陕西省商洛市2024届高三下学期尖子生学情诊断考试（第三次）数学（理科）试卷

这是一份陕西省商洛市2024届高三下学期尖子生学情诊断考试（第三次）数学（理科）试卷，共18页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，在中，，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）．
A．1B．3C．D．
2．设集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
3．已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间x（分钟）与一个月内减轻的体重y（斤）的一组数据如表所示：
一个月内减轻的体重y与每天投入的体育锻炼时间x之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约为（ ）．
A．7.1斤B．7.0斤C．6.9斤D．6.8斤
4．已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是（ ）．
A．112B．80C．64D．32
6．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，下列命题错误的是（ ）．
A．若，，，则
B．若，，，则或
C．若，，则或
D．若，，则或
7．在不等式组表示的平面区域内任取一点，则满足的概率为（ ）．
A．B．C．C．
8．已知是圆上任意一点，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
9．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业、人才、文化、生态、组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x（单位：万元）的Lgistic模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50％，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（ ）．（参考数据：）
A．30％B．40％C．60％D．70％
10．在中，，则的最小值为（ ）．
A．4B．C．D．16
11．已知e是自然对数的底数，，，，则（ ）．
A．B．C．D．
12．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设，向量，，若，则__________．
14．已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为__________．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C的左支上，，，延长PO交C的右支于点Q，点M为双曲线上任意一点（异于P，Q两点），则直线MP与MQ的斜率之积__________．
16．已知圆锥的体积为，若球O在圆锥内部，则球O体积的最大值为__________，此时圆锥的底面圆的半径为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
在数列中，，，数列是公比不为1的等比数列，且，，成等差数列．
（1）求数列与的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到了90％，该公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值．
参考数据：若，则．
（1）求的值；
（2）估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？
（3）若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？
19．（本小题满分12分）
如图，在几何体ABCDE中，，平面ABC，，．
（1）求证：平面平面ABE；
（2）若，，，在棱AC上是否存在一点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆的左顶点为，离心率为，M，N是直线上的两点，且，其中O为坐标原点，直线AM与E交于另外一点B，直线AN与E交于另外一点C．
（1）记直线AM，AN的斜率分别为、，求的值；
（2）求点O到直线BC的距离的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：对任意的，，．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线过点且倾斜角为，曲线的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求直线的参数方程及曲线的极坐标方程；
（2）设，交于P，Q两点，求的最小值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知m，n，t均为正数，函数的最小值为3．
（1）求的最小值；
（2）求证：．
商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试（第三次）·数学试卷（理科）
参考答案、提示及评分细则
1．A
，的实部与虚部相等，
则，所以．故选A．
2．D
因为，，
所以，，，．故选D．
3．D
由表格的数据可得，，，
因为线性回归直线方程是，
所以，所以，
当时，．故选D．
4．A
若，则，所以，充分性成立；
若，则，但不一定成立，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．
5．A
分两类情况，第一类情况，去C企业仅有一人，有种情况；
第二类情况，没有一个去C企业，有种情况，
所以根据分类加法计数原理共有种．故选A．
6．B
对于A，令，分别为直线m，n的方向向量，因为，，又，所以，即，故A正确；
对于B，如图所示，在正方体中，令平面ABCD为平面，平面为平面，直线为m，直线为n，满足，，，但m与n既不平行也不垂直，故B错误；
对于C，若，过m作平面分别与平面和平面相交，且交线分别为a，b，则，，所以，所以；若，符合题意，故C正确；
