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重难点02 三角形与特殊三角形（3考点9题型）-024年中考数学复习冲刺过关（全国通用）
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这是一份重难点02 三角形与特殊三角形（3考点9题型）-024年中考数学复习冲刺过关（全国通用），文件包含重难点02三角形与特殊三角形原卷版docx、重难点02三角形与特殊三角形解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共115页， 欢迎下载使用。
（1）模拟题必须要有模拟的特点。时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等要贴近中考题。
（2）模拟题的难度应当立足中考又要高于中考。
（3）详细统计模拟测试失分情况。
（4）对错题进行纠错和消化，与之相关的基础知识要再记忆再巩固。
（5）适当的“解放”，但应保持适度紧张的精神状态。实践证明，适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态。
（6）调节生物钟。尽量把学习、思考的时间调整得与中考答卷时间相吻合。
重难点02 三角形与特殊三角形
考点一：三角形的基础知识
三角形的基础知识是学习三角形后续知识的基础，也是其他几何图形学习的基础，虽然中考中单独考察的几率不是很大，但是它却可以融合在其他图形中辅助解题。特别是三角形内角和定理、外角定理、角平分线的性质、线段中垂线的性质，都是解决几何问题中不可或缺的辅助手段，也更需要我们重视这块知识的复习。
题型01 三角形的内角和与外角定理
【中考真题练】
1．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝ ．
2．（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65°B．75°C．85°D．95°
3．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 三角形．
4．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．
问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ 度．
5．（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝ °．
【中考真题练】
1．（2024•盐城模拟）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．105°B．75°C．65°D．55°
2．（2023•新邵县校级一模）如图，在△ABC中，延长AB至D，延长BC至E如果∠1+∠2＝230°，则∠A＝ ．
3．（2023•绍兴模拟）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O，E，F在直线l上，点B恰好落在DE边上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
4．（2023•碑林区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（ ）
A．5°B．8°C．10°D．12°
5．（2023•石峰区一模）如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是 ．
题型02 三角形的三边关系
【中考真题练】
1．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1B．5C．7D．9
2．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6
3．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cmB．2cmC．13cmD．14cm
4．（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．
【中考模拟练】
1．（2024•韶关模拟）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（ ）
A．3mB．4.2mC．5mD．6m
2．（2024•新华区一模）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是（ ）
A．5mB．15mC．20mD．30m
3．（2024•邳州市校级一模）三角形的两边长分别为2和9，周长为偶数，则第三边长为 ．
4．（2023•六安三模）三角形的两边长分别是10和8，则第三边的取值范围是 ．
5．（2023•二道区校级模拟）已知一个三角形的两边长分别为4和5，若第三边的长为整数，则此三角形周长的最大值 ．
6．（2023•娄星区一模）已知四根小棒的长度分别为5cm、6cm、10cm、12cm，从中取出三根小棒，能围成三角形的概率为 ．
题型03 三角形“三线”的性质
【中考真题练】
1．（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 ．
2．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 ．
3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 ．
4．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝ ．
5．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝ ．
【中考模拟练】
1．（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
2．（2024•天山区一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024•南昌一模）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 ．
4．（2024•永靖县一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ．
5．（2023•长清区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8B．7C．6D．5
考点二：全等三角形
全等三角形的性质是对应边相等、对应角相等。附带推论是全等三角形对应边上的“三线”也分别相等。全等三角形判定方法有“4+1”种，出题时常把全等三角形的判定和性质同时出题，难度一般不大，但是这个考点后期的可结合性比较大，所以也是非常重要的一个考点。
题型01 全等三角形的判定
【中考真题练】
1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AO＝BOC．AC＝BOD．AB＝CD
2．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠AFB＝∠DECC．AB＝DCD．AF＝DE
3．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
【中考模拟练】
1．（2024•朝阳区模拟）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
2．（2024•重庆模拟）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝6B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60°
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4
3．（2023•文昌二模）如图，点A，F，E，C在一条直线上，AF＝CE，AD＝CB，则添加下列条件仍不能判断△ADE≌△CBF的是（ ）
A．DE＝BFB．DE∥BFC．AD∥CBD．∠D＝∠B＝90°
4．（2023•西宁二模）如图，正方形格点图中，点A、B、C、D、E、F均在格点上，若以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，请写出一个满足条件的F点坐标 ．
