2024届江西省南昌市高三下学期第三次模拟测试数学试题

这是一份2024届江西省南昌市高三下学期第三次模拟测试数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，.则（ ）
A.B.C.D.
2.已知“”，“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
3.如图对两组数据，和，分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得线性回归方程分别是和，并对变量，进行线性相关检验，得到相关系数，对变量，进行线性相关检验，得到相关系数，则下列判断正确的是（ ）
A.B.C.D.
4.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
5.已知三棱锥中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是线段的中点，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
6.已知数列的前项和为，且满足，，则的值不可能是（ ）
A.1B.2C.3D.15
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数.则下列说法中错误的是（ ）
A.当时，在上单调递增
B.当时，的最小值是一个与无关的常数
C.可能有三个不同的零点
D.当时，有且仅有一个零点
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是单调递减的等比数列，若，前3项和，则下列说法中正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.已知函数，若的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A.的图象也关于直线对称B.的图象关于中心对称
C.D.
11.是椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中正确的是（ ）
A.B.椭圆的离心率为
C.是椭圆的一个焦点D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数满足，则______.
13.在中，，则______.
14.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有I的两个正整数称为互质整数），例如：，，则数列的前项和为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2.将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠.使得平面平面，连接.
图1图2
（1）求证：，，，四点共面：
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
16.（15分）教练为了解运动员甲的罚篮情况，记录了甲罚篮前30次的投篮情况，得到下表（用“1”表示投中，用“0”表示没有投中）：
把频率估计为概率：
（1）若认为甲各次投篮是独立的，计算甲第31，32两次投篮恰好一次投中，一次没有投中的概率；
（2）若认为甲从第2次投篮开始，每次投篮受且仅受上一次投篮的影响，记甲第31，32两次投篮投中的次数为，写出随机变量的分布列，并求.
17.（15分）已知椭圆的离心率为，过点作斜率为直线与椭圆交于，两点交于，（在轴上方），当时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线的垂线，垂足为，连接与轴交于点，若四边形为等腰梯形，求直线的斜率.
18.（17分）定义：若变量，，且满足：，其中，，.称是关于的“型函数”.
（1）当，时，求关于的“2型函数”在点处的切线方程；
（2）若是关于的“型函数”，
（i）求的最小值：
（ii）求证：，.
19.（17分）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.
图1图2
（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够，若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由.
（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收，为了省力，小金选择将冰箱水平推运（冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面），推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米.，记此冰箱水平截面为矩形，.设，当冰箱被卡住时（即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）
2024届高三第三次模拟测试
数学参考答案及评分意见
一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
二、多项选择题：共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分.
12.13.114.
四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）取，的中点分别为，，连接，，
取，的中点分别为，，连接，，，
由题意知，都是等边三角形，
所以，，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，所以，
因为，的中点分别为，，所以
所以，所以，
所以，又因为，
所以，
因为，的中点分别为，，
所以，
所以，所以，，，四点共面；
（2）连接，，由题意知，，
所以，同理，
所以就是二面角的平面角，
设，则，，，
所以，同理，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
16.【解析】（1）根据表中的数据，在甲前30次的投篮过程中，有19次投中，11次没有投中，因此因动员甲投篮投中的概率，投不中的概率为，若甲各次投篮互相独立，那么第31，32次投篮，恰有一次投中，一次没有投中的概率为；
（2）根据表格中的数据可以知道：上一次投篮投中，这一次也投中的概率为，
上一次投篮没有投中，这一次投篮投中的概率为，
的所有可能取值为，，，且由表格可知第30次运动员甲没有投中，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以.
17.【解析】（1）因为，所以，即，
不防设椭圆的方程为，即.
并与直线联立方程
消去得
设，，则有，
由
所以，即
所以椭圆的标准方程为；
（2）因为四边形为等腰梯形，则必有，
即，不妨设的中点为，则必有，
要求直线的斜率，只需要转化为求点的坐标，则有
设，，则有，
有直线的方程为，令，则有
不妨设直线的方程为，
则有，
并与椭圆联立方程，消去得
则有，，则有
则有，所以
所以
所以.
18.【解析】（1）由条件知，，
所求切线方程为，即.
（2）由已知得：，即，
①.
当且仅当即时取得最小值.
②由，即，
则，且，.
可设，，其中，
于是.
记.
.
由，得，记，
当时，当时，，则
.
所以.
19.【解析】（1）过，作水平线，，作，，如图，
当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离），
故冰箱能够按要求运送入客户家中.
（2）延长与直角走廊的边相交于、，
则，
，，
又，则
，.
设，
因为，所以，所以，则，
再令，则，，
易知，在上单调递增，
所以，单调递减，
故当，即，时，
取得最小值，
由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米.
序号
1
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投篮情况
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1
1
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1
0
1
1
1
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0
0
1
序号
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投篮情况
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题号
1
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5
6
7
8
答案
A
B
D
B
C
B
A
C
题号
9
10
11
答案
AD
BCD
ACD
0
1
2