对于D，若，符合题意；若，过直线n作一平面与平面相交，设交线为b，
因为，，所以，又，且n，b在同一平面内，若n，b不平行，则，
又，则与矛盾，所以，所以，故D正确．故选B．
7．C
如图，不等式组，表示的平面区域为及其内部，
其中，，，所以，
设直线与直线，分别交于点，，
所以满足的平面区域为四边形OCDB及其内部，，
所以满足的概率为．故选C．
8．D
设，变形可得，
则的几何意义为直线的斜率，
是圆上任意一点，
则，解得，
即的最大为．故选D．
9．B
由题意得当时，％，则％，得，
所以，得，所以．
当时，％．故选B．
10．C
因为，设，则，
显然，，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．故选C．
11．B
令，则，
所以时，，单调递增，
又，，，
所以．
再令，则，
所以在R上是增函数，时，，
即时，，故，，即，所以．故选B．
12．C
由题意知，又，所以．
显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由得，所以．
显然直线BD的斜率不为0，设，直线BD的方程为，
由得，所以，
又，所以，设，同理可得，
．故选C．
13． 由题意得，解得．
14．或
因为，所以函数的图象关于直线对称，
所以，即，，
解得，，
∵，∴，，
因为在区间上单调，所以，解得．
经检验，当时，，当时，均满足题意．
15．2
依题意，设双曲线C的半焦距为c，则，，
因为O是的中点，所以，
故由得，
因为，，所以．
在中，，
在中，，
所以，则，，所以．
16．（3分）（2分）
设圆锥底面半径为r，高为h，当球O与圆锥相切时体积最大，
设此时球O的半径为R，如图，作出圆锥的轴截面，内切圆圆心为O，AB中点为H，
则，高，
设，则，其中，
所以，，所以，，
所以，
所以圆锥的体积
，
所以，
令，，所以，
所以，，
所以，，
令，，
则，，
所以当时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以球O体积的最大值为，此时，，，
所以，所以，，
所以圆锥的底面圆的半径为．
17．解：（1）因为，且，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，（1分）
所以．（2分）
所以．（3分）
设等比数列的公比为，
由，，成等差数列，得，即，
因为，所以，解得（舍去）．（4分）
因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列．
所以．（6分）
（2）因为．（8分）
所以
．（12分）
18．解：（1），（2分）
所以．（3分）
（2）由（1）知，，
．
该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为．（6分）
（3）每个零部件的质量分数在内的概率为，
由题意可知，
则，（8分）
设，
则，（9分）
令，得，
所以当时，，（10分）
令，得，
所以当时，，（11分）
所以时，最大，故使最大的n的值为14．（12分）
19．（1）证明：因为平面ABC，AB，平面ABC，
所以，，（1分）
因为，所以，，
又AB，平面ABC，，所以平面ABC．（2分）
取AB的中点O，连接CO，则平面ABC，所以，
又，所以，（3分）
取AE的中点M，连接OM，DM，则，且，
又，，所以，且，
所以四边形OCDM为平行四边形，所以，（4分）
所以，，
又AB，平面ABE，，所以平面ABE，
因为平面ADE，所以平面平面ABE．（6分）
（2）解：由（1）知OC，OB，OM两两垂直，以O为坐标原点，
OB，OC，OM所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．（7分）
设平面ACD的一个法向量，则，
即，令，解得，，
所以．（9分）
设，所以，（10分）
记EF与平面ACD所成的角为，
所以，（11分）
解得，故F为AC的中点，即．
所以在棱AC上存在点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为，且．（12分）
20．解：（1）设，，所以，，
又，所以，（2分）
又，，所以．（4分）
（2）由题意知，解得，，，
所以E的方程为．（5分）
当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为，，，
由得，
所以，，
．（7分）
由（1）知，所以，
整理得，
所以，
整理得，即，
所以，或．（9分）
当时，直线BC的方程为，过定点，不符合题意，舍去；
当时，直线BC的方程为，过定点．（10分）
当直线BC的斜率不存在时，易得，，，
所以直线AM的方程是，
由得，解得或，
所以，同理得，
此时直线BC的方程是，过定点．
综上，直线BC过定点．（11分）
又，所以点O到直线BC的距离的最大值为．（12分）
21．（1）解：的定义域为，，（1分）
若，则恒成立，
所以在上单调递增．（2分）
若，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（4分）
（2）证明：当时，．
所以，
．（5分）
要证，
即证
，
即证．（6分）
由，得，
即，
，
故只需证．（8分）
下面给出证明：设，则，
当时，恒成立，单调递减，
当时，，，
所以；
当时，，所以；
当时，，，
所以．
所以对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立．（11分）
综上所述，恒成立，
故对任意的，，．（12分）
22．解：（1）由已知得直线的参数方程为（t为参数），（2分）
由，得，
又，，，
所以，即，
所以曲线的极坐标方程为．（5分）
（2）将代入，得，
即，
设，是上述方程的两实根，则，（7分）
又直线过，则P，Q两点对应的参数分别为，，
所以
，
当且仅当时，取等号．
所以的最小值为．（10分）
23．（1）解：，
当且仅当时，等号成立，（2分）
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9．（5分）
（2）证明：因为，
同理，，，（7分）
所以
．（10分）x
30
40
50
60
70
y
1.1
1.9
3.2
4
4.8