104，山东省德州市云天高级中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

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第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1．已知两正数x、y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
2．若，为非零向量，则“”是“，共线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．设正实数x，y满足，，不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．B．C．8D．16
4．已知集合，．若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．若且，则的值与－5的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数图像关于对称
B．函数在上单调递增
C．若，则
D．函数的最小值为－2
二、多选题
9．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则
10．已知函数，现将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上有10个零点
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．若函数对任意的恒成立，则
11．已知函数，则方程的根的个数可能为（ ）
A．2B．6C．5D．4
12．已知a，且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题
13．已知集合，，则______．
14．已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，求的最小值______．
15．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半．这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过的“半衰期”个数为______．
16．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，矩形ABCD内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为______．
四、解答题
17．设命题p：实数x满足，其中，命题q：实数x满足．
（1）若，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．已知函数．
（1）若函数对任意实数都有成立，求的解析式；
（2）当函数在区间上的最小值为－3时，求实数a的值．
19．已知是定义在的奇函数，当时，．
（1）求出函数的解析式并画出的简图（不必列表）．
（2）若函数在区间上单调，求实数a的取值范围．
20．已知函数．
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若函数在实数集上存在零点，求实数a的取值范围．
21．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
22．设，，，且函数是奇函数．
（1）求m的值；
（2）若方程有实数解，求k的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】转化条件为，换元后由对勾函数的性质即可得解．
【详解】由题意，，
令，则，当且仅当时，等号成立，
又函数在上单调递减，
所以当时，函数取最小值，
所以的最小值为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为，再结合对勾函数的性质即可得解．
2．B
【分析】表示与同向的单位向量，共线可能同向共线、也可能反向共线，再由充分性、必要性的定义可求出答案．
【详解】依题意为非零向量，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
则表示与同向的单位向量，所以能推出共线，所以充分性成立；
共线可能同向共线、也可能反向共线，所以共线得不出，所以必要性不成立．
故选：B．
3．D
【分析】令，，则，，将原式转化为关于，的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论．
【详解】解：，，
故设，，，
，
当且仅当，即，时取等号
故选．
【点睛】本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题．
4．C
【分析】讨论两种情况，分别计算得到答案．
【详解】当时：成立；
当时：解得：．
综上所述：
故选
【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误．
5．A
【详解】M－（－5）＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝（x＋2）2＋（y－1）2，
∵x≠－2，y≠1，∴（x＋2）2>0，（y－1）2>0，因此（x＋2）2＋（y－1）2>0，
故M>－5．
选A
6．D
【解析】根据具有奇偶性的定义域关于原点对称，求得的值，把不等式转化为，根据单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解．
【详解】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得，
即函数的定义域为，
又由函数当时，单调递减，
则不等式可化为，
可得不等式组，解得，即不等式的解集为．
故选：D．
【点睛】求解函数不等式的方法：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解．
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
7．C
【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围
【详解】解：令，
∵在上单调递减，
∴在内递增，且恒大于0，
且，
．
故选：C．
8．A
【分析】本题首先可以去绝对值，将函数变成分段函数，然后根据函数解析式绘出函数图像，最后结合函数图像即可得出答案．
【详解】由题意可得：
，
即可绘出函数图像，如下所示：
故对称轴为，A正确；
由图像易知，函数在上单调递增，上单调递减，B错误；
要使，则，
由图象可得或、或，
故或或，C错误；
当时，函数取最小值，最小值，D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的最值，考查分段函数，考查数形结合思想，是难题．
9．ABCD
【分析】时，，函数为周期为的周期函数，画出函数图像，根据函数图像依次判断每个选项得到答案．
【详解】当时，，故，
当时，，函数为周期为的周期函数，画出函数图像，如图所示：
，正确；
函数在上单调递增，正确；
函数过定点，根据图像知：直线与轴的交点在之间，故，正确；
根据图像知，不妨设，则，，，
故=，正确．
故选：．
【点睛】本题考查了函数的周期，分段函数，函数的零点问题，函数单调性，意在考查学生对于函数知识的综合应用．
10．BC
【分析】由图象的平移变换可得的解析式，利用诱导公式可判断A；解方程可判断B；利用余弦函数的对称轴可判断C；分离可得，利用余弦函数的性质求得最小值可判断D，进而可得正确选项．
【详解】将图象向右平移个单位可得，
对于A：因为，故选项A不正确；
对于B：令，可得，
所以，令，可得，
所以共个，所以函数在区间上有10个零点，故选项B正确；
对于C：令可得，所以直线是函数图象的一条对称轴，故选项C正确；
对于D：若对任意的恒成立，
则，
因为，所以，
，，所以，故选项D不正确；
故选：BC．
11．ACD
【分析】先画出的图象，再讨论方程的根，求得的范围，再数形结合，得到答案．
【详解】画出的图象如图所示：
令，则，则，
当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，
即方程的根的个数为2个，A正确；
当时，即时，，则
故，，
当时，即，则有2解，
当时，若，则有3解；若，则有2解，
故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大．
12．ABC
【分析】利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论．
【详解】，（当且仅当时取得等号）．所以选项A正确
由选项A有，设，则在上单调递减．
所以，所以选项B正确
（当且仅当时取得等号），
．所以选项C正确．
（当且仅当时等号成立），所以选项D不正确．
故A，B，C正确
故选：ABC
【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
13．{x|-1