5．（2024•伊通县一模）如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACE．
6．（2023•农安县模拟）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC．
题型02 全等三角形的判定与性质
【中考真题练】
1．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 ．
2．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为 ．
3．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 ．
4．（2023•通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 s．
5．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
6．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
7．（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．
8．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
9．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．
【中考模拟练】
1．（2024•宁波模拟）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，点D不与点B，C重合，且BD＝CE，则（ ）
A．∠AFE＜∠FAEB．∠AFE＜∠FEAC．∠AFE＝∠FAED．∠AFE＝∠FEA
2．（2024•蜀山区一模）如图，△ABC中，高AD，BE相交于点H，连接DE，若BD＝AD，BE＝5，AE＝2，则DE＝ ．
3．（2024•潼南区一模）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝52°，B、D、E在同一直线上，则∠BEC的度数为 ．
4．（2024•河东区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在△ABC外，连接AE，BE，CE，过点A作AF⊥AE，交CE于点F，连接BF，若AE＝AF＝．则：
（Ⅰ）线段EF的长等于 ；
（Ⅱ）△ABC的面积为 ．
5．（2024•南岗区校级一模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC、BD相交于点E，AC＝BD，且AC⊥BD，若AB＝4，AD＝5，则CD边的长为 ．
6．（2024•莲湖区一模）如图，F，C是AD上两点，且AF＝CD，点E，F，G在同一直上，∠B＝∠AGF，BC＝EF，求证：∠A＝∠D．
7．（2024•天河区校级一模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数．
8．（2024•湖州一模）如图，已知△ABC，∠C＝50°，将AB沿射线BC的方向平移至A′B′，使B′为BC的中点，连结AA′，记A′B′与AC的交点为O．
（1）求证：△AOA′≌△COB′；
（2）若AC平分∠BAA′，求∠B的度数．
考点三：特殊三角形
特殊三角形在中考数学中包含等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形。其中等腰三角形的性质“三线合一”和直角三角形的“勾股定理”是特殊三角形非常重要的性质。
题型01 等腰三角形的性质和判定
【中考真题练】
1．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．70°B．100°C．110°D．140°
2．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°﹣n°D．30°或150°
3．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等腰直角三角形
4．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．32°B．58°C．74°D．75°
5．（2023•西宁）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 ．
6．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 ．
7．（2023•烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
【中考模拟练】
1．（2024•宿迁二模）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．80°或50°B．80°C．50°D．50°或20°
2．（2024•道里区一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边BC的长为 ．
3．（2024•喀什地区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝40°，则∠EBD是 ．
4．（2024•咸丰县模拟）已知A（2，0），B（0，2），点C在坐标轴上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的C有（ ）个．
A．5B．6C．7D．8
5．（2024•惠安县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是边AC的中线，根据下列作图步骤：
①分别以B，C为圆心，大于为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点；
②连接M，N并延长，交BD于点P；
③连接AP，CP．
则下列结论正确的是（ ）
A．延长CP，则CP垂直平分AB
B．AP平分∠BAC
C．△APB是等腰三角形
D．AP＝BP＝CP
6．（2023•紫金县三模）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．9B．8C．7D．6
7．（2024•道里区校级一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠C＝2∠B，AB﹣BE＝4，AD＝BE，则BE的长 ．
8．（2024•利津县一模）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为 ．
9．（2023•黑龙江模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB﹣AC＝3，BC＝8，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，则S△BDC的值为（ ）
A．24B．12C．6D．3
10．（2023•长春二模）如图，直线y＝4x+4与坐标轴交于A、B两点，点C为x轴负半轴上一点，∠CAB＝45°．则点C的坐标是 ．
题型02 等边三角形的性质和判定
【中考真题练】
1．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
2．（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（ ）
A．B．6C．8D．
3．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm．
4．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 ．
5．（2023•雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为 ．
【中考模拟练】
1．（2023•黔东南州二模）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AD延长线上一点，若AE＝AC，则∠AEC的度数为（ ）
A．45°B．60°C．65°D．75°
2．（2024•长沙县一模）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
