2023-2024学年四川省成都市列五中学高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市列五中学高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2 3sin75°cs75°的值是( )
A. 32B. 12C. 34D. 3
2.下列说法错误的是( )
A. |CD|=|DC|B. e1、e2是单位向量，则|e1|=|e2|
C. 若|AB|>|DC|，则AB>CDD. 任一非零向量都可以平行移动
3.函数y=sinx+ 3csx，x∈R的最大值为( )
A. 1B. 3C. 12D. 2
4.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A. y=2sin(x+π6)
B. y=2sin(x−π6)
C. y=2sin(x+π3)
D. y=2sin(x−π3)
5.已知sinα− 2csα=0，则cs2α=( )
A. −13B. 0C. 13D. 23
6.已知α为锐角，且cs(α+π6)=35，则sin(5π6−α)=( )
A. 35B. −45C. 45D. ±45
7.函数f(x)=cs2x−6csx+1的值域为( )
A. [−92,+∞)B. [−92,−4]C. [−4,8]D. [−92,8]
8.设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为T.若2πA. 23B. 34C. 45D. 56
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为12的是( )
A. sin5π6B. 2sin 15°cs 15°C. 2cs215°−1D. 32tan210°
10.已知函数f(x)=cs(2x+π6)+ 32，则下列选项正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 点(−π3, 32)是函数f(x)图象的一个对称中心
C. 将函数f(x)图象向左平移π6个单位长度，所得到的函数为偶函数
D. 函数f(x)在区间(−π6,0)上单调递增
11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. f(x)=3sin(2x+π6)
B. f(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. f(x)的图象关于点(−4π3,0)对称
D. 若方程f(x)=32在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(3π,10π3]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若α，β为锐角，且sinα=817,csβ=35，则cs(α+β)=______．
13.计算：sin47°−sin17°cs30°cs17∘= ______．
14.关于函数f(x)=|cs(2x−π3)|−|sin(2x−π3)|有下列三个结论，
①π2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在x∈[0,π]的所有零点和为13π12；
③函数f(x)的值域[−1,1]．
其中所有正确结论的编号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知tan(π4+α)=12．
(1)求tanα的值；
(2)求sin2α−cs2α1+cs2α的值．
16.(本小题15分)
化简求值：
(1)已知cs(x+π2)=−13，x∈(0,π2)，求tan2x的值；
(2)已知α∈(0,π2)，β∈(−π2,0)，且cs(α−β)=35，sinβ=− 210.求α．
17.(本小题15分)
一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P在风车的最低点，求：
(1)点P离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式；
(2)在第一圈的什么时间段点P离地面的高度超过14米？
18.(本小题17分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx+π6)+2sin2(ωx2+π12)−1(ω>0)的相邻两对称轴间的距离为π2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图像向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图像，当x∈[−π12,π6]时，求函数g(x)的值域；
(3)对于第(2)问中的函数g(x)，记方程g(x)=43在x∈[π6,4π3]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，若m=x1+2x2+2x3+…+2xn−1+xn，试求n与m的值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=4sin(ωx+π12)cs(ωx+π12)+1，其中ω>0．
(1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1−x2|min=π2，求f(x)的对称中心；
(2)若2<ω<4，函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，x=π3是g(x)的一个零点，若函数g(x)在[m,n](m，n∈R且m(3)已知函数h(x)=acs(2x−π6)−2a(a<0)，在第(2)问条件下，若对任意x1∈[0,π4]，存在x2∈[0,π4]，使得h(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：2 3sin75°cs75°= 3sin150°= 3×12= 32．
