湖南省长沙市第一中学2024届高考适应性演练(三）数学试题

这是一份湖南省长沙市第一中学2024届高考适应性演练(三）数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若全集，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的实部是（ ）
A．B．C．0D．1
3．若函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．如图，设向量，，若，且，则用阴影表示点所有可能的位置区域正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．若正数，满足，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．9D．16
7．定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则（ ）
A．1763B．1935C．2125D．2303
8．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论中正确的有（ ）
A．若随机变量，满足，则
B．若随机变量，且，则
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D．数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32
10．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点，使，，，四点共面
B．存在点，使平面
C．三棱锥的体积为
D．经过，，，四点的球的表面积为
11．已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数的图象的一条对称轴为直线，则______．
13．某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有______种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为______．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线，的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在中，，．，分别为边，上的中点，现将以为折痕折起，使点到达点的位置．
（1）连接，证明：；
（2）若平面与平面所成二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
16．（15分）随着人工智能的进一步发展，ChatGPT逐渐进入大众视野．ChatGPT是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为ChatGPT会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家IT企业开展调查，统计每家企业一年内应用ChatGPT的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：
（1）根据小概率的独立性检验，是否有的把握认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性有关？
（2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用ChatGPT的企业有家，事件“”的概率为．求的分布列并计算使取得最大值时的值．
附：，其中．
17．（15分）已知数列不为常数数列且各项均为正数，数列的前项和为，，满足，其中，是不为零的常数，．
（1）是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；
（2）若数列是公比为的等比数列，证明：（且）．
18．（17分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在唯一的极值点，证明：．
19．（17分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点是双曲线上位于第一象限内的点，过点作直线与双曲线的右支交于另外一点，连接并延长交双曲线左支于点，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（3）求的最小值．
1．A【解析】因为，所以，故选A．
2．C【解析】因为，所以的实部是0，故选C．
3．B【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增．又函数在区间上不单调，所以，故选B．
4．B【解析】在中，，则．
又，
所以，则有．
又，所以，故角为锐角．
当角为锐角时，不一定是锐角三角形；当为锐角三角形时，角为锐角，
故“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件．故选B．
5．D【解析】在阴影部分中任选一点作为，对作平行四边形分解，观察，的大小可得选项D正确．
6．A【解析】方法一：由题意可得，，所以，
当且仅当，时取到等号，故选A．
方法二：由得，所以，当且
仅当，即当，时取到等号．故选A．
7．B【解析】由题意知．令，于是，，
所以，即．
所以，故选B．
8．B【解析】由题意可知，
将原不等式变形为，即对恒成立．
设，则问题转化为在上恒成立．
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，所以当时，；当时，．
①在上，若恒成立，即，；
②在上，若，则恒成立，即恒成立，
令，，则．所以在上单调递增，
所以，所以，综上，实数的取值范围为．故选B．
9．BC【解析】由方差的性质可得，故选项错误．
由正态分布图象的对称性可得，故选项B正确．
由相关系数知识可得，线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C正确．
