2023-2024学年江苏省无锡市经开区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市经开区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．1，1，3C．3，4，5D．7，10，18
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． a6÷a2＝a3 B．a3+a3＝a6
C．（﹣a3）2＝﹣a6 D．a•a4＝a5
3．（3分）世界上最小的无脊椎动物是单细胞生物草履虫，它身长仅0.00028米，用科学记数法可表示为（ ）
A．2.8×10﹣4B．2.8×10﹣3C．28×10﹣5D．0.28×10﹣4
4．（3分）下列各式中，计算结果等于（x﹣2）（x+3）的是（ ）
A．x2﹣x+6B．x2﹣x﹣6C．x2+x+6D．x2+x﹣6
5．（3分）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
B．x2+y2＝（x+y）2
C．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2
D．
6．（3分）下列说法：
①钝角三角形的三条高所在直线交于形外一点
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等
③三角形的三个内角中至少有两个锐角
④如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（ ）
A．a2+ab＝a（a+b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABE是四边形ABCD的外角，且∠ABE＝∠D，∠C＝110°，则∠A的度数是（ ）
A．110°B．50°C．70°D．35°
9．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝5，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移4个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移4个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移4个单位，得到长方形AnBn∁nDn（n＞2），则ABn长为（ ）
A．4n+6B．4n+5C．4n+4D．4n+3
10．（3分）如图为长方形纸带，AD∥BC，点E、F分别是直线AD、BC上一点，∠DEF为锐角，且不等于60°，将纸带沿EF折叠如图①，再由GF折叠如图②，若GP平分∠MGF交直线EF于点P，若∠DEF＝α，则∠GPE的度数为（ ）
A．αB．2αC．3αD．4α
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）一个n边形的内角和等于720°，则n＝ ．
12．（3分）已知2x＝3，2y＝4，则2x﹣y＝ ．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，①∠2＝∠3；②∠1＝∠4；③∠B＝∠D；④∠1+∠2+∠B＝180°．以上条件能得出AB∥CD的是 ．
14．（3分）当x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值是 ．
15．（3分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝240°，则∠P＝ °．
17．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AC中点，EF⊥BC，DG⊥AC，垂足为F、G，若△ABC周长为41，AB＝AC，AC＝10，EF＝4，则DG的长为 ．
18．（3分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°，若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）计算：
（1）；
（2）a5÷a4•a9+（2a2）5；
（3）2x（x﹣3）+（2x﹣1）（x﹣3）；
（4）．
20．（6分）因式分解：
（1）2x2y﹣8xy+8y；
（2）a4﹣16．
21．（4分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（a﹣b）（b+a），其中a＝1，b＝2．
22．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．将△ABC经过一次平移得到△DEF，点D、E、F分别是A、B、C的对应点．
（1）画出平移后的△DEF；
（2）利用格点图画出△DEF中DE边上的高FH；
（3）在格点上找一点P（不与B点重合），使△PAC的面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点P共 个；
（4）平移过程中，线段AC扫过的图形面积是 ．
23．（6分）如图，AB∥CD，E是CD上一点，∠AEF＝62°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
24．（8分）如图，AD是△ABC的高，点E、F在AB、AC上，DE∥AB，∠BAC＝90°，∠C＝40°．
（1）求∠CDE的度数；
（2）若∠BDF＝∠BAD，求证：DF∥AC．
25．（8分）阅读以下材料：
我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．观察可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的，则称x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式x2+6x+4变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于x的多项式x2﹣kx+4关于x＝3对称，则k＝ ；
（3）代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64）的对称轴是直线x＝ ．
26．（10分）如图将△ABC沿线段BC翻折至△FBC处，延长AC、BD（点F在∠EAD内部）．
请尝试探究：
（1）请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为 ；
（2）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．点F在∠A内部（如图②），证明：CG∥BH．
