2024年湖南省衡阳市耒阳市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下面四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查中心对称图形的概念：如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，掌握定义是解题关键．根据中心对称图形的概念和各图特点作答．
【详解】解：A．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，因为能找到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即满足中心对称图形的定义，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义，故本选项符合题意．
故选：B．
2. 一元二次方程的根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．利用因式分解法解一元二次方程可以解题．
【详解】解：
或
，
故选：B．
3. 下列事件属于随机事件的是（ ）
A. 常压下，温度降到以下，自来水会结冰B. 随意打开一本书，书的页码是奇数
C. 任意一个五边形的外角和等于D. 如果，那么
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可，正确把握相关定义是解题的关键．
【详解】解：、通常温度降到以下，自来水会结冰，是必然事件，故不符合题意；
、随意翻到一本书，书的页码是奇数，是随机事件，故符合题意；
、任意一个五边形的外角和等于，是必然事件，故不符合题意；
、如果，那么，是必然事件，故不符合题意；
故选：．
4. 如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（ ）
A. 点D在圆C上，点A，B均在圆C外B. 点D在圆C内，点A，B均在圆C外
C. 点A，B，D均在圆C外D. 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了含有角的直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系．由题干条件得出两个直角三角形中含角所对的直角边等于斜边的一半，即与，利用勾股定理即可求解出，再根据点与圆的位置关系判断即可
【详解】在中，，则，
∵，
∴．
∴．
圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，
，
点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上
故选：D．
5. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，先把每个选项的对称轴的值代入，分别算出对应的顶点C的纵坐标，再与题干条件作比较，即可作答．
【详解】解：A、当对称轴为直线，则，得，那么，故该选项是错误的；
B、当对称轴为直线，则，得，那么，故该选项是错误的；
C、当对称轴为直线，则，得，那么，故该选项是正确的；
D、当对称轴为直线，则，得，那么，故该选项是错误的；
故选：C
6. 如图，四边形内接于，是直径，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，解答本题的关键是明确题意．根据圆内接四边形对角互补，即可得到的度数．
【详解】解：四边形内接于，
，
，
，
故选：C．
7. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. B. C. 0D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形，由于，故根据方程的解的意义，求得的值，由根与系数的关系得到的值，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，即
由根与系数的关系得：，
∴，
故选：A．
8. 如图，内接于，连接并延长交于点，交于点，若，则的长为（ ）
A. 4B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，过点作于点，则，根据已知条件求得，根据含30度角的直角三角形的性质求得，在中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
∵
∴,
∴
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：C．
9. 如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，解直角三角形，过点作轴于，轴于，解直角三角形求得，，根据旋转的性质得出, ，解直角三角形求得，，即可求得的坐标，作出辅助线，构造直角三角形，并解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于，轴于，则，
在等腰中，∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵将绕原点逆时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：．
10. 如图，二次函数的图象与x轴分别交于，两点，与y轴正半轴交于点C，下列判断：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 若，是抛物线上的两个点，则．其中正确的是（ ）
A. ② ③B. ① ② ④C. ③ ④ ⑤D. ① ④ ⑤
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟悉二次函数的性质，二次函数解析式系数表示的意义以及函数图象是解决问题的关键．
【详解】解：① 二次函数的图象与y轴正半轴交于点C，
，
二次函数图象对称轴为，根据图象可知对称轴在正半轴，
，又，
，
，故① 符合题意．
② 二次函数图象顶点纵坐标为，根据图象可知顶点位于轴正半轴，
，又，
，故② 不符合题意．
③ ，，
，故③不符合题意．
④ 的图象与x轴分别交于，，对应一元二次方程的解，，
，
，故④ 符合题意．
⑤ 二次函数的对称轴为，
点，距离对称轴的距离为，点距离对称轴的距离为，，
又，抛物线开口向下，
．故⑤ 符合题意．
综上：① ④ ⑤ 符合题意．
故选：D.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 某工厂为了能给市面上提供充足的篮球，第一个季度至第三个季度生产篮球由63200个增加到91008个，若设该工厂平均每季度生产篮球的增长率为x，则可列方程为_____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程知识，找到合适的等量关系是解决问题的关键．根据等量关系为：第三个季度生产篮球个数等于第一个季度生产篮球个数，列出方程即可．
【详解】解：设该工厂平均每季度生产篮球的增长率为x，
根据题意得：，
故答案为：．
12. 如图，有四张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、 ‘冰壶“四种不同的图案，现将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，则该卡片的正面图案恰好是“冰壶”的概率是____
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了等可能事件的概率，根据概率计算公式，必须知道所有可能的结果及事件发生的结果．事件所有可能的结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1种，据此利用概率公式求解即可．
【详解】解：事件所有可能的结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1种，
所以抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是．
故答案为：．
13. 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为_________（写出一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握利用图象法解一元二次方程是解题的关键．如图，画直线由图象可得：当直线与函数的图象有交点时，则方程有实数根，从而可得到答案．
【详解】解：如图，
画直线，当直线与函数的图象有交点时，则方程有实数根，
由图象可得：当直线过的顶点时，m有最小值，
此时：，
，方程有实数根，
故答案为：（答案不唯一）
14. 如图，在等边中，，点D为边的中点，将绕点D顺时针旋转，得到，是点A的旋转路径，连接，则图中阴影部分的面积为______
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积，旋转性质，根据，点D为边的中点，得出，结合旋转性质，得出，结合扇形面积以及三角形面积公式进行列式，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵等边中，，点D为边的中点，
∴，
∵将绕点D顺时针旋转，得到，是点A的旋转路径，连接，
∴，
则图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】作于，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，再根据旋转的性质得，然后利用点在线段上时，点到的距离最小，从而可计算出的面积的最小值．
【详解】解：作于，如图，
，，，
，
，
，
点是的中点，
，
将绕着点逆时针旋转，在旋转过程中点的对应点为点，
，即点在以为圆心，2为半径的圆上，
点在线段上时，点到的距离最小，
的面积的最大值为．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理．
三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出过程）
16. （1）用配方法解方程：；
（2）用适当的方法解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先移项，然后利用完全平方公式配方，进而解方程即可得到答案；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）
解得；
（2）
或
解得．
17. 关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）对于m取一个适当值，并求出一元二次方程的根．
【答案】（1），且；
（2）时，；
【解析】
【分析】（1）本题考查了一元二次方程的定义及其有实数根的判定，须满足只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，然后判别式大于或等于零即可解决问题．
（2）本题考查了一元二次方程的解法，可利用因式分解法，求根公式即可．
【小问1详解】
解： 是关于x的一元二次方程，
，即，
关于x的一元二次方程有实数根，
，即，
，
的取值范围为，且．
【小问2详解】
当时，方程为，
因式分解得，，
解得：
18. 如图，平面直角坐标系在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是，，．