3．（2023•团风县模拟）如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF＝（ ）
A．12B．8C．4D．3
4．（2023•肥西县二模）如图，在等边△ABC中，点 A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．4B．2+C．+2D．2+2
5．（2023•碑林区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为 ．
6．（2023•长春模拟）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的△ABC和△ADE，点B、C、D依次在同一条直线上，连接CE．若CD＝1，CE＝3，则点A到直线BC的距离为 ．
题型03 直角三角形的性质和判定
【中考真题练】
1．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（ ）
A．4mB．6mC．10mD．12m
2．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是（ ）
A．1B．2C．6D．8
3．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
4．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝ ．
【中考模拟练】
1．（2024•昭通一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AB等于（ ）
A．5B．6C．8D．12
2．（2023•工业园区校级二模）定义：一个三角形的一个角是另一个角的2倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”．若直角△ABC是“倍角三角形”，∠C＝90°，∠A≤∠B，则∠A的度数为 ．
3．（2023•漳浦县模拟）在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C，
②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，
③∠A＝90°﹣∠B，
④∠A＝∠B＝∠C 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023•海珠区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝4，则AC＝ ．
5．（2023•莲湖区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，点D为BC的中点，AE⊥BC于点E，则DE的长是（ ）
A．1B．C．3D．6
6．（2024•灵山县一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝6，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．（2024•湖南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点，若BD＝4，则AC的长是 ．
8．（2024•新昌县一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连结AE，DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．
题型04 勾股定理及其应用
【中考真题练】
1．（2023•宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（ ）
A．2﹣B．2﹣2C．2D．2
2．（2023•南京）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC中，AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，则△ABC的面积是（ ）
A．80平方里B．82平方里C．84平方里D．86平方里
3．（2023•日照）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2
C．S1＝S2D．S1，S2大小无法确定
4．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•泰州）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
6．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝ ．
7．（2023•菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 ．
8．（2023•湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝ ．
9．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 ．
10．（2023•无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
11．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
12．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）
【中考模拟练】
1．（2024•黔南州一模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝6，在BC上取一点M（不与B、C点重合），连接AM，当AM的长度为整数值时，符合条件的AM值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2024•元谋县一模）如图所示，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则△ABC的面积为（ ）
A．B．5C．D．10
3．（2024•邱县一模）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状改变而变化．当△ABC是直角三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．5B．C．D．4
4．（2024•雁塔区校级模拟）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长是（ ）
A．B．4C．D．
5．（2024•鞍山模拟）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），随板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）
A．3.4mB．5mC．4mD．5.5m
6．（2024•凉州区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为13，则AB的长为（ ）
A．5B．C．D．
7．（2024•浔阳区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．
8．（2023•杭州模拟）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．据此规律，当a＝45时，b的值是（ ）
A．1011B．1012C．1013D．1014
9．（2024•常州模拟）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M，N．已知AH＝3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．4B．4.5C．4.8D．5
10．（2024•高新区模拟）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺B．12尺C．13尺D．15尺
11．（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）cm．
A．10B．50C．10D．70
