湖南省常德市2024届高三下学期高考模拟数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省常德市2024届高三下学期高考模拟数学试卷（Word版附答案），共9页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，其中且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．1D．
3．平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（ ）
A．B．C．D．
5．若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸
7．已知等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的第5项为（ ）
A．B．C．或1D．或1
8．如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则与均为实数
B．若与均为实数，则
C．若均为纯虚数，则为实数
D．若为实数，则均为纯虚数
10．已知非零函数的定义域为为奇函数，且，则（ ）
A．
B．4是函数的一个周期
C．
D．在区间上至少有1012个零点
11．已知，，其中，则的取值可以是（ ）
A．eB．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中常数项为______．
13．在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为______．
14．已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）的内角的对边分别为，满足．
（1）求证：；
（2）求的最小值．
16．（15分）如图1，菱形的边长为，，将其沿折叠形成如图2所示的三棱锥．
图1 图2
（1）证明：三棱锥中，；
（2）当点在平面的投影为的重心时，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，椭圆上的点到的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与相交于两点，直线的倾斜角为锐角．若点到直线与的距离为，求直线与直线的斜率之和．
18．（17分）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立．
（1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
19．（17分）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．
（1）运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．
（2）已知函数，，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．
（3）证明：当，时，有．
2024数学参考答案
1．A2．C3．D4．A
5．C6．C7．B8．B
9．ABC10．ABD11．CD
12．1613．16514．或
15．（1）由知，
即，
，即，得证．
（2）由（1）知，
当且仅当时，取最小值
16．（1）
记的中点为，由菱形的性质，有，，所以，．
而和在平面内交于点，故垂直于平面．
又因为在平面内，所以．
（2）设的重心为点，则垂直于平面．
这表明直线与平面所成角等于，故所求正弦值即为的值．
由于，，故
，．
从而，故
．
所以直线与平面所成角的正弦值是．
17．（1）由题意知，
得，由，
得，化简得，
所以，
又因为椭圆过点，
所以，
所以，解得．
所以，，即的方程为．
（2）设直线的方程为．
由点到直线与的距离为，
得，解得．
联立，
整理得．
设，则，，
所以直线与直线的斜率的和为
，
18．（1）①记“甲获得第四名”为事件，则；
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，
则的所有可能取值为，
连败两局：，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
；
故的分布列如下：
故数学期望；
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率一样．
19．（1）令，则，
令函数，则，，
显然在上连续，且在上可导，由罗尔定理，存在，使得，
即，所以．
（2）依题意，，，
不妨令，则恒成立，
由（1）得，，于是，即，
因此，令，
求导得，函数在上单调递增，则，
而函数在上单调递增，其值域为，
则，所以实数的取值范围是．
（3）令函数，，显然函数在上可导，
由（1），存在，使得，
又，则，
因此，而，，则，即，
所以．
2
3
4
0.16
0.552
0.288