（1）把绕原点O逆时针旋转后得到，画出并写出点的坐标；
（2）在（1）的基础上，求线段在旋转过程中扫过的面积．
【答案】（1）图见详解，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质及扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质及扇形面积公式是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行作图，然后问题可求解；
（2）根据（1）及割补法可进行求解线段所扫过的面积．
【小问1详解】
解：所作如图所示：

∴点；
【小问2详解】
解：由（1）可知：线段扫过的面积为
．
19. 某市利用各类灵活多样宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心”宣传推广工作，截止2021年底，注册人数已达216.39万人．某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（分）、B：比较了解（分）、C：基本了解（分）、D：不太了解（分）四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图．

请根据上图提供的信息解答下列问题∶
（1）扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为 ，补全条形统计图；
（2）若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数；
（3）为更好地开展“国家反诈中心”宣传推广工作，社区准备招募2名宣讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率．
【答案】（1），补全条形统计图见解析
（2）该社区对“国家反炸中心” 非常了解的人数有2400人
（3）
【解析】
【分析】本题考查了扇形与条形统计图综合以及列树状图求概率：
（1）先利用C等级的人数除以所占百分比求出总人数，即可求出A等级的人数，用A等级的人数除以总人数即可求出A等级对应的人数所占百分比，然后用总人数减去的等级人数，求出B等级的人数，即可补全条形统计图；
（2）运用样本估计总体，非常了解即为等级，用A等级对应的人数所占百分比乘以8000，求解即可；
（3）列出树状图，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，总人数：（人）；
A等级对应的扇形圆心角：；
B等级的人数：（人）；
如图：

