2023-2024学年广东省广州市荔湾区真光中学高二（下）质检数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市荔湾区真光中学高二（下）质检数学试卷（3月份）(含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.曲线f(x)=ex(x2−2x−1)(其中e是自然对数的底数)在点(1,f(1))处的切线方程是( )
A. x+y+1=0B. 2ex+y=0C. 3x+y+1=0D. 2ex+y+1=0
2.已知定义在(0,3]上的函数f(x)的图象如图，则不等式(x−1)⋅f′(x)0时，xf′(x)−f(x)1(a>0)图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是( )
A. (e,+∞)B. (0,1e)C. (1e,e)D. (1e,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数f(x)在R上可导，若f′(1)=1，则Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2
B. 已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，则x0=0
C. 若函数f(x)=−13x3+x2+1，则f(x)的极大值为1
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，则f′(2)=−94
10.函数y=(kx2+1)ex的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数f(x)=x(1−lnx)，下列选项正确的是( )
A. f(x)有最大值
B. f(3e)2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=12x2−2x−3lnx的单调递减区间为______．
13.设函数f(x)=x3−sinx+x+1，则满足f(x)+f(1−2x)1时，令g(x)=lnx−12(x2−1)，求证：f(x)>g(x)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：f(x)=ex(x2−2x−1)的导数为f′(x)=ex(x2−3)，
∴f′(1)=e(1−3)=−2e，又f(1)=−2e，
∴曲线f(x)=ex(x2−2x−1)在点(1,f(1))处的切线方程是y+2e=−2e(x−1)，
即2ex+y=0，
故选：B．
求得f(x)的导数，由导数的几何意义，代入x=0可得切线的斜率，求得切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由f(x)的图象可知在(0,1)上f(x)单调递增，f′(x)>0，x−10，不满足题意，
所以不等式(x−1)⋅f′(x)1，
故有aex0=lnx0a(x0>1)，即ex0+lna+lna=lnx0，
进而ex0+lna+lna+x0=x0+lnx0=elnx0+lnx0；
设φ(x)=ex+x，则φ(lna+x0)=φ(lnx0)，
又φ′(x)=ex+1>0恒成立，故φ(x)在R上单调递增，
所以lna+x0=lnx0，即lna=lnx0−x0，
令h(x)=lnx−x，x∈(1,+∞)，则h′(x)=1−xx