鹤壁市第一中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试卷(含答案)

这是一份鹤壁市第一中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知D是所在平面内的一点,且,设,则( ).
A.B.C.3D.
2．若复数z满足,则复数z的虚部为( )
A.B.C.D.
3．在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，则正四棱锥的外接球的体积为( )
A.B.C.D.
4．如图，已知正方体，M，N分别是，的中点，则( )
A.直线与直线垂直，直线平面ABCD
B.直线与直线平行，直线平面
C.直线与直线相交，直线平面ABCD
D.直线与直线异面，直线平面
5．已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为,则( )
A.,B.,C.,D.,
6．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查,随机抽取了50名学生的体重(kg),将所得数据整理后,画出了频率分布直方图.如图所示,体重在内适合跑步训练,体重在内适合跳远训练,体重在内适合投掷相关方面训练,估计该校初三学生适合参加跑步,跳远,投掷三项训练的集训人数之比为( )
A.4:3:1B.5:3:1C.5:3:2D.3:2:1
7．一个不透明袋子中装有5个球,其中有3个红球,2个白球,这些球除颜色外完全相同.若一次从中摸出2个球,则至少有1个红球的概率为( )
A.B.C.D.
8．某网站登录密码由四位数字组成,某同学将四个数字0,3,2,5,编排了一个顺序作为密码.由于长时间未登录该网站,他忘记了密码.若登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个密码,则该同学不能顺利登录的概率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的有( )
A.B.
C.D.
10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为最尖,清代称为攒尖,通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.下面以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值近似为,侧棱长近似为米,则下列结论正确的是( ).
A.正四棱锥的底面边长近似为3米
B.正四棱锥的高近似为米
C.正四棱锥的侧面积近似为平方米
D.正四棱锥的体积近似为立方米
11．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI越小,表明空气质量越好,下表是空气质量指数与空气质量的对应关系,如图是经整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图,则下列叙述正确的是( )
A.该市2020年2月的空气质量为优的频率为0.8
B.该市2020年2月的空气质量为优的天数多于2019年2月的空气质量为优的天数
C.该市2020年2月空气质量指数的中位数大于2019年2月空气质量指数的中位数
D.该市2020年2月空气质量指数的方差不小于2019年2月空气质量指数的方差
12．以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.甲,乙两人玩剪刀,石头,布的游戏,则玩一局甲不输的概率是
B.从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务,则选中1名男同学和1名女同学的概率为
C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是
D.从3件正品,1件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是
三、填空题
13．复数,满足:,,,则______.
14．如图,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,H为EF的中点,沿AE,EF,FA将正方形折起,使B,C,D重合于点O,构成四面体,则在四面体中,下列说法不正确的序号是______________.
①平面EOF;
②平面EOF;
③;
④;
⑤平面平面AOF.
15．某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的分位数为______.
16．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
四、解答题
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求b.
18．如图，已知四棱柱的底面为菱形，，，E为AC上一点，过和点E的平面分别交BC，CD于点M，N.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，，求四棱锥的体积.
19．如图,是棱长为4的正方体,E是的中点.
(1)证明:;
(2)求三棱锥的体积.
20．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
（1）求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图.
（2）估计这次考试的及格率(60分及以上为及格),众数和中位数.(保留整数)
21．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
22．交通指数是指交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记交通指数为T,其范围为,分别有五个级别:,畅通;,基本畅通;,轻度拥堵;,中度拥堵;,严重拥堵.在晚高峰时段,从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
（1）求出轻度拥堵,中度拥堵,严重拥堵的路段的个数.
（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵,中度拥堵,严重拥堵的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数.
（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意作图,如图所示,
因为,所以C为BD的中点,
所以,因为,
所以由平面向量基本定理可得,,所以,故选D.
2．答案：B
解析：由题意,得,所以,
则复数z的虚部为.故选B.
3．答案：C
解析：
如图所示，设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，因为在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，所以，在中，，即，解得，所以外接球的体积为，故选：C
4．答案：A
解析：方法一：连接，则知点M在上，且.因为平面，所以，因为，所以平面，所以与异面且垂直.在中，由中位线定理可得，所以平面ABCD.易知直线AB与平面所成角为，所以MN与平面不垂直.故选A.
方法二：以点D为原点，以向量，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，，所以，，所以，，，所以，所以.又由题图知直线与是异面直线，所以与异面且垂直.平面ABCD的一个法向量为，所以，所以平面ABCD.设直线MN与平面所成的角为，因为平面的一个法向量为，所以，所以直线MN与平面不垂直.故选A.
5．答案：A
解析：某7个数的平均数为4,方差为2,则这8个数的平均数为,方差为.故选A.
6．答案：B
解析：体重在内的频率为,体重在内的频率为,体重在内的频率为,
,
可估计该校初三学生适合参加跑步,跳远,投掷三项训练的集训人数之比为5:3:1.故选B.
7．答案：A
解析：记3个红球分别为A,B,C,2个白球分别为a,b.若一次摸出2个球,则所有可能的结果为AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10种.其中至少有1个红球的结果为AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,共9种,因此所求概率.
8．答案：B
解析：用事件A表示“输入由0,3,2,5组成的一个四位数字,但不是密码”,由于事件A比较复杂,可考虑它的对立事件,即“输入由0,3,2,5组成的一个四位数字,恰是密码”,显然它只有一种结果,四个数字0,3,2,5随机编排顺序,所有可能结果可用树状图表示,如图:
从树状图可以看出,将四个数字0,3,2,5随机编排顺序,共有24种可能的结果,即样本空间共含有24个样本点,且24个样本点出现的结果是等可能的,因此可以用古典概型来解决,由,得.因此,随机输入由0,3,2,5组成的一个四位数字,但不是密码,即该同学不能顺利登录的概率为.故选B.