（3）若射线CG、BH分别是∠ECF，∠DBF的n等分线（n为大于2的正整数），即∠GCF＝∠ECF，∠HBF＝∠DBF，射线CG和射线BH相交于点O．请直接写出∠A与∠BOC的数量关系： ．
2023-2024学年江苏省无锡市经开区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把答案直接填写在答卷上相应的位置）
1．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．1，1，3C．3，4，5D．7，10，18
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：A、2+3＝5，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、1+2＜3，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、3+4＞5，能构成三角形，故此选项符合题意；
D、7+10＜18，不能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． a6÷a2＝a3 B．a3+a3＝a6
C．（﹣a3）2＝﹣a6 D．a•a4＝a5
【分析】先根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法和除法法则进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A．a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故本选项不符合题意；
B．a3+a3＝2a3，故本选项不符合题意；
C．（﹣a3）2＝a6，故本选项不符合题意；
D．a•a4＝a1+4＝a5，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法和除法法则等知识点，能熟记合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法和除法法则是解此题的关键，（ab）m＝ambm，（am）n＝amn，am•an＝am+n．
3．（3分）世界上最小的无脊椎动物是单细胞生物草履虫，它身长仅0.00028米，用科学记数法可表示为（ ）
A．2.8×10﹣4B．2.8×10﹣3C．28×10﹣5D．0.28×10﹣4
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【解答】解：0.00028＝2.8×10﹣4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列各式中，计算结果等于（x﹣2）（x+3）的是（ ）
A．x2﹣x+6B．x2﹣x﹣6C．x2+x+6D．x2+x﹣6
【分析】运用多项式乘多项式的计算方法进行求解．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）
＝x2+3x﹣2x﹣6
＝x2+x﹣6，
故选：D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．
5．（3分）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
B．x2+y2＝（x+y）2
C．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2
D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【解答】解：（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2是乘法运算，则A不符合题意；
x2+y2＝（x+y）2中左右两边不相等，则B不符合题意；
x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2符合因式分解的定义，则C符合题意；
x2+4＝x（x+）中等号右边不是整式积的形式，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．（3分）下列说法：
①钝角三角形的三条高所在直线交于形外一点
②两条直线被第三条直线所截，内错角相等
③三角形的三个内角中至少有两个锐角
④如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据钝角三角形高的特征即可对①进行判断，根据两条平行线直线被第三条直线所截，内错角相等可对②进行判断；根据三角形的内角和等于180°可对③进行判断；根据如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补可对④进行判断．
【解答】解：①∵钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外，
∴①正确；
②∵两条平行线直线被第三条直线所截，内错角相等，
∴②不正确；
③∵三角形的内角和等于180°，
∴三角形的三个内角中至少有两个锐角，
∴③正确；
④∵如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，
∴④不正确．
综上所述：正确的有①③，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的高，平行线的性质，三角形的内角和定理等，理解三角形的高，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
7．（3分）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（ ）
A．a2+ab＝a（a+b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】根据题意，首先由图形分别求出面积，即可．
【解答】解：由图①得，空白图形面积＝a2﹣b2；
由图②得，空白图形面积＝（a+b）（a﹣b）．
故可得公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．所以可排除A，B，C选项．
所以本题答案为D．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题的关键．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABE是四边形ABCD的外角，且∠ABE＝∠D，∠C＝110°，则∠A的度数是（ ）
A．110°B．50°C．70°D．35°