12．（2024•西安一模）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案；他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示：
请你选择其中的一种测量方案，求古树AB的高度．（结果保留根号）
易错点：三角形内角和定理：三角形三个内角的和=180°
三角形外角定理：三角形的一个外角=与它不相邻两个内角的和
三角形内角和与外角定理是几何图形求解角度时常用的等量关系；即使是其他多边形，也常转化为三角形求角度；
解题大招01：三角形两边之差＜第三边＜三角形两边之和
解题大招02：判定三边能否组成三角形，直接用“定理”，且只需要较小的两边之和大于最大的边长即可
解题大招03：“三点共线”类最值：当两线段长固定，且首尾相连，可用三点共线来求其最大值与最小值
由△的三线组成的几个“心”：
△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；
△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；
△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；
解题大招01：三角形中线常见作用及其辅助线
常见“用途”：平分线段、平分面积；
辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；
解题大招02：三角形高线常见作用及其辅助线
常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；
辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；
解题大招03：角平分线常见作用及其辅助线
常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；
辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰；
解题大招04：中垂线常见作用及其辅助线
常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；
辅助线类型：连接两点
易错点01：全等三角形的判定通用方法为：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法为：HL
易错点02：三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。
全等三角形的判定通用方法为：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法为：HL
解题大招01：解题大招：有关三角形全等问题应用的三个方向：
①证边相等就证它们所在的三角形全等；
②证角相等就证它们所在的三角形全等；
③全等三角形可以提供相等线段、相等角
解题大招02：
易错点01：等腰三角形是轴对称图形，有1条或3条对称轴
易错点02：等腰三角形重要性质：“三线合一”、等边对等角
易错点03：等腰三角形判定方法：①定义法；②等角对等边
当一个三角形的角平分线与高线，或者中线出现重合时，虽然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形，遇到时要记得用。
解题大招01：等边三角形的判定方法重点记忆有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，但是如果一个三角形中出现2个60°内角，也要往等边三角形方向想。
解题大招02：等边三角形面积的求解方法：
直角三角形的性质有些是通用的，有些是特殊角的直角三角形才有的，使用时需要注意区分
解题大招01：常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数
解题大招02：勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三角形勾股定理方向去想
a
3
5
7
9
11
…
b
4
12
24
40
60
…
c
5
13
25
41
61
…
活动课题
测量古树AB的高度
研学小组
甲组
乙组
测量示意图
测量说明
CE⊥AB于点E，BECD为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内．
CD⊥AB于点D，图中所有的点都在同一平面内．
测量数据
CD＝4m，CE＝12m，∠ACE＝30°．
∠ACD＝45°，∠BCD＝60°，CD＝4m．
（1）模拟题必须要有模拟的特点。时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等要贴近中考题。
（2）模拟题的难度应当立足中考又要高于中考。
（3）详细统计模拟测试失分情况。
（4）对错题进行纠错和消化，与之相关的基础知识要再记忆再巩固。
（5）适当的“解放”，但应保持适度紧张的精神状态。实践证明，适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态。
（6）调节生物钟。尽量把学习、思考的时间调整得与中考答卷时间相吻合。
重难点02 三角形与特殊三角形
考点一：三角形的基础知识
三角形的基础知识是学习三角形后续知识的基础，也是其他几何图形学习的基础，虽然中考中单独考察的几率不是很大，但是它却可以融合在其他图形中辅助解题。特别是三角形内角和定理、外角定理、角平分线的性质、线段中垂线的性质，都是解决几何问题中不可或缺的辅助手段，也更需要我们重视这块知识的复习。
题型01 三角形的内角和与外角定理
【中考真题练】
1．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝ ．
2．（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65°B．75°C．85°D．95°
3．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 三角形．
4．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．
问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ 度．
5．（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝ °．
【中考真题练】
1．（2024•盐城模拟）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．105°B．75°C．65°D．55°
2．（2023•新邵县校级一模）如图，在△ABC中，延长AB至D，延长BC至E如果∠1+∠2＝230°，则∠A＝ ．
3．（2023•绍兴模拟）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O，E，F在直线l上，点B恰好落在DE边上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
4．（2023•碑林区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（ ）
A．5°B．8°C．10°D．12°
5．（2023•石峰区一模）如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是 ．
题型02 三角形的三边关系
【中考真题练】
1．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1B．5C．7D．9
2．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6
3．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．1cmB．2cmC．13cmD．14cm
4．（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．
【中考模拟练】
1．（2024•韶关模拟）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（ ）
A．3mB．4.2mC．5mD．6m
2．（2024•新华区一模）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是（ ）
