四川省成都市成都金苹果锦城第一中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．
3．选择题部分必须 用2B笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫来黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
A卷 （共100分）
第I卷 （选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 如果的相反数是1，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. -1D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】的相反数为，则，．
【详解】解：的相反数为
故选A．
【点睛】本题考查了相反数与平方．解题的关键在于求出的值．
2. 随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【详解】解：159万；
故选A．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，n为整数，是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. m3•m3=2m3B. 5m2n﹣4mn2=mn
C. （m+1）（m﹣1）=m2﹣1D. （m﹣n）2=m2﹣mn+n2
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，平方差公式，完全平方公式的计算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，不是同类项不能合并，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项正确，符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是正确掌握相关运算法则．
4. 如图，下列条件不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据有两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【详解】解：、，，
∴，故此选项不合题意；
、，，
∴，故此选项不合题意；
、，
，，
∴，故此选项不合题意；
、，不存在夹角相等，不能判定，故此选项符合题意．
故选：D．
5. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市2023年12月某五天的空气质量指数：34，28，35，61，27，则这组数据的中位数是（ ）
A. 34B. 28C. 35D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．将5个数字从大到小排列，找出中间的数即为中位数．
【详解】解：将5个数字从大到小排列为61、35、34、28、27，最中间为34．
所以中位数为34．
故选：A．
6. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，
共六种可能，
只有是“平稳数”
∴恰好是“平稳数”的概率为
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两
由题意得：
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）．
A. B. 当时，随的增大而减小
C. 点的坐标为D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得出该二次函数对称轴为直线，再根据点A坐标为，即得出，可判断C；结合A，B，C三点坐标可判断其图象开口向上，可判断A；根据对称轴为直线，图象开口向上，即得出当时，随的增大而增大，可判断B；根据图象开口向上，与轴交于点和点，即得出当时，，代入，即得出，可判断D．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∴，故C错误，不合题意；
∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴抛物线开口向上，
∴，故A错误，不合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，随的增大而增大，故B错误，不合题意；
∵二次函数的图象开口向上，与轴交于点和点，
∴时，，
∴，故D正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
第Ⅱ卷 （非选择题，共68分）
二、填空題（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 计算： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方运算，根据括号内每个因式都要进行乘方运算，即可作答．
【详解】解：
故答案为：
10. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵k>0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
∴>．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．
11. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A线段上，若，则与的面积之比为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：，
，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
则与的面积之比为
故答案为：．
12. 分式方程的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是关键，并注意检验．
13. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，，
由作图知平分，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简算术平方根以及绝对值、负整数指数幂、正弦值，再运算加减，即可作答．
（2）分别算出每个不等式，再取它们的公共部分的解集，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2）
由得
由得
则
解得
∴不等式组的解集为
15. 某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成了不完整统计图表．
学生周末家务劳动时长分组表
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）条形统计图中的___________，D组所在扇形的圆心角的度数是___________；
（2）已知该校有900名学生，根据调查结果，请估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？
（3）班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．
【答案】（1）
（2）666 （3）
【解析】
【分析】（1）由组的人数除以所占百分比得出这次抽样调查共抽取的学生人数，再运用D组人数除以总人数再与360度相乘，即可解决问题；
（2）由该校共有学生人数乘以周末家务劳动时长不低于1小时的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中两名男生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【小问1详解】
解：这次抽样调查共抽取的学生人数为：（名，
组人数为：（名，
条形统计图中的，
组所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：
【小问2详解】
解：（人，
答：估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中两名男生的结果有6种，
恰好选中两名男生的概率为．
16. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，

【答案】32米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，米，，然后设米，在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，米，，
设米，
在中，，米，
（米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
（米，
，
解得：，
米，
（米，
该风力发电机塔杆的高度约为32米．
17. 如图，中，，在边上取一点，以为圆心，为半径作圆，分别交、于点、，连接、，．
（1）求证：是的切线；
（2）若， ，求线段的长和的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线；
（2）作于点，则，由，证明，而，所以，可证明，则，因为，所以，则，由，得，设，得出，再根据勾股定理列式，计算出，则，所以，则，，求得．
【小问1详解】
证明：连接，
∵
，
∵，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
【小问2详解】
解：作于点，则，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
则
∵
∴
则
在中，
∴
解得（负值已舍去）
∴，
，
，
，
，，
，
的面积为10．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、等腰三角形的判定与性质、同角的补角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．与坐标轴交于C、D两点，连接、，已知，的面积为1．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）P是线段的中点，直线向上平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值；
（3）我们把只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为
（2）
（3）点M的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数综合，一次函数应用，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法，勾股定理等，熟练掌握新定义“直角等补形”是解题的关键．
（1）根据三角函数定义即可求得，设，根据三角形面积可得，再利用待定系数法即可求得反比例函数解析式．
（2）联立方程组可得，，进而可得，直线的解析式为，将直线向上平移b个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，过点A作交y轴于E，则，再由相似三角形性质即可求得答案．
（3）运用新定义“直角等补形”，分两种情况：当，时，当时，分别求得点M的坐标．
【小问1详解】
解：∵直线与坐标轴交于C、D两点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴一次函数的解析式为，
设，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵直线经过点，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为．
【小问2详解】
联立方程组，
解得：，，
∴，，
∵P是线段的中点，
∴，
∴直线的解析式为，
将直线向上平移个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，如图，
过点A作交y轴于E，则，
∵点P是线段的中点，
∴，
∵直线向上平移个单位将的面积分成两部分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，代入，
得．
【小问3详解】
根据“四边形是直角等补形”可知：四边形中只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角，当，时，如图，过点A、B分别作y轴，x轴的平行线交于点K，交y轴于L，则，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴，
当时，如图，过点B作轴于L，
则，，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，点M的坐标为或．
B卷
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 已知，则代数式的值为_________．
【答案】##3.5##3
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；
【详解】解：
＝
＝
＝
＝
＝．
，
移项得，
左边提取公因式得，
两边同除以2得，
∴原式＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 若方程的两根是的两条直角边的长，则这个三角形的斜边的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】由方程x2-3x+1=0的两根恰好是直角三角形的两条直角边的长，设两直角边为a，b，根据根与系数的关系解出a与b之间的关系式，根据勾股定理即可解出斜边的长．
【详解】设两直角边为a，b，
∵方程2x2−6x+3=0的两根恰好是直角三角形的两条直角边的长，
∴a+b=3，ab=1，
∴斜边长====.
