江西省吉安市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中，是负数的是（ ）
A. 5B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据小于零的数是负数，可得答案；本题考查了正数和负数，掌握负数的定义是解题的关键．
【详解】根据小于零的数是负数，可得
为负数，
5，均为正数
0既不是正数也不是负数
故选：D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
故选：D．
3. 在长春市“暖房子工程”实施过程中，某工程队做了面积为632000的外墙保暖，632000这个数用科学记数法表示为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此632000=6．32×．
故选B
考点：科学记数法
4. 如图所示几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体的俯视图．熟练掌握从上往下看到的是俯视图是解题的关键．
根据从上往下看到的是俯视图判断作答即可．
【详解】解：由题意知，俯视图如下：
故选：A．
5. 若．则的值是（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可．
【详解】解：∵
∴，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式变形为．
6. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，
∴，故②正确；
∵时，，
∴，
∴，即，故③正确；
由函数图象可知，当时，，故④正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 分解因式：______．
【答案】b(a+7)(a−7)
【解析】
分析】先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：a2b−49b=b(a2−49)=b(a+7)(a−7) ．
故答案为：b(a+7)(a−7)．
【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式．
8. 若与互为相反数，则的值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出等式，再利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知：若是一元二次方程的两个实数根，则，是解本题的关键．
10. 如图，为的中位线，且平分交于点F．若，，则_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据角平分线的性质以及平行线的性质求出，根据等角对等边的性质可得，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，是的中位线，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及等角对等边的性质，熟记性质以及定理，求出是解题的关键．
11. 如图，内接，，，则的长是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧长．熟练掌握圆周角定理，勾股定理，弧长是解题的关键．
如图，连接，则，由，可得，由勾股定理得，，可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，则，

∵，
∴，
由勾股定理得，，
解得，
∴，
故答案：．
12. 如图，已知的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，请写出所有符合条件的点P的坐标为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，二次函数的综合．熟练掌握切线的性质，二次函数的综合是解题的关键．
由切线的性质可知，当与x轴相切时，，分当时，当时，求解对应的的值，进而可得符合条件的点P的坐标．
【详解】解：由切线的性质可知，当与x轴相切时，，
当时，，
解得，或，
∴或；
当时，，
解得，，
∴；
综上所述，点P的坐标为或或；
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.
（1）计算：；
（2）如图，，，．求证：．
【答案】（1）8 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方，算术平方根，绝对值，全等三角形的判定与性质．熟练掌握有理数的乘方，算术平方根，绝对值，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先计算乘方、算术平方根，绝对值，然后进行加减运算即可；
（2）证明，进而结论得证．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴．
14. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键．
先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
由，
解得，，
由，
解得，，
∴不等式组的解集为；
解集在数轴上表示如下；
15. 王强患有“红绿”色盲（分不清红色、绿色），星期天下午，晾晒袜子的架上有王强的2只红色运动袜、2只绿色运动袜（运动袜除颜色外其余均相同），王强要拿运动袜穿上去打篮球．
（1）王强从中任意拿一只运动袜是红色运动袜的事件是______事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；
（2）求王强从中任意拿两只运动袜穿上，是同一种颜色运动袜的概率．
【答案】（1）随机；（2）
【解析】
【分析】（1）根据事件发生的可能性可判断为随机事件；
（2）列表表示出所有可能，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：(1)王强从中任意拿一只运动袜是红色运动袜的事件可能发生也可能不发生，故是随机事件；
故答案为：随机．
(2) 列表得：
王强从中任意拿两只运动袜，一共有12种可能，是同一种颜色运动袜有4种可能，
王强从中任意拿两只运动袜穿上，是同一种颜色运动袜的概率为：．
【点睛】本题考查了随机事件和列举法求概率，解题关键是熟练运用列表法列出所有可能，再准确应用概率公式进行计算．
16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点；圆经过，，三个格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作出圆心；
（2）在图2中，在劣弧上找一点，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了尺规作图—作角平分线，格点作图，圆周角定理，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由表格可知，，故圆心在上，利用网格找到的中点即可．
（2）使，根据等弧所对的圆周角相等，利用网格找到劣弧的中点即可．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求
【小问2详解】
解：如图，点即为所求
17. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）节后每千克A粽子的进价为10元
（2）节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【解析】
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【小问1详解】
解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
【小问2详解】
解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，C．

