黑龙江省哈尔滨市松雷中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，中，，的对边分别是，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知平行四边形中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 关于x的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 无实数根
5. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 对角线相等四边形是矩形D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
6. 如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）
A. mB. 4mC. mD.
7. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，点为中点，，，则平行四边形的周长为（ ）
A. 12B. 14C. 24D. 28
8 如图，矩形中，对角线交于点O，若，则（ ）

A. B. 4C. 3D. 5
9. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共计30分）
11. 关于x的方程的一根为1，则________．
12. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为_____________．
13. 在直角坐标平面内点，与点的距离等于______．
14. 在中，，，，则______．
15. 如图，在菱形中，，，则______．

16. 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．

17. 如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ________．

18. 如图，在矩形中，，点在上，．若平分，则的长为________．
19. 已知等腰三角形的两边长为10和12，则等腰三角形的面积为______．
20. 如图，中，，过点A作，AD交BC于点D，若，，则CD的长为______．
三、解答题（21题6分，22-24题每题8分，25-27题每题10分）
21. 解方程：
（1）；
（2）．
22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点A、B均在小正方形的顶点上．

（1）在图①方格纸中画出一个以为一边的直角，点C在小正方形的顶点上，且的面积为5；
（2）在图②方格纸中画出一个以为一边的菱形，点D、E均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为8．
（3）直接写出图①中的长度______．
23. 港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）
（1）若工作人员以速度收绳．后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？
（2）若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
24. 如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，且，求四边形面积．
25. 2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件每件进价分别是多少元？
（2）若两批“吉祥龙”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥龙”挂件的标价至少是多少元？
26. 【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理．
（1）______（用含a，b的式子表示）
＝______（用含a，b，c的式子表示）
利用面积的等量关系，整理得出：______；
【探究】淇淇将从图1的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图2所示，与交于点O．淇淇在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．
（2）请你帮助她完成证明过程；
（3）【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长．
27. 如图，已知是的中线，，交于点，且．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，在（1）的条件下，，设对角线交于点，过点作交的角平分线于点，与交于点．求证：；