宁波市2024年初中学业水平考试数学模拟预测试卷（解析版）

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全卷分试题卷I、试题卷Ⅱ和答题卷。有三个大题，24个小题，满分为150分，考试时长为120分钟．
请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．
3． 答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满。
将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目
规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效。
4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示。
试题卷I
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．2024的倒数是（ ）
A．2024B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选C．
2. 第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，
数据216000用科学记数法表示为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把一个大于10的数记成的形式，其中，n为正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【详解】解：根据科学记数法的概念可得，
，
故选：A．
下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）

B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为．
故选：B．
某校为增强学生的爱国意识，特开展中国传统文化知识竞赛，九年级共30人参加竞赛
得分情况如下表所示，则这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．94分，96分B．95分，96分C．96分，96分D．96分，100分
【答案】B
【分析】根据中位数的定义和众数的定义分别求解即可．
【详解】解：由统计表得共有30个数据，第15、16个数据分别是94，96，
∴中位数是；
由统计表得数据96出现的次数最多，
∴众数为96．
故选：B．
6 . 化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可．
【详解】解：，
故选A．
7 . 年国庆节期间，小华和家人到西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）

A．15B．16C．17D．18
【答案】D
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故选D．
8 . 如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，
则∠OBC的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；
由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC．
【详解】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD为直径，
∵直径为10，
∴CD=10，
∵点C（0，5）和点O（0，0），
∴OC=5，
∴sin∠ODC= = ，
∴∠ODC=30°，
∴∠OBC=∠ODC=30°，
∴cs∠OBC=cs30°= ．
故选C．
9. 对于二次函数．下列说法不正确的是（ ）
A．对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点和两点
B．该函数图象与x轴必有交点
C．若，当时，y随x的增大而减小
D．若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么
【答案】D
【分析】将二次函数解析式进行变形可得该二次函数的图象经过和两点，则A、B正确；求出抛物线对称轴，根据，结合二次函数的性质可得C正确；求出时，，，可知该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点时，则D错误．
【详解】解：A、∵，
∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过和两点，故A正确；
B、∵该二次函数的图象过点，
∴该函数图象与x轴必有交点，故B正确；
C、∵二次函数的对称轴是直线，
∴若，则，该函数图象开口向下，
∴若，当时，y随x的增大而减小，故C正确；
D、∵，
∴当时，，，
∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么，故D错误；
故选：D．
10 . 三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），
利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，
图2也是一幅青朱出入图，设，，的面积分别为，，，
已知，，则大正方形的面积为（ ）

A．114B．117C．120D．126
【答案】B
【分析】根据图得，，结合图形得出，设，利用相似三角形得判定和性质得出，联立方程组求解，最后根据即可得出结果．
【详解】解：由图1得，在图2中，
，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴即，
解得：，
联立
整理得：，
联立得：，解得，
∴，
故选：B．
试题卷Ⅱ
二、填空题（每小题5分，共30分）
11. 把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】根据提取公因式法，运用平方差公式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 式子有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】直接利用二次根式的定义：被开方数大于等于零，分式有意义的条件：
分母不为零，分析得出答案．
【详解】∵式子有意义，
∴+1≥0，且-2≠0，
解得：≥-1且≠2．
故答案为：且．
13. 在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，
且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有 个．
【答案】10
【分析】设袋中共有x个球，再由袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为求出x的值即可．
【详解】解：设袋中共有x个球，
∵袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为，
∴，
解得x=10．
经检验，x=10是分式方程的解，且符合题意，
故答案为：10．
14. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是_______

【答案】米
【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，
从而可得米，然后在中，
利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故答案为：米
如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，
点A的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，
点、在轴上，，分别交轴于点、F，则阴影部分的面积为________

【答案】5
【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，
利用三角形的面积公式，结论可求．
【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0．
则OD＝a，OE＝．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为﹣．
∴OC＝．
∴BE＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝．
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝．
∴＝1．
＝4．
∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．
故答案为：5
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）2．（2），
【分析】（1）分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再合并即可.
（2）分别求出每个不等式的解集，并将其解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：


．
（2） 解：解不等式，
，
解得:．
解不等式，
，
解得：．
所以原不等式组的解集是：．
18. 在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．

在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，
再画出该三角形向右平移2个单位后的．
（2）将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可；
（2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，，即为所求作的三角形；

【小问2详解】
如图，即为所求作的三角形，

某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，
测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，
并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据统计图中的信息解答以下问题；
本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，
并把条形统计图补充完整；
依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，
则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，
现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，
请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】(1)40；36；见解析
(2)70；70；66.5
(3)280
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；
（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
（2）由条形统计图可知众数为：70
由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
（3）等级达到优秀的人数大约有（人）；
（4）画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为，连结．

(1)求的值．
(2)求的坐标．
(3)为轴上的动点，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把点代入抛物线解析式求解即可；
（2）把抛物线解析式化成顶点式即可求解；
（3）过点作轴，构造直角三角形，利用得到，分类讨论即可．
【详解】（1）解：把点代入得，
解得．
（2）解：把代入函数表达式得，
∴点坐标为．
（3）如图，过点作轴，垂足为．
∵点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴第1种情况，当在轴正半轴时，，
第2种情况，当在轴负半轴时，．
∴或
如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，
长度均为的连杆，与始终在同一平面上．

转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，
此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？
（精确到，参考数据：，）
【答案】(1)
(2)减少了
【分析】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）如图2中，作于O．解直角三角形求出即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
【详解】（1）如图2中，作于O．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
∴
，
∴下降高度：
．
某市电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表，
用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润售价进价）
求真丝衬衣进价a的值．
若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，
真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？
最大利润是多少元？
【答案】(1)260；
(2)当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
【分析】（1）利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：．
答：的值为260．
（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，
依题意得：，
解得：．
设两种商品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
23. 在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．

【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝．
【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝1；
（2）①k值发生变化，k＝，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴，即EC＝BD，
∴k＝；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AE＝a，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，AC＝，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴，即，
解得，EF＝，
∴AF＝，
则tan∠EAC＝．
24 .小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：
如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

复习回顾：求的长．
探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
① 当点G是的中点时，求证：；
② 设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③ 如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
【答案】(1)；
(2)①见解析；②；③的长为或．
【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；
②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解；
③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：连接，

∵的直径垂直弦AB于点E，且，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴；
（2）解：①连接，

∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，

∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
③当时，

在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
当时，

在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．
成绩/分
90
92
94
96
100
人数/人
2
4
9
10
5
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100