（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标．
（2）若点F是边上的一点，且为等腰三角形，求直线的表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据点B的坐标为求出D点坐标，代入反比例函数即可求出k的值，进而得出解析式，再把代入求出y的值即可得出E点坐标；
（2）根据为等腰三角形得出的长，进而得出F点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可．
【小问1详解】
点B的坐标为，点D是的中点，
，
点D在反比例函数上，
，
解得：，
反比例函数的解析式为．
四边形是矩形，点B的坐标为，
当时，，
点坐标为；
【小问2详解】
为等腰三角形，
，
点B的坐标为，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数上点的坐标特点，矩形的性质，一次函数的性质等知识是解题的关键．
19. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8．tan37°≈0.75）
【答案】（1）连接杆DE的长度为3cm（2）这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm
【解析】
【分析】（1）作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理即可求得DE；（2）作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB的长，从而可求得 点E滑动的距离．
【详解】（1）如图①，作DH⊥BE于H，
在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，
∴= sin37°，＝cs37°，
∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cs37°＝5×0.8＝4（cm）．
∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，
∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），
∴DE＝
答：连接杆DE的长度为 cm．
（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，
∵∠ABC＝127°，
∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，
在Rt△DBH中，＝sin37°＝0.6，
∴BH＝3cm，
∴DH＝4cm，
在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，
∴（EB+3）2+16＝90，
∴EB＝（）（cm），
∴点E滑动的距离为：15﹣（）﹣2＝（16﹣）（cm）．
答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键.
20. 如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明；
（2）连接，，根据勾股定理得到的长，根据等弧对等弦得到，根据圆内接四边形对角互补得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，

∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∵为半径，
∴为切线；
【小问2详解】
解：连接，，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∵D是中点，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表，学生借阅图书的次数统计表
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）______，______．
（2）该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数．
（4）若学校共有名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
【答案】（1），
（2）2，2 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）由题意知，总人数为人，根据，，计算求解即可；
（2）由题意知，根据中位数是第位数的平均数，众数的定义求解作答即可；
（3）根据，计算求解即可；
（4）根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，总人数为（人），
∴，，
解得，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由题意知，中位数是第位数的平均数，
∵，
∴中位数为，
由题意知，众数为2，
故答案为：2，2；
【小问3详解】
解：由题意知，，
∴“3次”所对应扇形的圆心角的度数为；
【小问4详解】
解：∵（人），
∴估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为人．
【点睛】本题考查了频数分布表，扇形统计图，中位数，众数，圆心角，用样本估计总体等知识．熟练掌握频数分布表，扇形统计图，中位数，众数，圆心角，用样本估计总体是解题的关键．
22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M作轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值．
【答案】（1）对称轴为直线，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入，可求，则，然后作答即可；
（2）如图1，连接，与对称轴交点为，由两点之间线段最短，可知点即为所求，当时，，可求或，则，待定系数法求
直线的解析式为，当时，，进而可得；
（3）如图2，设，则，，然后根据二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：将代入得，，
解得，，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：如图1，连接，与对称轴交点为，由两点之间线段最短，可知点即为所求，
当时，，
解得，或，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
【小问3详解】
解：如图2，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，一次函数解析式，二次函数与线段综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，一次函数解析式，二次函数与线段综合是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23. 小新同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E，交于点G，过点E，G分别作、的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．
（1）【探究发现】如图1，
①与的大小关系：______；
②与的大小和位置关系：______．
（2）【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述①②中的关系还存在吗？请说明理由．
（3）【思维拓展】如图3，若，则：
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为______；
②在旋转过程中，的最大值是______．
【答案】（1）①；②，
（2）①②中的关系存在，理由见解析
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）①如图1，作于，则四边形是矩形，证明，由勾股定理得，，②由①可知，，由题意知，，然后作答即可；
（2）如图2，连接，延长交于，交于，证明，则，即；可知①的关系存在；证明，可得，；可知②中的关系存在；
（3）①如图3，连接，同理（2）可知，，当点B，A，G三点共线，且在的右侧时，，可求，同理，当点B，A，G三点共线，且在上时，可求；②由题意知，，当最大时，最大，题意知，的最大值为6，进而可求．
【小问1详解】
①解：如图1，作于，则四边形是矩形，
∴，，
∵正方形、，
∴，，
∴，即，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：；
②解：由①可知，，
由题意知，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：①②中的关系存在，理由如下；
如图2，连接，延长交于，交于，
∵正方形、，
∴，，，，
∴，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即；
∴①的关系存在；
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，即；
∴②中的关系存在；
【小问3详解】
①解：如图3，连接，
同理（2）可知，，
当点B，A，G三点共线，且在的右侧时，，
∴，
同理，当点B，A，G三点共线，且在上时，，
∴，
综上所述，，
故答案为：；
②解：由题意知，，
∴当最大时，最大，
由题意知，的最大值为6，
∴的最大值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正弦，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，求一点到圆上点距离的最值等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正弦，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理是解题的关键．

红1
红2
绿1
绿2
红1
----------
红2红1
绿1红1
绿2红1
红2
红1红2
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绿1红2
绿2红2
绿1
红1绿1
红2绿1
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绿2绿1
绿2
红1绿2
红2绿2
绿1绿2
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借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
a
3