先根据题意列出树状图，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【小问1详解】
解：这次抽查的学生人数为：（人），
则的人数为：（人），
，，
，，
条形统计图补充完整如下：
故答案为，，；
【小问2详解】
解：估计该校对端午节习俗“一般喜爱”的人数为（人）；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人参加了端午节习俗宣讲活动的结果有14种，
甲、乙至少有一人参加了端午节习俗宣讲活动的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用列表法或画树状图法求概率，用样本估计总体，概率公式的应用，掌握相关定义是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在中，，，点是边的中点，点在边上，连接并延长到点，使．
（1）求证：；
（2）如图2，点是边的中点，连接，，平分交于点，若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由，，可得，证明，则，，进而结论得证；
（2）如图，延长交于点，则，，由平分，可得，，则，由，，可知，即，由，，可得，则，，证明，进而可得．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
点是边的中点，
，
又，，
∴，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
证明：如图，延长交于点，
点是中点，点是的中点，
，
∴，
平分，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，中位线，等角对等边，等腰三角形的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，中位线，等角对等边，等腰三角形的判定与性质，角平分线是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知，抛物线经过点，其顶点为．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）若该抛物线与轴的交点为，如图．
①当的面积为时，求的值；
②当为直角三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，特殊三角形问题；
（1）将点代入解析式得出，进而化为顶点式，即可求解；
（2）①根据解析式，得出抛物线与轴的交点的坐标为，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点，根据建立方程，即可求解．
②由①得点的坐标为，点的坐标为．勾股定理分别求得，根据为直角三角形，分类讨论，利用勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线经过点，
，
，
，
顶点的坐标为．
【小问2详解】
①当时，，
抛物线与轴的交点的坐标为．
如图所示，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点，
设直线的表达式为，
把，代入
得，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为，
，
，
解得；
②由①得点的坐标为，点的坐标为．
，
，，
为直角三角形，
分以下几种情况：
当时，，
，
整理得，
解得或（舍去），
点的坐标为；
当时，，
，
整理得，
解得或（舍去），
点的坐标为；
当时，，
，
整理得，此方程无实数解；
综上，点的坐标为或．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
月份
3
6
8
6
11
5
7
8
8
7
8
7