9．答案：BC
解析：A选项，，故A错误；B选项，，，由正六边形的性质知，，故B正确；C选项，设正六边形的边长为1，则，，
，式子显然成立，故C正确；D选项，设正六边形的边长为1，，，故D错误.故选BC.
10．答案：BD
解析：如图,在正四棱锥中,O为正方形ABCD的中心,则平面ABCD,则为侧棱与底面所成的角,且.
设底面边长为2a,则,.
在中,,所以米,则正四棱雉的底面边长为6米,高为米,的高为(米),所以侧面积(平方米),体积(立方米),故选BD.
11．答案：AB
解析：对于A选项,由题图中数据可得,该市2020年2月的空气质量为优的频率为,故A正确.对于B选项,由题图中数据可得,该市2020年2月空气质量为优的天数明显多于2019年2月空气质量为优的天数(或计算得2020年2月的空气质量为优的频率为0.8,2019年2月的空气质量为优的频率仅为),故B正确.对于C选项,因为2020年2月的空气质量为优的频率为0.8,所以2020年2月空气质量指数的中位数必然不超过50,而2019年2月的空气质量为优的频率为0.325,故2019年2月空气质量指数的中位数必然大于50,故C错误.对于D选项,由题图可得,2020年2月的空气质量指数主要集中在内,而2019年2月空气质量指数分布较分散,故该市2020年2月空气质量指数的方差小于2019年2月空气质量指数的方差,故D错误.故选AB.
12．答案：BCD
解析：对于A,甲,乙两人玩剪刀,石头,布的游戏,共有(种)情形,结合树状图,可得玩一局甲不输,共有(种)情形,所以玩一局甲不输的概率是,所以A不正确;
对于B,设男同学为a,2名女同学分别为A,B,则从这3人中任选2人包含,,,共3种选法,其中选中1名男同学和1名女同学包含,,有2种选法,所以选中1名男同学和1名女同学的概率为,所以B正确;
对于C,将一个质地均匀的正方体骰子,先后抛掷2次,共有36种不同的结果,其中点数和为6的结果有,,,,,共有5种,所以点数之和是6的概率是,所以C正确;
对于D,从3件正品,1件次品中随机取出2件,一共有(种)情况,取出的产品全是正品包含(种)情况,则取出的产品全是正品的概率是,所以D正确.故选BCD.
13．答案：5
解析：设复数,,a,b,c,,,,
由得,由得,由得,因此,
所以.
故答案为:5.
14．答案：②
解析：依题意,得,,,平面EOF,故①正确,②错误.
由①知,平面EOF,又平面EOF,,故③正确.
由①可得.又,,平面AOF.又平面AOF,,故④正确.
由④及平面AOE,得平面平面AOF,故⑤正确.
故答案为②.
15．答案：122
解析：根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为，成绩在110分以下的学生所占比例为，因此分位数一定位于内，由，故可估计该校学生成绩的分位数为122.
16．答案：
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，即.
又，所以.
由，得或（舍去），
所以，
则.
（2）由，及正弦定理，知，
所以，得.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：四边形ABCD为菱形，.
又，，.
又，平面.
平面ABCD，平面平面，.
，，平面，
平面平面.
（2），，，
.
在中，过点O作交于点F.
，，
.
由（1）知平面平面.
，平面.
又平面，
由等体积法得
.
19．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：连接BD.
四边形ABCD是正方形,
.
在正方体中,
平面ABCD,
又平面ABCD,
.
又,平面,平面,
平面.
又平面,
.
(2)设AC与BD交于点F,连接,.
在正方体中,.
又E,F分别是,BD的中点,
,
四边形是平行四边形,
.
过平面,平面,
平面.
又正方体的棱长为4,
.
20．答案：（1）第四组的频率0.3,频率直方图见解析
（2）及格率75%;众数75,中位数约为73.3
解析：（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:,
补全频率分布直方图如图所示:
（2）依题意,60及以上的分数所在的第三,四,五,六组频率和为,所以抽样学生成绩的及格率是75%,
众数为最高小矩形底边的中点,是75;
由,知中位数在内,
设中位数为x,则,
解得;所以估计中位数是73.3分.
21．答案：(1)0.4
(2)20
(3)
解析：(1)由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：
故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，
故样本中分数小于40的频率为：0.05，
则分数在区间内的频率为：，
估计总体中分数在区间内的人数为人，
(3)样本中分数不小于70的频率为：0.6，
由于样本中分数不小于70的男女生人数相等.
故分数不小于70的男生的频率为：0.3，
由样本中有一半男生的分数不小于70，
故男生的频率为：0.6，则男生人数为，
即女生的频率为：0.4，则女生人数为，
所以总体中男生和女生人数的比例约为：.
22．答案：（1）轻度拥堵的路段有6个;中度拥堵的路段有9个;严重拥堵的路段有3个
（2）分别抽取的个数为2,3,1
（3）概率为
解析：（1）由频率分布直方图得,这20个交通路段中,
轻度拥堵的路段有(个),
中度拥堵的路段有(个),
严重拥堵的路段有(个).
（2）由（1）知,拥堵路段共有(个),
按分层抽样,从18个路段抽取6个,则抽取的三个级别路段的个数分别为,,,
即从交通指数在,,的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
（3）记抽取的2个轻度拥堵路段为,,抽取的3个中度拥堵路段为,,,
抽取的1个严重拥堵路段为,
从这6个路段中抽取2个路段,试验的样本空间为,
共15个样本点,其中至少有1个路段为轻度拥堵的包含的样本点有:
,,,,,,,,,共9个.
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.
空气质量指数(AQI)
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染