湖北省荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含湖北省荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题原卷版docx、湖北省荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
1. 若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数模和四则运算，即可得到答案；
【详解】
，
复数的虚部是，
故选：C.
2. “方程表示椭圆”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由方程表示椭圆，列出不等式求解，再根据充分必要条件与集合的关系得出答案.
【详解】方程表示椭圆，则，解得且，
因此“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知等比数列中，，则公比（ ）
A. B. 2C. 3D. 2或
【答案】B
【解析】
【分析】由，可得，解得，再由可得，根据求解即可.
【详解】解：因为数列为等比数列，，
所以，解得，
又因为，即，解得.
故选：B.
4. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.
【详解】
设，由图可得，
而，
故，
故选：C.
5. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 64B. 80C. 96D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】设出公差，得到方程组，求出首项和公差，利用求和公式得到答案.
【详解】设公差为，
则，解得，
故.
故选：C
6. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出,由PF=4以及抛物线的定义列式可得,即,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标,再由三角形的面积公式可得.
【详解】由可得抛物线的焦点F(1,0),准线方程为,
如图:过点P作准线 的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,
设,则,解得,将 代入可得,
所以△的面积为=.
故选B.
【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P点的坐标;②利用OF为三角形的底,点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.
7. 下列不等式中，对任意的恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于AB，取即可推翻，对于D，取即可推翻，对于C，构造函数，通过求导得其单调递增，进而有，由此即可判断.
【详解】对于AB，当时，即不成立，即不成立，AB错误；
对于C，令，则，
从而单调递增，所以，即对任意，恒成立，C正确；
对于D，取，则此时，D错误.
故选：C.
8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，从而将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.
【详解】由于函数，定义域为R，满足，
得是奇函数，且在R上为增函数.
在上恒成立，
在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立.
令，则，
当时，，故在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
，即a的取值范围为，
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用函数的单调性和奇偶性解不等式，再分离参数法借助导数求范围.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知函数在上可导，若，则
B.
C. 已知函数，若，则
D. 设函数的导函数为，且，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误.
【详解】对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误.
对于C，，若，则即，故C正确.
对于D，，故，故，故D正确.
故选：CD.
10. 设是公差为d的等差数列，为其前项的和，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. ，均为的最大值
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意首先得，结合已知可得，进一步有，由此即可逐一判断每个选项.
【详解】由题意，
又是公差为d的等差数列，所以，故A错B对；
从而，所以，均为的最大值，D对；
而，所以，C对.
故选：BCD.
11. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ）

A. 若，则
B. 当反射光线过时，光由所经过的路程为7
C. 反射光线所在直线的斜率为，则
D. 记点，直线与相切，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.
【详解】对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：故A错误；
对于B：光由所经过的路程为.

故B正确；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.

故C正确
对于D：设直线PT的方程为.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.故D正确
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前项和在时取最大值，_____.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】可以利用等差数列的前项和公式和二次函数的性质求解即可.
【详解】对于等差数列，其前项和，由二次函数的性质可知，数列前项和在或时取到最大值，
故答案为： （答案不唯一）
13. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】求出导函数，建立与的方程，求出，利用极限的运算及导数的定义求解即可.
【详解】当时，，所以，
又，
则，解得，
由定义可知，.
故答案为：
14. 已知抛物线的焦点为点，过点的直线交抛物线于点，两点，交抛物线的准线于点，且，，则______
【答案】
【解析】
【分析】联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，再利用平行线分线段成比例，将长度比转换为坐标关系，从而得解.
【详解】依题意，抛物线的焦点坐标为，
易知直线斜率存在，设直线方程为：，，
联立，消去，得
易知，则，即，
过作垂直于轴，过作平行于轴，两者交于，
过作垂直于轴，交轴于，根据对称性，示意图如下，
因为，所以，
因为，所以，
则.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知递增的等比数列和等差数列，满足，是和的等差中项，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）,
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等差数列等比数列基本公式求通项；（2）利用裂项相消法求和.
试题解析：
【小问1详解】
由题意知，，解得，
设等比数列的公比为，∴，∴；由题意知，，则等差数列的公差,
∴.
【小问2详解】
∵，
∴ .
16. 在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且，D为的中点．
（1）证明：平面平面.
（2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）说明，再推出，即可证明平面，根据面面垂直判定定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，设，求出相关点坐标，求出平面与平面的法向量，假设平面与平面的夹角能为，根据空间角的向量求法可得方程，根据该方程解的情况，即可得出结论.
【小问1详解】
因为底面是边长为2的等边三角形，D为的中点，
故；
又底面，底面，故，
又平面，故平面，
又平面，故平面平面；
【小问2详解】
由已知可知，，且D为的中点，
则，即四边形为平行四边形，
故，由底面，得底面，
因为平面，所以，
以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
结合（1）可知平面的法向量可取为；
设平面的一个法向量为，而，
故，即，令，则，
假设平面与平面的夹角能为，
则，即，此方程无解，
假设不成立，即平面与平面的夹角不能为.
17. 已知椭圆方程，左右焦点分别 ，.离心率，长轴长为4.
（1）求椭圆方程.
（2）若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以，为直径的圆交于C，两点.若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，设，的坐标分别为，，由椭圆的几何性质可得，解可得、的值，计算可得的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；
（2）假设存在斜率为1的直线，设其方程为，与椭圆的方程联立，结合根与系数的关系分析，用表示，计算可得的值，分析可得结论．
【小问1详解】
根据题意，设，的坐标分别为，，
根据椭圆的几何性质可得，
解得，，则，
故椭圆的方程为．
【小问2详解】
假设存在斜率为的直线，那么可设为，
则由（1）知，的坐标分别为，，可得以线段为直径的圆为，
圆心到直线距离，得，即，
则，
联立得，
设，，，，
则，得，故，
，，
，
由可得
解得，得．
即存在符合条件的直线．
18. 已知函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，都有，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出导函数，利用列方程求解即可；
（2）分离参数得恒成立，令，利用导数求解的最值即可求解.
【小问1详解】
易知，所以，又，
所以，所以；
【小问2详解】
若对任意的，都有，
即恒成立，即：恒成立，
令，则，
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减；
所以时，有最大值，所以，即的取值范围为.
19. 已知椭圆（常数），点，，为坐标原点．
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
（3）设，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）的面积为定值，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率公式直接可得范围；
（2）由，可得点坐标，代入椭圆方程可得，则设，，，可得；
（3）方法一：由已知可得，平方可得，即，化简得，化简面积可得；方法二：由已知，即，①当直线斜率不存在时，计算可得；②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示弦长，进而求得面积.
【小问1详解】
由椭圆方程为，
则离心率，
又，
所以；
【小问2详解】
由已知得，即，
又点是椭圆上任意一点，
则，化简可得，
设，，，
则；
【小问3详解】
方法一：由已知可得，即，
平方可得，
又，在椭圆上，
所以，，
所以，
化简可得，
，则，
所以，
故的面积为定值；
方法二：由已知，即，
①当直线斜率不存在时，，，
则，
又在椭圆上，
则，所以，，
此时；
②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，得，
则，
，，
，
则，即，
所以，
点到直线的距离，
所以，
所以的面积为定值.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．