湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试卷（Word版附解析）

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时限：120分钟 满分：150分 命题人：游林 张巧巧 审题人：钟涛
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同安排方法有（ ）
A. B. C. D.
2. 的展开式中，第（ ）项的二项式系数与第8项的二项式系数相等.
A. 第项B. 第项C. 第项D. 第项
3. 已知等差数列，则“”是“”成立（ ）条件.
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
4. 两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数和为（ ）
A. 32B. C. 0D. 1
6. 学校决定于3月14日~3月21日举行为期8天的“数学节”活动，现安排A，B，C，D，E五位同学担任本次活动的志愿者.已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者，要求3月14日､3月15日做志愿者的同学每人安排一天，3月16日到3月21日做志愿者的同学每人安排两天，则不同的安排方法一共有（ ）
A. 792种B. 1440种C. 1800种D. 10800种
7. 下列不等式中，所有正确的序号是（ ）
① ② ③ ④
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
8. 已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（ ）
A. B. 2C. 1D. 0
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知方程，则（ ）
A. 存在实数，使得该方程对应的图形是圆
B. 存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线
C. 存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线
D. 存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆
10. 在复平面内，复数，对应的向量分别为，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点（如图），则平面的有（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，含的项的系数是__________.
13. 对于随机事件，记为事件的对立事件，且，则__________.
14. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为内心，求直线与平面所成角的正弦值．
16. ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的个问题中随机抽取个作答，已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个.
（1）在小张和ChatGPT的这次挑战中，求小张答对的题数的分布列；
（2）给ChatGPT输入一个问题，求该问题能被ChatGPT回答正确的概率；
17 已知函数.
（1）求曲线在处切线方程；
（2）设，求函数的最小值；
（3）若，求实数的值.
18. 如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的取值范围.
19. 已知且，函数.
（1）记为数列的前项和.当时，试比较与2024的大小，并说明理由；
（2）当时，证明：；
（3）当且时，试讨论的零点个数.