先将所有数从小到大进行排序，由于为整数，所以再求出第4个和第5个数的平均数，所以第50百分位数为，故选项D错误．
故选BC．
10．ABC【解析】如图，在正方体中，连接，．
因为，分别是，的中点，所以．
又因为，所以．
所以，，，四点共面，即当与点重合时，，，，四点共面，故选项A正确．
连接，，当是的中点时，因为，，所以．
因为平面，平面，所以平面，故选项B正确．
连接，，，因为，所以
，故选项C正确．
分别取，的中点，，构造长方体，
则经过，，，四点的球即为长方体的外接球．
设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，
即，
所以经过，，，四点的球的表面积为，故选项D错误．
故选ABC
11．ACD【解析】方法一，令，得，故选项A正确．
令，得，故．令得，故，故选项B错误．
令得，故是奇函数，故选项C正确．
令，得，即，则，故选项D正确．
故选ACD．
方法二：对于选项B，C，D，还可根据并结合初等函数，设，则，可得选项C，D正确．
故选ACD．
12．【解析】，
由于的图象的一条对称轴为直线，所以，
解得．
又因为，所以．
13．54；【解析】由题意可得三个学年修完四门选修课程，每学年至多选2门，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2．先将4门选修课程按1，1，2分成三组，有种方式，再分到三个学年，有种不同方式，
由分步计数原理得，不同的选修方式共有种．
同理，将4门选修课程按0，2，2分成三组，再排列，有种，
所以共有种不同的选修方式．
若将“某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程”记为事件，将“高二学年结束后就修完所有选修课程”记为事件．
根据题意，满足事件的所有选课情况共3种情况，其中同时满足事件的仅有1种情况．根据条件概率公式，可知所求概率为．
14．【解析】设，，设圆与，，轴相切于点，，，所以，，，所以，
即，所以．由椭圆的第二定义可知，所以，所以，由等面积法得到，所以．
因为，所以，所以，即．
15．【解析】（1）方法一：如图1，取的中点，
图1
因为，分别为，的中点，所以．
因为，所以．
又因为，，所以平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面，交线为．
因为为的中点，且，所以，所以平面．
又因为，所以平面．
因为平面，所以．
方法二：因为，所以且，
所以，即。
（2）方法一：因为，所以平面．
又因为平面，
若平面平面直线，则且．
由（1）可知，，，
所以平面与平面所成二面角的平面角为．
因为，且，所以为正三角形．
过点作平面交于点，连接，则为直线与平面所成角．
过点作，因为平面，所以．
又因为，所以．
方法二：如图2，建立空间直角坐标系，以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，在平面内过点作轴垂直于平面．设．
图2
则，，，，，
则，，设平面的一个法向量为，
由解得平面的一个法向量．
又因为，，设平面的一个法向量为，
由解得平面的一个法向量．
根据，解得，
所以，，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值．
16．【解析】（1）零假设：IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关，，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关．
（2）方法一，，且．
若是最大值，则且，
根据
且且，解得．
方法二：因为，所以．
当时，解得，此时，单调递增，
所以；
当时，，单调递减，
所以，所以是最大值，．
17．【解析】（1）方法一；由题意可知①，②
由①－②得．
因为且，所以．所以③．
若存在，使得数列为等差数列，则（是不为0的常数，，），代入③化简得到．由于不为常数数列且各项均为正数，
所以解得
所以，．此时，满足且为等差数列．
方法二：若是公差为的等差数列，
则，
整理得到，
所以由③可得或．
（ⅰ）若，由①②解得，；
（ⅱ）若，代入①②解得，与题意不符．
综合以上可知存在，使得为公差等于1的等差数列．
（2）由于是公比为的等比数列，所以，所以．
令可知，所以．
因为且，所以，所以，
所以．
又因为，所以．
由于
，且当时，，
所以，原不等式成立．
18．【解析】（1）因为，当时，，此时在上恒成立，所以在上单调递减；
当时，在上单调递减，所以在上有唯一零点，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减；
当时，在上有零点，，
当和时，，所以在和上单调递减，
当时，，所以在上单调递增．
（2）由题意可知，若存在唯一的极值点，
由（1）可知，且．
因为，要证，
只需证①．因为，所以．
将代入①整理可得，只需证，．
令，，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，即原不等式成立．
19．【解析】（1）因为虚轴长为2，即，所以．
又因为有一条渐近线方程为，所以，
所以双曲线的标准方程为．
（2）由题意，点与点关于原点对称．设，则．
由题意可知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
记，又直线为的平分线．则．
因为，．
所以，
同理．
又，，代入得，
，化简得．
所以，即直线与直线的斜率之积为定值．
（3）由（2）可知．又，．所以，
将代入，得，，，
所以，，．
设直线的方程为，
将代入得．
所以直线的方程为，．
由点到直线距离公式得，．
又直线的斜率为，设直线的方程为，
将代入得，所以直线的方程为．将其与联立得．
设，，则，．
由得，
所以．
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以当且仅当时，的最小值为3．
ChatGPT应用广泛性
招聘人数减少
招聘人数增加
合计
广泛应用
60
50
110
没有广泛应用
40
50
90
合计
100
100
200
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635