A．5mB．15mC．20mD．30m
3．（2024•邳州市校级一模）三角形的两边长分别为2和9，周长为偶数，则第三边长为 ．
4．（2023•六安三模）三角形的两边长分别是10和8，则第三边的取值范围是 ．
5．（2023•二道区校级模拟）已知一个三角形的两边长分别为4和5，若第三边的长为整数，则此三角形周长的最大值 ．
6．（2023•娄星区一模）已知四根小棒的长度分别为5cm、6cm、10cm、12cm，从中取出三根小棒，能围成三角形的概率为 ．
题型03 三角形“三线”的性质
【中考真题练】
1．（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 ．
2．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 ．
3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 ．
4．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝ ．
5．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝ ．
【中考模拟练】
1．（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
2．（2024•天山区一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024•南昌一模）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 ．
4．（2024•永靖县一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ．
5．（2023•长清区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8B．7C．6D．5
考点二：全等三角形
全等三角形的性质是对应边相等、对应角相等。附带推论是全等三角形对应边上的“三线”也分别相等。全等三角形判定方法有“4+1”种，出题时常把全等三角形的判定和性质同时出题，难度一般不大，但是这个考点后期的可结合性比较大，所以也是非常重要的一个考点。
题型01 全等三角形的判定
【中考真题练】
1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AO＝BOC．AC＝BOD．AB＝CD
2．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠AFB＝∠DECC．AB＝DCD．AF＝DE
3．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
【中考模拟练】
1．（2024•朝阳区模拟）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
2．（2024•重庆模拟）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝6B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60°
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4
3．（2023•文昌二模）如图，点A，F，E，C在一条直线上，AF＝CE，AD＝CB，则添加下列条件仍不能判断△ADE≌△CBF的是（ ）
A．DE＝BFB．DE∥BFC．AD∥CBD．∠D＝∠B＝90°
4．（2023•西宁二模）如图，正方形格点图中，点A、B、C、D、E、F均在格点上，若以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，请写出一个满足条件的F点坐标 ．
5．（2024•伊通县一模）如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACE．
6．（2023•农安县模拟）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC．
题型02 全等三角形的判定与性质
【中考真题练】
1．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 ．
2．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为 ．
3．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 ．
4．（2023•通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 s．
5．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
6．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
7．（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．
8．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
9．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．
【中考模拟练】
1．（2024•宁波模拟）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，点D不与点B，C重合，且BD＝CE，则（ ）
A．∠AFE＜∠FAEB．∠AFE＜∠FEAC．∠AFE＝∠FAED．∠AFE＝∠FEA
2．（2024•蜀山区一模）如图，△ABC中，高AD，BE相交于点H，连接DE，若BD＝AD，BE＝5，AE＝2，则DE＝ ．
3．（2024•潼南区一模）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝52°，B、D、E在同一直线上，则∠BEC的度数为 ．
4．（2024•河东区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在△ABC外，连接AE，BE，CE，过点A作AF⊥AE，交CE于点F，连接BF，若AE＝AF＝．则：
（Ⅰ）线段EF的长等于 ；
（Ⅱ）△ABC的面积为 ．
5．（2024•南岗区校级一模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC、BD相交于点E，AC＝BD，且AC⊥BD，若AB＝4，AD＝5，则CD边的长为 ．
6．（2024•莲湖区一模）如图，F，C是AD上两点，且AF＝CD，点E，F，G在同一直上，∠B＝∠AGF，BC＝EF，求证：∠A＝∠D．
7．（2024•天河区校级一模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数．
8．（2024•湖州一模）如图，已知△ABC，∠C＝50°，将AB沿射线BC的方向平移至A′B′，使B′为BC的中点，连结AA′，记A′B′与AC的交点为O．
（1）求证：△AOA′≌△COB′；
（2）若AC平分∠BAA′，求∠B的度数．
考点三：特殊三角形
特殊三角形在中考数学中包含等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形。其中等腰三角形的性质“三线合一”和直角三角形的“勾股定理”是特殊三角形非常重要的性质。
题型01 等腰三角形的性质和判定
【中考真题练】
1．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．70°B．100°C．110°D．140°
2．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°﹣n°D．30°或150°
3．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等腰直角三角形
4．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．32°B．58°C．74°D．75°
5．（2023•西宁）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 ．
6．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 ．