故答案为.
【点睛】本题考查了根与系数的关系与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握根与系数的关系与勾股定理.
21. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（其中为常数且，则称点为点的“关联点”．已知点在反比例函数的图象上运动，且点是点的“关联点”，当线段最短时，点的坐标为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】考查反比例函数的图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质等知识，合理地把“坐标与线段的长”互相转化，是解决问题的关键，由于新定义一种概念，切实理解“关联点”的意义是解决问题的前提．由点是点的“关联点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段，此时最小，由可得出点的坐标．
【详解】解：设，
点是点的“关联点”，
，
点在函数的图象上，
，
即：或，
当点在直线上时，
设直线与轴、轴相交于点、，则、，
当时，线段最短，此时，
由，可得点；
设直线时，同理可得点；
故答案为：或．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称W为a到b时y的值的“极差”（即时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当时，W的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，由，从而可得抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，再由，从而，结合题意可得，结合二次函数的性质可得，当时，有最大值，最大值为；当时，有最小值，最小值为，故，进而可得的范围．
【详解】解：根据题意可得：，
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为．
，即与的差值为7，
．
，即，
．
．
当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为．
当时，有最小值，最小值为，
．
对称轴是直线．
当时，随的增大而增大．
当时，有最小值，最小值为4．
当时，有最大值，最大值为．
综上所述：．
故答案为：
23. 如图，在菱形中，，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，当线段的长度最小时，的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接延长到T，使得，连接．构造三角形的中位线，求出最小时，的位置，可得结论．
【详解】如图，连接延长到T，使得，连接．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴的最小值为
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴ ，
∵，的最小值为
∴与在同一直线上，即D,C,T三点共线
∵
∴
∴当点T在的延长线上时，值最小，即的值最小，如图2中，过点作于点J．
∴，
∴
∵
∴，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，解直角三角形，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.

（1）求与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【答案】（1）当时，；当时，
（2）选甲家商店能购买该水果更多一些
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论
【小问1详解】
解：当时，设，
将代入，得，
∴，
∴；
当时，设，将点，代入，得
，解得，
∴
【小问2详解】
当时，，解得；
当时，，解得，
∵，
∴选甲家商店能购买该水果更多一些．
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点P，与x轴交于点，B(点B位于点A左侧)，与y轴交于点C．
（1）求c与b之间的关系，并求出点P的坐标(用含b的代数式表示)；
（2）若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形，求b的值；
（3）在（2）的条件下，过点P作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点M，N(点M位于点N左侧)，探究直线是否过定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1），点P的坐标为
（2）
（3）直线一定经过定点，该定点的坐标为
【解析】
【分析】（1）把代入，即可得出，再运用配方法即可得出顶点坐标；
（2）令，可求得，根据抛物线的对称性可得出，得出是等腰直角三角形，即，再由是直角三角形，且，，即可推出，，进而得出，建立方程求解即可求得的值；
（3）过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，可证得，得出，设，，可证得，运用待定系数法可得直线的解析式为，即可得出直线一定经过定点．
【小问1详解】
解：把代入，得，
，
，
抛物线的顶点的坐标为；
【小问2详解】
在抛物线中，
令，得，
，
抛物线的对称轴为直线，点与点关于对称轴对称，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是直角三角形，且，，
，
，
，
，即，
；
【小问3详解】
由（2）得：，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点为，
如图，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，
则，
，
，
，
，
，
，
设，，
则，，
，，，，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
，
，
直线的解析式为，
故直线一定经过定点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，熟练运用相似三角形的判定和性质及待定系数法是解题关键．
26. 如图，在矩形中，，将线段绕点A逆时针旋转度得到线段，过点作的垂线交射线于点，交射线于点．
（1）[尝试初探]当点在延长线上运动时，与始终相等，且与始终相似，请说明理由；
（2）[深入探究]若，随着线段的旋转，点的位置也随之发生变化，当时，求的值；
（3）[拓展延伸]连接，当为等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用“”证明即可；
（2）连接，根据求出，，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当在的延长线上时，过点作于；当在上时．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴.
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴设，则，，，，连接，如图所示，
由勾股定理得，，
，
∴，
由（1）得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：分两种情况讨论，
①如图2，当在的延长线上时，过点作于，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
由勾股定理得，，
∴.
②如图3，当在上时，如图所示，
设，则，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
综上得，或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正切的定义，旋转的性质等知识，难度较大，灵活运用所学知识是解题关键．组别
（小时）