【分析】根据AB∥CD，得出∠ABC＝70°，再求出∠D＝110°，根据四边形的内角和定理解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝110°，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝70°，
∵∠ABE是四边形ABCD的外角，
∴∠ABE＝110°，
∴∠ABE＝∠D，
∴∠D＝110°，
∴∠A＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠B＝360°﹣70°﹣110°﹣110＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和多边形内角和定理，掌握边形内角和定理是解题的关键．
9．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝5，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移4个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移4个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移4个单位，得到长方形AnBn∁nDn（n＞2），则ABn长为（ ）
A．4n+6B．4n+5C．4n+4D．4n+3
【分析】每次平移4个单位，n次平移4n个单位，加上AB的长即为ABn的长．
【解答】解：每次平移4个单位，n次平移4n个单位，即AAn的长为4n，加上AB的长即为ABn的长．
ABn＝4n+AB＝4n+5，
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
10．（3分）如图为长方形纸带，AD∥BC，点E、F分别是直线AD、BC上一点，∠DEF为锐角，且不等于60°，将纸带沿EF折叠如图①，再由GF折叠如图②，若GP平分∠MGF交直线EF于点P，若∠DEF＝α，则∠GPE的度数为（ ）
A．αB．2αC．3αD．4α
【分析】由长方形的对边平行，得到∠BFE＝∠DEF＝α，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2α，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝2α，由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2α，由角平分线的定义得到∠PGF＝α，再根据三角形外角的性质得到∠GPF．
【解答】解：由折叠可得∠GEF＝∠DEF，
∵长方形的对边平行，
∴∠BFE＝∠DEF＝α，
∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2α，
∴∠FGD′＝∠EGB＝2α，
由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2α，
∵GP平分∠MGF，
∴∠PGF＝α，
∴∠GPF＝∠PGF+∠BFE＝2α．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，翻转变换的性质，熟记给性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）一个n边形的内角和等于720°，则n＝ 6 ．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
【解答】解：依题意有：
（n﹣2）•180°＝720°，
解得n＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
12．（3分）已知2x＝3，2y＝4，则2x﹣y＝ ．
【分析】根据同底数幂的除法法则进行解题即可．
【解答】解：2x﹣y＝2x÷2y＝3÷4＝．
故答案为：．
【点评】本题考查同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，①∠2＝∠3；②∠1＝∠4；③∠B＝∠D；④∠1+∠2+∠B＝180°．以上条件能得出AB∥CD的是 ② ．
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠2＝∠3，
∴AD∥BC，
故①不符合题意；
∵∠1＝∠4，
∴AB∥CD，
故②符合题意；
由∠B＝∠D，不能推出AB∥CD，
故③不符合题意；
∵∠1+∠2+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
故④不符合题意；
故答案为：②．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
14．（3分）当x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值是 ±10 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵x2+kx+25＝x2+kx+52，
∴kx＝±2•x•5，
解得k＝±10．
故答案为：±10．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
15．（3分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ 7 ．
【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2＝9﹣2＝7．
故答案为：7
【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝240°，则∠P＝ 30 °．
【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝120°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝240°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝120°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝150°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．
17．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AC中点，EF⊥BC，DG⊥AC，垂足为F、G，若△ABC周长为41，AB＝AC，AC＝10，EF＝4，则DG的长为 6.4 ．