7．（2023•烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
【中考模拟练】
1．（2024•宿迁二模）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．80°或50°B．80°C．50°D．50°或20°
2．（2024•道里区一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边BC的长为 ．
3．（2024•喀什地区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝40°，则∠EBD是 ．
4．（2024•咸丰县模拟）已知A（2，0），B（0，2），点C在坐标轴上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的C有（ ）个．
A．5B．6C．7D．8
5．（2024•惠安县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是边AC的中线，根据下列作图步骤：
①分别以B，C为圆心，大于为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点；
②连接M，N并延长，交BD于点P；
③连接AP，CP．
则下列结论正确的是（ ）
A．延长CP，则CP垂直平分AB
B．AP平分∠BAC
C．△APB是等腰三角形
D．AP＝BP＝CP
6．（2023•紫金县三模）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．9B．8C．7D．6
7．（2024•道里区校级一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠C＝2∠B，AB﹣BE＝4，AD＝BE，则BE的长 ．
8．（2024•利津县一模）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为 ．
9．（2023•黑龙江模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB﹣AC＝3，BC＝8，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，则S△BDC的值为（ ）
A．24B．12C．6D．3
10．（2023•长春二模）如图，直线y＝4x+4与坐标轴交于A、B两点，点C为x轴负半轴上一点，∠CAB＝45°．则点C的坐标是 ．
题型02 等边三角形的性质和判定
【中考真题练】
1．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
2．（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（ ）
A．B．6C．8D．
3．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm．
4．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 ．
5．（2023•雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为 ．
【中考模拟练】
1．（2023•黔东南州二模）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AD延长线上一点，若AE＝AC，则∠AEC的度数为（ ）
A．45°B．60°C．65°D．75°
2．（2024•长沙县一模）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
3．（2023•团风县模拟）如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF＝（ ）
A．12B．8C．4D．3
4．（2023•肥西县二模）如图，在等边△ABC中，点 A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．4B．2+C．+2D．2+2
5．（2023•碑林区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为 ．
6．（2023•长春模拟）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的△ABC和△ADE，点B、C、D依次在同一条直线上，连接CE．若CD＝1，CE＝3，则点A到直线BC的距离为 ．
题型03 直角三角形的性质和判定
【中考真题练】
1．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（ ）
A．4mB．6mC．10mD．12m
2．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是（ ）
A．1B．2C．6D．8
3．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
4．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝ ．
【中考模拟练】
1．（2024•昭通一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AB等于（ ）
A．5B．6C．8D．12
2．（2023•工业园区校级二模）定义：一个三角形的一个角是另一个角的2倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”．若直角△ABC是“倍角三角形”，∠C＝90°，∠A≤∠B，则∠A的度数为 ．
3．（2023•漳浦县模拟）在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C，
②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，
③∠A＝90°﹣∠B，
④∠A＝∠B＝∠C 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023•海珠区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝4，则AC＝ ．
5．（2023•莲湖区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，点D为BC的中点，AE⊥BC于点E，则DE的长是（ ）
A．1B．C．3D．6
6．（2024•灵山县一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝6，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．（2024•湖南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点，若BD＝4，则AC的长是 ．
8．（2024•新昌县一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连结AE，DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．
题型04 勾股定理及其应用
【中考真题练】
1．（2023•宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（ ）
A．2﹣B．2﹣2C．2D．2
2．（2023•南京）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC中，AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，则△ABC的面积是（ ）
A．80平方里B．82平方里C．84平方里D．86平方里
3．（2023•日照）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2
C．S1＝S2D．S1，S2大小无法确定
4．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•泰州）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