故选：A．
由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A项，因为CD=−DC，所以|CD|=|DC|，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，|e1|=|e2|，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．
故选：C．
运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断．
本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：y=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)，
由于x∈R，当x+π3=2kπ+π2，(k∈Z)时，函数的最大值为2．
故选：D．
直接利用三角函数的关系式把函数的关系式变形成正弦型函数的，进一步求出函数的最大值．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：如图：
易知：A=2，T4=2π3−π6=π2⇒T=2π，即2πω=2π⇒ω=1，
由2sin(π6+φ)=2，
可得π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，可得φ=2kπ+π3，k∈Z，
可得k=0时，φ=π3，
所以：f(x)=2sin(x+π3)．
故选：C．
结合三角函数的的图象，分析三角函数的性质．确定函数的解析式．
本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由sinα− 2csα=0，可得tanα= 2，
故cs2α=cs2α−sin2αcs2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−21+2=−13，
故选：A．
由弦切互化可得tanα= 2，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解．
本题主要考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为α为锐角，且cs(α+π6)=35，所以α+π6是锐角，
所以sin(α+π6)= 1−cs2(α+π6)= 1−925=45，
sin(5π6−α)=sin[π−(α+π6)]=sin(α+π6)=45，即sin(5π6−α)=45．
故选：C．
先利用同角三角函数的基本关系求sin(α+π6)，再利用诱导公式把sin(5π6−α)用sin(α+π6)来表示即可得到答案．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=cs2x−6csx+1=2cs2x−6csx=2(csx−32)2−92；
故当csx=−1时，函数取得最大值f(x)max=8，当csx=1时，函数取得最小值为f(x)min=−4；
故函数的值域为[−4,8]．
故选：C．
直接利用三角函数关系式的恒等变换和二次函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的值，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为T=2πω，
若2π对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，即f(π3)=sin(ωπ3+π4)=−1为最小值，
故有ωπ3+π4=2kπ+π2，k∈Z，即ω=3k+34，k∈Z．
则ω可以为34，但不可为45和56．
故选：B．
由题意，根据2π本题主要考查正弦函数的周期性和最小值，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，sin5π6=sinπ6=12，正确；
对于B，2sin 15°cs15°=sin30°=12，正确；
对于C，2cs215°−1=cs30°= 32，错误；
对于D， 32tan210°= 32tan(180°+30°)= 32tan30°= 32× 33=12，正确．
故选：ABD．
利用诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值即可逐一求解．
本题考查了诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于A项，函数f(x)的最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π，故A项正确；
对于B项，当x=−π3时，2x+π6=−π2，而cs(−π2)=0，故点(−π3, 32)是函数f(x)图象的一个对称中心，即B项正确；
对于C项，函数f(x)图象向左平移π6个单位长度，得到g(x)=cs[2(x+π6)+π6]+ 32=cs(2x+π2)+ 32=−sin2x+ 32，
由g(−x)−g(x)=[−sin(−2x)+ 32]−(−sin2x+ 32)=2sin2x不恒为零，故该函数不是偶函数，即C项错误；
对于D项，当x∈(−π6,0)时，z=2x+π6∈(−π6,π6)，函数y=csz在区间(−π6,π6)上没有单调性，故D项错误．
故选：AB．
利用余弦型函数的周期公式即得A项，运用代入检验法将2x+π6看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判断C项，将2x+π6看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断D项．