【分析】先求出AB、BC的长，即可求出CD、CE的长，再根据三角形面积公式计算即可求出DG的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AC＝10，
∴AB＝15，
∵△ABC周长为41，
∴BC＝41﹣AB﹣AC＝41﹣15﹣10＝16，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝8，
∵E是AC中点，
∴CE＝AE＝5，
∵EF⊥BC，DG⊥AC，
∴，
∵EF＝4，
∴8×4＝5DG，
解得DG＝6.4，
故答案为：6.4．
【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
18．（3分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°，若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB＝ 10°或20°或40°或110° ．
【分析】分为四种情况，一是点P1在点B右侧，△ABP1是“准直角三角形”，且2∠BAP1+∠AP1B＝90°；二是点P2在点B右侧，△ABP2是“准直角三角形”，且2∠AP2B+∠BAP2＝90°；三是点P3在点B右侧，△ABP3是“准直角三角形”，且2∠BAP3+∠ABP3＝90°；四是点P4在点B右侧，△ABP4是“准直角三角形”，且2∠AP4B+∠ABP4＝90°，画出图形，分别求出∠AP1B、∠AP2B、∠AP3B、∠AP4B的度数即可．
【解答】解：如图，若点P1在点B右侧，△ABP1是“准直角三角形”，且2∠BAP1+∠AP1B＝90°，
∵∠BAP1+∠AP1B＝∠ABC＝50°，
∴∠BAP1+50°＝90°，
∴∠BAP1＝40°，
∴∠AP1B＝∠ABC﹣∠BAP1＝10°；
若点P2在点B右侧，△ABP2是“准直角三角形”，且2∠AP2B+∠BAP2＝90°，
∵∠AP2B+∠BAP2＝∠ABC＝50°，
∴∠AP2B+50°＝90°，
∴∠AP2B＝40°；
若点P3在点B右侧，△ABP3是“准直角三角形”，且2∠BAP3+∠ABP3＝90°，
∵∠ABP3＝∠ABC＝50°，
∴2∠BAP3+50°＝90°，
∴∠BAP3＝20°，
∴∠AP3B＝180°﹣∠ABP3﹣∠BAP3＝180°﹣50°﹣20°＝110°；
若点P4在点B右侧，△ABP4是“准直角三角形”，且2∠AP4B+∠ABP4＝90°，
∵∠ABP4＝∠ABC＝50°，
∴2∠AP4B+50°＝90°，
∴∠AP4B＝20°，
综上所述，∠APB的度数为10°或40°或110°或20°．
故答案为：10°或20°或40°或110°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）计算：
（1）；
（2）a5÷a4•a9+（2a2）5；
（3）2x（x﹣3）+（2x﹣1）（x﹣3）；
（4）．
【分析】（1）根据整数指数幂，零指数幂，负指数幂的定义计算即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后合并同类项；
（3）去括号，合并同类项即可；
（4）利用公式am×bm＝（ab）m计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+1﹣9
＝﹣9；
（2）原式＝a10+32a10
＝33a10；
（3）原式＝2x2﹣6x+2x2﹣6x﹣x+3
＝4x2﹣13x+3；
（4）原式＝﹣314×3﹣14
＝﹣1．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
20．（6分）因式分解：
（1）2x2y﹣8xy+8y；
（2）a4﹣16．
【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
（2）利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝2y（x2﹣4x+4）
＝2y（x﹣2）2；
（2）原式＝（a2+4）（a2﹣4）
＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21．（4分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（a﹣b）（b+a），其中a＝1，b＝2．
【分析】去括号，合并同类，再代入计算即可．
【解答】解：原式＝（4a2+4ab+b2）﹣（a2﹣b2）
＝4a2+4ab+b2﹣a2+b2
＝3a2+4ab+2b2，
当a＝1，b＝2 时，
原式＝3×1+4×1×2+2×4＝19．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
22．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．将△ABC经过一次平移得到△DEF，点D、E、F分别是A、B、C的对应点．
（1）画出平移后的△DEF；
（2）利用格点图画出△DEF中DE边上的高FH；
（3）在格点上找一点P（不与B点重合），使△PAC的面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点P共 11 个；
（4）平移过程中，线段AC扫过的图形面积是 12 ．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据三角形的高的定义画图即可．
（3）结合平行线的性质，过点B作AC的平行线，所经过的格点均为满足题意的点P．在BA的延长线上取点P，使PA＝AB＝3，过点P作AC的平行线，所经过的格点均为满足题意的点P，即可得出答案．
（4）平移过程中，线段AC扫过的图形面积是四边形ACFD的面积，利用割补法计算即可．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求．
（2）如图，FH即为所求．
（3）如图，过点B作AC的平行线，所经过的格点均为满足题意的点P，共8个；
在BA的延长线上取点P，使PA＝AB＝3，过点P作AC的平行线，所经过的格点均为满足题意的点P，共3个．
∴满足这样条件的点P共11个．
故答案为：11．
（4）平移过程中，线段AC扫过的图形面积是S四边形ACFD＝﹣﹣﹣＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、三角形的高、三角形的面积，熟练掌握平移的性质、三角形的高的定义、平行线的性质是解答本题的关键．
23．（6分）如图，AB∥CD，E是CD上一点，∠AEF＝62°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