6．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝ ．
7．（2023•菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 ．
8．（2023•湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝ ．
9．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 ．
10．（2023•无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
11．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
12．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）
【中考模拟练】
1．（2024•黔南州一模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝6，在BC上取一点M（不与B、C点重合），连接AM，当AM的长度为整数值时，符合条件的AM值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2024•元谋县一模）如图所示，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则△ABC的面积为（ ）
A．B．5C．D．10
3．（2024•邱县一模）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状改变而变化．当△ABC是直角三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．5B．C．D．4
4．（2024•雁塔区校级模拟）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长是（ ）
A．B．4C．D．
5．（2024•鞍山模拟）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），随板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）
A．3.4mB．5mC．4mD．5.5m
6．（2024•凉州区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为13，则AB的长为（ ）
A．5B．C．D．
7．（2024•浔阳区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．
8．（2023•杭州模拟）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．据此规律，当a＝45时，b的值是（ ）
A．1011B．1012C．1013D．1014
9．（2024•常州模拟）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M，N．已知AH＝3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．4B．4.5C．4.8D．5
10．（2024•高新区模拟）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺B．12尺C．13尺D．15尺
11．（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）cm．
A．10B．50C．10D．70
12．（2024•西安一模）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案；他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示：
请你选择其中的一种测量方案，求古树AB的高度．（结果保留根号）
易错点：三角形内角和定理：三角形三个内角的和=180°
三角形外角定理：三角形的一个外角=与它不相邻两个内角的和
三角形内角和与外角定理是几何图形求解角度时常用的等量关系；即使是其他多边形，也常转化为三角形求角度；
解题大招01：三角形两边之差＜第三边＜三角形两边之和
解题大招02：判定三边能否组成三角形，直接用“定理”，且只需要较小的两边之和大于最大的边长即可
解题大招03：“三点共线”类最值：当两线段长固定，且首尾相连，可用三点共线来求其最大值与最小值
由△的三线组成的几个“心”：
△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；
△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；
△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；
解题大招01：三角形中线常见作用及其辅助线
常见“用途”：平分线段、平分面积；
辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；
解题大招02：三角形高线常见作用及其辅助线
常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；
辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；
解题大招03：角平分线常见作用及其辅助线
常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；
辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰；
解题大招04：中垂线常见作用及其辅助线
常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；
辅助线类型：连接两点
易错点01：全等三角形的判定通用方法为：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法为：HL
易错点02：三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。
全等三角形的判定通用方法为：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法为：HL
解题大招01：解题大招：有关三角形全等问题应用的三个方向：
①证边相等就证它们所在的三角形全等；
②证角相等就证它们所在的三角形全等；
③全等三角形可以提供相等线段、相等角
解题大招02：
易错点01：等腰三角形是轴对称图形，有1条或3条对称轴
易错点02：等腰三角形重要性质：“三线合一”、等边对等角
易错点03：等腰三角形判定方法：①定义法；②等角对等边
当一个三角形的角平分线与高线，或者中线出现重合时，虽然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形，遇到时要记得用。
解题大招01：等边三角形的判定方法重点记忆有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，但是如果一个三角形中出现2个60°内角，也要往等边三角形方向想。
解题大招02：等边三角形面积的求解方法：
直角三角形的性质有些是通用的，有些是特殊角的直角三角形才有的，使用时需要注意区分
解题大招01：常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数
解题大招02：勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三角形勾股定理方向去想
a
3
5
7
9
11
…
b
4
12
24
40
60
…
c
5
13
25
41
61
…
活动课题
测量古树AB的高度
研学小组
甲组
乙组
测量示意图
测量说明
CE⊥AB于点E，BECD为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内．
CD⊥AB于点D，图中所有的点都在同一平面内．
测量数据
CD＝4m，CE＝12m，∠ACE＝30°．
∠ACD＝45°，∠BCD＝60°，CD＝4m．
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