本题主要考查了余弦型函数的性质以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了函数思想，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：由已知函数f(x)的部分图象可得：A=3，f(0)=3sinφ=32，即sinφ=12，
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，所以f(x)=3sin(ωx+π6)．
因为f(x)的图象过点(5π12,0)，所以3sin(5π12ω+π6)=0，即5π12ω+π6=π+2kπ(k∈Z)，
解得ω=2+245k(k∈Z)，
由已知函数f(x)的部分图象可可知：T2>5π12，即2π2ω>5π12，即0<ω<125，
所以ω=2，故f(x)=3sin(2x+π6)，故A正确；
将f(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的新函数是y=f(x−2π3)=3sin(2x−4π3+π6)=3sin(2x−7π6)，
显然该函数为非奇非偶函数，故B错误；
因为f(−4π3)=3sin(−5π2)=−3≠0，所以点(−4π3,0)不是函数f(x)的对称点，故C不正确；
因为f(0)=f(π3)=f(π)=f(4π3)=f(2π)=f(7π3)=f(3π)=f(10π3)=32，
若方程f(x)=32在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(3π,10π3]，故D正确．
故选：AD．
根据已知图象及特殊点的坐标得出函数f(x)的解析式，进而判断选项A的正误；根据函数的平移变换可得出新函数的解析式，进而判断选项B的正误；将点(−4π3,0)代入函数f(x)的解析式验证即可判断选项C的正误；结合三角函数的图象与性质可判断实数m的取值范围即可判断选项D的正误．
本题考查由三角函数的部分图象求函数的解析式、三角函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
12.【答案】1385
【解析】解：因为α，β为锐角，且sinα=817,csβ=35，
所以csα= 1−sin2α=1517，sinβ= 1−cs2β=45，
则cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=1517×35−817×45=1385．
故答案为：1385．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求csα，sinβ的值，进而根据两角和的余弦公式即可求解cs(α+β)的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
13.【答案】12
【解析】解：sin47°−sin17°cs30°cs17∘=sin(30°+17°)−sin17°cs30°cs17∘=sin30°cs17°cs17∘=12．
故答案为：12．
直接利用三角函数的关系式的变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14.【答案】①③
【解析】解：对①，因为函数y=|cs(2x−π3)|.y=|sin(2x−π3)|的周期都为π2，所以π2是函数f(x)的周期，①正确；
对②，令f(x)=0，∴tan(2x−π3)=±1，解得，2x−π3=±π4+kπ，即x=π24+12kπ或x=724π+12kπ，
而x∈[0,π]，∴x=π24或x=7π24或x=13π24或x=19π24，即函数f(x)在x∈[0,π]的所有零点和为5π3，②错误；
对③，设y=|cs(2x−π3)|−|sin(2x−π3)|，y2=1−2|cs(2x−π3)||sin(2x−π3)|≤1，即−1≤y≤1，③正确．
故答案为：①③．
根据三角函数的性质，函数零点的定义，以及值域的求法即可判断各结论的真假．
本题主要考查三角函数的性质的应用，函数零点的理解，以及值域的求法应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为tan(π4+α)=12，
所以1+tanα1−tanα=12，解得tanα=−13；
(2)sin2α−cs2α1+cs2α=2sinαcsα−cs2α2cs2α=2tanα−12=2×(−13)−12=−56．
【解析】(1)利用两角和的正切公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
(2)利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了两角和的正切公式，特殊角的三角函数值，二倍角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵cs(x+π2)=−sinx=−13，
∴sinx=13，且x∈(0,π2)，
∴csx= 1−19=2 23，
∴tanx=sinxcsx=132 23= 24，
∴tan2x=2tanx1−tan2x=2× 241−18=4 27；
(2)∵α∈(0,π2),β∈(−π2,0)，
∴α−β∈(0,π)，且cs(α−β)=35，sinβ=− 210，
∴sin(α−β)=45，csβ=7 210，
∴sinα=sin[(α−β)+β]=sin(α−β)csβ+cs(α−β)sinβ=45×7 210+35×(− 210)= 22，且α∈(0,π2)，
∴α=π4．
【解析】(1)根据条件可求出sinx，进而得出tanx，然后根据二倍角的正切公式即可得解；
(2)根据条件可求出sin(α−β)和csβ的值，然后根据两角和的正弦公式即可求出sinα的值，进而得出α的值．
本题考查了同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式和二倍角的正切公式，是基础题．
17.【答案】解：(1)设h(t)=Asin(ωt+φ)+b，
由题意得：A=8，T=12，b=10；
