2024年江苏省常州市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查倒数的定义，掌握乘积等于1的两个数互为倒数，即可解题．
【详解】解：的倒数是，
故选：A．
2. 截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约辆，其中可用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
3. 计算的结果是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
4. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案．
【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
如图所示，
故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从正面看得到的视图是主视图．
5. 一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据题意得：△=，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：B
6. 当x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么当x＝﹣2时，这个代数式的值是（ ）
A. 1B. ﹣4C. 6D. ﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，再将x＝﹣2代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵当x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为6，
∴ ，
∴，
当x＝﹣2时， ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了求代数的值，利用整体代入思想解答是解题的关键．
7. 如图，为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了几何概率，由对称性可知甲从六个点中选择任意的三个点组成的三角形，与剩下的三个点组成的三角形的三条边分别对应相等，可得甲乙两人所画的三角形一定全等，据此可得答案．
【详解】解；∵为的六等分点，
∴由对称性可知甲从六个点中选择任意的三个点组成的三角形，与剩下的三个点组成的三角形的三条边分别对应相等，
∴甲乙两人所画的三角形一定全等，
∴甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为1，
故选：B．
8. 小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【详解】解：汽车经历：加速−匀速−减速到站−加速−匀速，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变，
减速：速度下降，
到站：速度为0.
观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合.
故选B.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9. 4的算术平方根是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；
根据算术平方根的概念即可求出结果．
【详解】解：，
4的算术平方根是2，
故答案为：2．
10. 使有意义的x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【详解】由条件得：3x﹣1≥0，
解得：x≥，
故答案为x≥．
11. 分解因式：x2y-4y=____．
【答案】y(x+2)(x-2)
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，
故答案为：y(x+2)(x-2)．
【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．
12. 点关于直线对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点关于直线对称的点为，根据题意得出，即可求解．
【详解】设点关于直线对称的点为，
∴，
解得，，
∴．
故答案为：．
13. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当，时，随增大而减小列不等式求解即可．
【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而减小，
，
解得．
故答案为：．
14. 已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
【详解】由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x，
∴tanA＝=．
故答案为．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
16. 如图，是的直径，是的切线，交于点，连结，若，则的大小为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，三角形内角和定理，利用切线的性质求出，由三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质即可求出．
【详解】解：是的直径，是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17. 如图，正方形的边长为，，，，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得出，得出，则， 可得，进而列出比例式，代入数据，即可求解．
【详解】解：∵正方形的边长为，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴
∴
解得：，
故答案为：．
18. 如图，正方形的边长为6，为正方形对角线的中点，点在边上，且，点是边上的动点，连接，点为的中点，连接，当时，线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据已知得出四点共圆，则是直径，进而证明是等腰直角三角形，，得出，则，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点为的中点，
∴
当时，
∴四点共圆，
∵
∴是直径
∴
∵为正方形对角线中点，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
在中，
∴
∴
∴
在中，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
三、解答题（共84分，其中19至26题每题8分，27、28题每题10分）
19. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的乘法运算；
（1）根据二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
【小问2详解】
20. 解方程和不等式
（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式组；
（1）先去分母，然后化为整式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）分别解两个不等式，求公共部分的解集，即可求解．
【小问1详解】
解：
∴
解得：
经检验，是原方程的根，
∴原方程的根为
【小问2详解】
解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：．
21. 为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图1是将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成．
（1）学生甲第一次成绩是分，则该生第二次成绩是 分．
（2）两次成绩均达到或高于分的学生有 个．
（3）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成8组：，，，，，，，），在的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79，则这30位学生平均成绩的中位数是 ．
（4）假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数．
【答案】（1）75 （2）8
（3）79 （4）1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为360人．
【解析】
【分析】（1）找到横坐标为时，对应的纵坐标的值即可得解；
（2）找到横纵坐标均大于等于的点的个数，即可得解；
（3）将数据进行排序后，找到第15和第16位数据，两个数据的平均值，即为中位数；
（4）利用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可得解．
【小问1详解】
解：由图1可知，横坐标为时，对应的纵坐标为，
∴该生第二次成绩是75分；
故答案为：75；
【小问2详解】
由图1可知：横纵坐标均大于等于的点的个数为个，
∴两次成绩均达到或高于分的学生有8个；
故答案为：8；
【小问3详解】
解：将平均成绩按从低到高排序，可知，中位数为第15个和第16个数据的平均数，
∴中位数位于这一组数据中，第15个和第16个数据均为，
∴中位数为79；
【小问4详解】
解：由直方图可知，两次活动平均成绩不低于90分的学生人数有：人，
∴1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为：人；
答：1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为360人．
【点睛】本题考查统计图，频数分布直方图，中位数，以及利用样本估计总体，解题的关键是从统计图和频数分布直方图中，有效的获取信息．
22. 2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题——约瑟夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9．将这四张牌背面朝上，洗匀．
（1）小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是______；
（2）小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式；
（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到这张牌是奇数的结果有3种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到这张牌是奇数的结果有：，，，共种，
抽到这张牌是奇数的概率为．
故答案：．
【小问2详解】
列表如下：
共有种等可能的结果，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是的倍数的结果有：，，，，，，，，，共种，
他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是的倍数的概率为
23. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题．
（2）如图，首先证明，；运用勾股定理求出，即可解决问题．
【小问1详解】
证：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
由（1）得四边形是矩形，
∴四边形的周长．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质并能灵活运用．
24. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
【答案】（1）每头牛值两银子，每只羊值两银子；
（2）有商人种购买方案，①购买头牛，只羊；②购买头牛，只羊；③购买头牛，只羊．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，
（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买头牛，则购买 只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【小问1详解】
解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
由题意得：，
解得：，
答：每头牛值两银子，每只羊值两银子；
【小问2详解】
设购买头牛，则购买 只羊，
依题意得：，
解得：，
为整数，
，，，
有商人种购买方案：
①购买头牛，只羊；
②购买头牛，只羊；
③购买头牛，只羊．
25. 如图，，，反比例函数的图像过点，反比例函数经过点．
（1）求和的值．
（2）过点作轴，与双曲线交于点，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，相似三角形的性质与判定，待定系数法求反比例函数解析式
（1）根据条件可得，利用一线三垂在得到，利用相似比求出点坐标即可解得值；
（2）根据轴可得点的坐标为，，可得，依据代入数据计算即可．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象过点，
，即，
，，
如图所示，作轴，轴，垂足分别为，
，，
，
，
，，
点的坐标为，
将点坐标代入得，
．
【小问2详解】
轴，，
将代入中，得 ，
点的坐标为，
所在的直线为，当时，即，
，