【分析】先利用角平分线的定义可得∠AEF＝∠DEF＝62°，然后利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：∵EF平分∠AED
∴∠AEF＝∠DEF＝62°，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠DEF＝62°，
∴∠AFE的度数为62°．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
24．（8分）如图，AD是△ABC的高，点E、F在AB、AC上，DE∥AB，∠BAC＝90°，∠C＝40°．
（1）求∠CDE的度数；
（2）若∠BDF＝∠BAD，求证：DF∥AC．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B＝50°，再根据“两直线平行，同位角相等”求解即可；
（2）根据直角三角形的性质求出∠C＝∠BAD，等量代换求出∠C＝∠BDF，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．
【解答】（1）解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠B＝50°；
（2）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∵∠BDF＝∠BAD，
∴∠C＝∠BDF，
∴DF∥AC．
【点评】此题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质，熟练运用三角形内角和定理、平行线的判定与性质是解题的关键．
25．（8分）阅读以下材料：
我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．观察可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的，则称x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式x2+6x+4变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于x的多项式x2﹣kx+4关于x＝3对称，则k＝ 6 ；
（3）代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64）的对称轴是直线x＝ ．
【分析】（1）先将多项式进行变形，再根据题目中的对称轴的定义求解即可；
（2）先将多项式进行变形，即x2﹣kx+4＝（x﹣）2+4﹣，且关于x＝3对称，再根据题目中的对称轴的定义求解即可；
（3）先将代数式进行变形，即代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64）＝[（x﹣）2﹣]2，再根据题目中的对称轴的定义求解即可．
【解答】解：（1）x2+6x+4
＝x2+6x+9﹣9+4
＝（x+3）2﹣5；
∴对称轴为x＝﹣3．
（2）∵x2﹣kx+4＝（x﹣）2+4﹣，且关于x＝3对称，
∴x＝＝3，
∴k＝6，
故答案为：6．
（3）∵代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64）
＝（x+1）2（x﹣8）2
＝[（x+1）（x﹣8）]2
＝（x2﹣7x﹣8）2
＝[（x﹣）2﹣]2，
∴原式的对称轴是直线x＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是配方法的应用和轴对称的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
26．（10分）如图将△ABC沿线段BC翻折至△FBC处，延长AC、BD（点F在∠EAD内部）．
请尝试探究：
（1）请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为 ∠ECF+∠DBF＝2∠A ；
（2）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．点F在∠A内部（如图②），证明：CG∥BH．
（3）若射线CG、BH分别是∠ECF，∠DBF的n等分线（n为大于2的正整数），即∠GCF＝∠ECF，∠HBF＝∠DBF，射线CG和射线BH相交于点O．请直接写出∠A与∠BOC的数量关系： ∠BOC＝∠A ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和翻折的性质即可得到∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系；
（2）根据翻折的性质和角平分线定义推出∠BCG＝90°，∠CBH＝90°，再根据同旁内角互补即可证明出结论；
（3）利用已知条件推出∠HBF+∠GCF＝∠A，再利用三角形内角和定理和（1）的结论即可得到A与∠BOC的数量关系．
【解答】解：（1））∵将△ABC沿线段BC翻折至△FBC处，
∴∠ACB＝∠BCF，∠ABC＝∠CBF，
∵∠ECF＝180°﹣∠ACF＝180°﹣2∠ACB，
∠DBF＝180°﹣∠ABF＝180°﹣2∠ABC，
∴∠ECF+∠DBF＝180°﹣2∠ACB+180°﹣2∠ABC＝360°﹣2（∠ACB+∠ABC）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，
故答案为：∠ECF+∠DBF＝2∠A；
（2）∵将△ABC沿线段BC翻折至△FBC处，
∴∠ACB＝∠BCF，
∵∠ACB+∠BCF＝∠ACF，
∴∠BCF＝∠ACF，
∵CG平分∠ECF，
∴∠GCF＝∠ECF，
∴∠BCG＝∠BCF+∠GCF＝∠ACF+∠ECF＝（∠ACF+∠ECF）＝90°，
同理：∠CBH＝90°，
∴∠BCG+∠CBH＝180°，
∴CG∥BH；
（3）∵∠GCF＝∠ECF，∠HBF＝∠DBF，
∴∠ECF＝n∠GCF，∠DBF＝n∠HBF，
∴∠ECF+∠DBF＝n∠HBF+n∠GCF＝n（∠HBF+∠GCF），
由（1）知∠ECF+∠DBF＝2∠A，
∴n（∠HBF+∠GCF）＝2∠A，
∴∠HBF+∠GCF＝∠A，
∵∠BOC＝180°﹣（∠BCO+∠CBO）
＝180°﹣（∠BCF+∠GCF+∠CBF+∠HBF）
＝180°﹣（∠BCF+∠CBF）﹣（∠GCF+∠HBF）
＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）﹣∠A
＝∠A﹣∠A＝∠A，
故答案为：∠BOC＝∠A．
【点评】本题考查翻折变换，平行线的判定，三角形内角和定理，能灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．