广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生请将自己的班级、姓名填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡指定位置．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，留存试卷，交回答题卡．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 是的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则＝（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
4. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
A B.
C. D.
7. 折扇是我国古老文化延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3个小题，每个小题6分，共计18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若复数，则（ ）
A. 的共轭复数B.
C. 复数的虚部为D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
10. 对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，，，则面积为
11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 在向量上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则________________
13. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为________.
14. 在平行四边形中，分别为上的点，且，连接，与交于点，若，则的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，与的夹角为
（1）求．
（2）求．
（3）若向量与相互垂直，求实数k的值．
16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
（1）若，，求c；
（2）若的面积为，，求a．
17. 已知向量．
（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）若，求向量在上投影向量的坐标．
18. 在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.
在中，角所对的边分别为，__________，且.求：
（1）；
（2）周长的取值范围.
19. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求的最值．
（3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．