26. 定义：若实数满足（为常数，），则在平面直角坐标系中，称点为的“值友好点”．例如，点是点的“1值友好点”．
（1）在，，，四点中，点______是点的“值友好点”．
（2）设点是点的“值友好点”．
①当时，求的值．
②若点坐标为，当时，请直接写出点的坐标以及的值．
【答案】（1）
（2）①；②时，，时，
【解析】
【分析】（1）根据“k值友好点”的定义代入验证即可；
（2）①先求得，进而根据得出，根据点是点的“值友好点”．得出，进而根据，建立方程，解方程，即可求解．
②设的中点为，则即 ，作轴，轴，交于点，则，根据圆周角定理可得，进而根据，建立方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：若是的“k值友好点”，则，不合题意；
若是的“k值友好点”，则，不合题意；
若是的“k值友好点”，则，不合题意，
若是的“k值友好点”，则，符合题意，
故答案为：；
【小问2详解】
①∵
∴
∵
∴
∵点是点的“值友好点”．
∴
∴
∴
即
解得：
②∵，
设的中点为，则即
如图所示，作轴，轴，交于点，则
∴是直角三角形，
∴，且，
以为圆心为半径作圆，
∴
∴
∵，
∴
解得：（舍去）或
∴
同理可得当以为圆心时，，
综上所述，时，，时，．
【点睛】本题考查了坐标与图形，新定义，勾股定理，圆周角定理，理解新定义是解题的关键．
27. 如图，抛物线，抛物线交轴于点（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．

（1）求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式．
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接与相交于点．
①作轴，垂足为，当时，求点的横坐标．
②请求出的最大值．
【答案】（1），；
（2）①P的横坐标为；②的最大值为：．
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质可得的表达式，再令，求解，的坐标即可；
（2）①如图，连接，设，而，求解直线为，可得，，再利用建立方程求解即可；②作于，而，可得，可得，再建立二次函数的模型解题即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．
∴抛物线为：，
∴，
当，
解得：，，
∴，；
∵，
当时，，
∴，
设为，
∴，
解得：，
∴为；
【小问2详解】
①如图，连接，设，
而，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴，
解得：，
∴，，

∵，
∴
∴，
解得：，（不符合题意的根舍去），
∴，
∴P的横坐标为；
②作于，而，
∴，
∴，
∴，

∵，，
∵，，
∴，
∵，，
∴当时，
的最大值为：．
【点睛】本题考查的是中心对称的性质，求解函数的解析式以及交点坐标，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，本题的计算量大，难度大，熟练的计算是解本题的关键．
28. 如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接．
（1）当为等腰直角三角形时，的大小为______．
（2）图2，延长，交射线于点．
①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．
②若，则的面积最大为______，此时______．
【答案】（1）
（2）①；②，
【解析】
【分析】（1）求出，由轴对称的性质得到，再由即可求得答案；
（2）①设的大小为则由等腰三角形的性质即可得出答案；
②由题意可得点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，利用解直角三角形可得面积最大值；过点作于，则，，，，得出，再由，即可求得．
【小问1详解】
解：为等腰直角三角形，
，
，
，
边关于对称线段为，
，
；
故答案为：；
【小问2详解】
的大小不变，始终为．
设的大小为则
关于的对称线段为，
，
＝＝
，
是的外角，
；
②由①知：，
，
点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接，
当时，即点位于点时，的面积最大，
弦，
，即垂直平分，
，，
，
，
，
，，
，
面积最大值是；
此时，点的位置如图所示，过点作于，
则，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，圆的性质，解直角三角形等，正确地作出辅助线是解题的关键．