四川省成都市成华区某校2023-2024学年高三下学期“三诊”数学（理）试题

这是一份四川省成都市成华区某校2023-2024学年高三下学期“三诊”数学（理）试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合,则（ ）
A.B.C.D.
2.某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥的侧面积为( )
A.B.C.D.
3.若角的终边位于第二象限,且,则( )
A.B.C.D.
4.若复数满足,则|z|的最小值为( )
A.0B.1C.D.2
5.同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功,它是利用宇宙射线在大气中产生的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代,当动植物被埋地下后,体内的碳循环就会停止,只进行放射性衰变.经研究发现,动植物死亡后的时间(单位:年)与死亡年后的含量满足关系式(其中动植物体内初始的含量为).现在某古代祭祀坑中检测出一样本中的含量为原来的,可以推测该样本距今约(参考数据:( )
A.2750年B.2865年C.3050年D.3125年
6.在中,“”是“是钝角”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.2023世界科幻大会在成都举办,主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务,则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有( )
A.6种B.18种C.24种D.36种
8.已知一样本数据(如茎叶图所示)的中位数为12,若均小于4,则该样本的方差最小时,的值分别为（ ）
A.1,3B.11,13C.2,2D.12,12
9.记为等比数列的前项和,若,则( ).
A.-85B.85C.120D.-120
10.已知是双曲线的左,右焦点,点是双曲线上的点,点是内切圆的圆心,若,则双曲线的渐近线为( )
A.B.C.D.
11.已知三棱锥的顶点都在球的表面上,若球的表面积为,,则当三棱锥的体积最大时,( )
A.4B.C.5D.
12.已知,且,其中是自然对数的底数,则( )
A.B.C.D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若抛物线过点,则该抛物线的焦点为____________.
14.曲线在点处的切线方程为____________.
15.在中,,则BC边上的高为____________.
16.如图,在平行四边形ABCD中,,且EF交AC于点,现沿折痕AC将折起,直至满足条件,此时____________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在中,,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求
(1)的大小;
(2)的面积.
条件①:;条件②:.
18．（本小题满分12分）
灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示．以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量．
(1)求的分布列;
(2)若满足的的最小值为,求;
(3)在灯带安全使用寿命期内,以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据,比较与哪种方案更优.
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱台中,在AC边上,平面平面,.
(1)证明:;
(2)若且的面积为,求CF与平面ABD所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的长轴为双曲线的实轴,且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点是椭圆上异于点的两个不同的点,直线PA与PB的斜率均存在,分别记为,,且,当坐标原点到直线AB的距离最大时,求直线AB的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数其中实数.
(1)求证:函数在(1,处的切线恒过定点,并求出该定点的坐标;
(2)若函数有两个零点,且,求的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地如图,若场地边界曲线分别由两段同心圆弧和两条线段四部分组成,在极坐标系Ox中,三点共线.,点在半径为1的圆上.
(1)分别写出组成边界曲线的两段圆弧和两条线段的极坐标方程;
(2)若需设置一个距边界曲线距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域,如图,求警示区域所围的最小面积.
注:.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)当时,求不等式;
(2)对任意,关于的不等式总有解,求实数的取值范围.
高三三诊模拟考试数理
参考答案
一、选择题
CBDBB CDCAA DB
二、填空题
13.; 14.； 15. 16..
三、解答题
17.选择条件①:,
(1)由,得,
所以;.………………………………………………4分
又,所以;…………………………………………………………………6分
（2）由正弦定理知,所以;..……………………………8分
所以,.…10分
所以的面积为.……………12分
选择条件②:.
(1)由正弦定理得,所以;
又,所以,所以;……………………………..4分
又,所以;………………………………………………………………………6分
(2)由正弦定理知,所以;.……………………………………….8分
所以,……10分
所以的面积为.………………12分
18.(1)设表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量,
则,
的取值范围是,……………………………………………1分
…………………………………………………………5分
的分布列为
……………………………………………………………………………………分
(2)由(1)可知,故…………………分
(3)由(2)可知,在灯带安全使用寿命期内,
当时,设购买替换灯珠所需总费用为元,
当时,设购买替换灯珠所需总费用为元,
则,.…………………10分
,……………………………分
,故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据,比的方案更优..…12分
19.(1)证明:,
由余弦定理得,解得,
所以,所以,
又因为平面平面ABC,平面平面平面ACFD,
所以平面ABC,…………………………………………………………………………………2分
因为平面ABC,所以,
又因为平面平面BDH,所以平面分
因为平面BDH,所以,分
又因为,所以;……分
(2)在Rt中,,
所以,所以,
因为,又,解得,
则,所以,…………………………………………………………7分
由(1)知平面ABC,则以为原点,的方向为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
所以,
设平面ABD法向量为,则,
令,得平面ABD的一个法向量为,…………………………10分
设CF与平面ABD所成角为,则,
所以CF与平面ABD所成角的正弦值为.…………………………………………12分
20.(1)由题意,知解得,所以椭圆的标准方程为.……………4分
(2)①当直线AB的斜率存在时,设其方程为,
联立,得,
由韦达定理得,所以,…………………………………6分
因为,
所以,即,所以直线AB的方程为,即,
由,得,故直线AB恒过点;………………………………9分
②当直线AB的斜率不存在时,设,则,
所以,解得,
所以此时直线AB也过点,……………………………………………………10分
因为点在椭圆的内部,所以当直线AB垂直于OM时,坐标原点到直线的距离最大,此时直线AB的方程为..…………………………………………………………12分
21.(1)证明:因为,所以,所以,又,
所以切线方程为,即,
则当时,所以切线恒过定点;.………………………………………………4分
(2)解:因为的定义域为,所以,………………5分
当时,恒成立,所以在上单调递增,故不可能有两个零点,故舍去;
当肘,令,解得,令,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减,所以,
要使有两个零点,则,解得,…………………….7分
又，
所以当时,在和上各有一个零点且,
所以,由单调性知,当时,,当时,因为,所以,即,
所以,而,所以,所以,令,则,所以在上单调递增,
所以,所以.…………………………………….12分
22.(1)由题以为原点,的垂直平分线为极轴建立极坐标系,
线段;
线段;
弧;
弧.………………………………………………6分
（2）求警示区域最小值即让内界线到距离恰好为1,矩形长设为（包括弧长半径、圆半径、两边距距离);
宽为.
则.…………………………………………10分
23.(1)由已知,不等式即为,
则或或
解得或或,
故不等式的解集为.…………………………………5分
(2)对任意.关于的不等式总有解,
而,当且仅当,即时取得最小值.
又（当且仅当时取等号）,
故只需,解得,即实数的取值范围为分
10
11
12
13
14
15
16
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04