则ω=2πT=π6，当t=0时，h=2，即sinφ=−1；
因此，φ=−π2；
因此，h(t)=8sin(π6t−π2)+10，t≥0；
(2)由题意：h(t)>14，即：8sin(π6t−π2)+10>14；
则：csπ6t<−12；
又因为0≤t≤12，
所以4【解析】(1)设h(t)=Asin(ωt+φ)+b，由题意求得A、T、b和ω、φ的值，写出h(t)的解析式；
(2)由题意令h(t)>14，求得t的取值范围即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了分析问题与解决问题的能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)= 3sin(ωx+π6)+2sin2[12(ωx+π6)]−1= 3sin(ωx+π6)−cs(ωx+π6)=2sin(ωx+π6−π6)=2sinωx，
因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2，
所以T=π，可得ω=2，
故f(x)=2sin2x；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y=2sin(2x−π3)的图象，
再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y=g(x)=2sin(4x−π3)的图象，
当x∈[−π12,π6]时，4x−π3∈[−2π3,π3]，
当4x−π3=−π2时，函数g(x)取得最小值，最小值为−2，
当4x−π3=π3时，函数g(x)取得最大值，最大值为 3，
故函数g(x)的值域[−2, 3]；
(3)由方程g(x)=43，即2sin(4x−π3)=43，即sin(4x−π3)=23，
因为x∈[π6,4π3]，可得4x−π3∈[π3,5π]，
设θ=4x−π3，其中θ∈[π3,5π]，即sinθ=23，结合正弦函数y=sinx的图象，
可得方程sinθ=23在区间[π3,5π]有5个解，即n=5，
其中θ1+θ2=3π，θ2+θ3=5π，θ3+θ4=7π，θ4+θ5=9π，
即4x1−π3+4x2−π3=3π,4x2−π3+4x3−π3=5π，4x3−π3+4x4−π3=7π,4x4−π3+4x5−π3=9π，
解得x1+x2=11π12,x2+x3=17π12,x3+x4=23π12,x4+x5=29π12，
所以m=x1+2x2+2x3+⋯+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=20π3．
综上，n=5,m=20π3．
【解析】(1)先整理化简得f(x)=2sinωx，利用周期求得ω=2，即可得到f(x)=2sin2x；
(2)利用图像变换得到g(x)=2sin(4x−π3)，用换元法求出函数g(x)的值域；
(3)由方程g(x)=43，得到sin(4x−π3)=23，借助于正弦函数y=sinx的图象，求出n与m的值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=4sin(ωx+π12)cs(ωx+π12)+1=2sin(2ωx+π6)+1，
若f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1−x2|min=π2，
则x1与x2是相邻的最小值点和最大值点，
∴f(x)的最小正周期为2×π2=π，
即2π2ω=π，解得ω=1，
得f(x)=2sin(2x+π6)+1，
令2x+π6=kπ(k∈Z)，
解得x=−π12+kπ2(k∈Z)，此时f(x)=1，
∴f(x)的对称中心为(−π12+kπ2,1)(k∈Z)；
(2)由题意可得g(x)=f(x−π6)=2sin[2ω(x−π6)+π6]+1=2sin(2ωx+1−2ω6π)+1，
又∵x=π3是g(x)的一个零点，
∴g(π3)=2sin(2ωπ3+1−2ω6π)+1=2sin(ωπ3+π6)+1=0，
∴2sin(ωπ3+π6)=−1，
∴sin(ωπ3+π6)=−12，
∴ωπ3+π6=7π6+2kπ(k∈Z)或ωπ3+π6=11π6+2kπ(k∈Z)，
解得ω=3+6k(k∈Z)或ω=5+6k(k∈Z)，
又2<ω<4，得ω=3，
∴g(x)=2sin(6x−56π)+1，
函数最小正周期T=2π6=π3，
令g(x)=0，即sin(6x−56π)=−12，
解得x=π9+k1π3(k1∈Z)或x=k2π3(k2∈Z)，
若g(x)在[m,n]上恰好有8个零点，
则3T要使n−m最小，则m，n恰好为g(x)的零点，
n−m的最小值为3×π3+π9=10π9；
(3)由(2)知，g(x)=2sin(6x−56π)+1，
设h(x)在[0,π4]上的值域为A，g(x)在[0,π4]上的值域为B，
若对任意x1∈[0,π4]，存在x2∈[0,π4]，使得h(x1)=g(x2)成立，
∴A⊆B，
当x∈[0,π4]，6x−5π6∈[−5π6,2π3]，sin(6x−5π6)∈[−1,1]，则B=[−1,3]，
当x∈[0,π4]，2x−π6∈[−π6,π3]，cs(2x−π6)∈[12,1]，则A=[−a,−32a]，
由A⊆B，可得−a≥−1−3a2≤3，
又a<0，解得−2≤a<0，
∴实数a的取值范围为[−2,0)．
【解析】(1)利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得ω，整体代入法求f(x)的对称中心；
(2)由图象平移变换得到函数g(x)，结合g(π3)=0和2<ω<4，得ω=3，根据g(x)的零点个数可得3T(3)根据已知，在[0,π4]上，h(x)的值域是g(x)值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果．
本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象及性质，属于中档题．