故答案为：；
【小问2详解】
解：依题意，
该社区对“国家反炸中心” 非常了解的人数：（人），
答：该社区对“国家反炸中心” 非常了解的人数有2400人；
【小问3详解】
解：设一组居民分别为，二组居民为，
依题意，列出树状图：

总共有12种结果，满足选取的为2人不是同一组居民的结果有6种，
则2人不是同一组居民的概率：．
20. 如图，内接，点A为的中点，D为边上一点，，是的切线，，连接．
（1）求证：；
（2）当点A到弦的距离为1时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据点A为的中点，与相切，证明，得到，由，得到，证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由，得到，在中， ，求出，进而求出，根据四边形为平行四边形，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接交于点M，
∵点A为的中点，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵点A到弦的距离为1，即，
在中， ，
∴，
∴|，
，
由（1）可知四边形为平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了圆与四边形综合，切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键．
21. 近年来，国潮联名款产品层出不穷，大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”，“故宫” 这样的传统中国元素，唤起年轻一代消费群体的记忆，与这些年轻消费者进行着价值沟通，逐渐构成“国潮力量”．某外贸公司经市场调研，整理出某爆款联名卫衣的售价每增加x元，日销售量的变化情况如下表：
已知该款卫衣的成本价为80元/件，设销售该卫衣的日销售利润为w元．
（1）求w（元）与x（元）之间的函数关系式；
（2）在销售过程中，该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗，为什么？
（3）求该卫衣售价增加多少元时，日销售利润最大，最大日利润是多少？
【答案】（1）
（2）能，理由见解析 （3）售价增加30元时，日销售利润最大，最大日利润为98000元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用中的利润最大问题，熟练将生活问题转化为二次函数问题解决是解题的关键．
（1）根据利润售价日销售量计算即可；
（2）当时，求销售利润的值，比较即可；
（3）把问题转化为二次函数的最值问题处理即可．
【小问1详解】
解：由题意得
；
【小问2详解】
解：∵当时，
，
∴该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元；
【小问3详解】
解：∵，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，w取得最大值为98000，
∴该卫衣售价增加30元时，日销售利润最大，最大日利润为98000元．
22. 如图，已知抛物线经过三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值；
（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
【答案】（1）
（2）的面积最大，最大面积为，此时
（3）点P的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）将点代入解析式求解即可；
（2）过点向轴作垂线交于点Q，设，，得到的值，计算即可；
（3）设，直角三角形的性质分类讨论即可；
【小问1详解】
解：根据题意，将点，代入，
可得，
解得，
抛物线的解析式为，
【小问2详解】
解：连接，过点向轴作垂线交直线于点Q，垂足为G，

设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，，
，
当时，最大，最大为，
，
∴最大时，的面积最大，最大面积为，此时；
【小问3详解】
解：抛物线，
抛物线的对称轴为，
设，
∵，，
，，
当时，，
解得：或，
点P的坐标为或；
当时，，
解得：，
点P的坐标为；
当时，，
解得：，
点P的坐标为；
综上所述，存在这样的点P，使得为直角三角形，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，特殊三角形与的存在问题，二次函数的面积问题，一次函数，利用分类讨论组成直角三角形，应用勾股定理构造方程求点P坐标是解题关键．
23. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在中，，点D，E分别在边上，，连接，M是的中点，连接．

（1）观察猜想
请直接写出与的数量关系和位置关系；
（2）类比探究
将图① 中绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
若，将图① 中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值．
【答案】（1）
（2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析
（3）的最大值为3，最小值为1
【解析】
【分析】（1）证明，得到，由，推出，根据，得到，进而得到，即可得出结论；
（2）延长至点F，使，连接，证明，为的中位线，即可证明结论；
（3）利用（1）（2）的结论可知，当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值，当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值，结合图形计算即可．
【小问1详解】
解：
∵
∴
∴
∵M是的中点
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴；
【小问2详解】
证明：（1）中的结论仍然成立，证明过程如下
如图① ，延长至点F，使，连接，
∵
∴
∴
∴
∵M是的中点，
∴为的中位线，
∴
又∵
∴
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：的最大值为3，最小值为1
如图②和图③ ，利用（1）（2）的结论可知，
当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值，
当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值，
的最大值为，
的最大值为3；
的最小值为，
的最小值为1
【点睛】本题是三角形综合题，三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征，旋转的性质，三角形中位线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．售价(元/件)
日销售量(件)