中考数学二轮复习冲刺第08讲 二次函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；
2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；
3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．
【知识导图】
【考点梳理】
考点一、二次函数的定义
一般地，如果（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．
考点二、二次函数的图象及性质
1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为．
2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．
3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．
②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．
③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧．
4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到．
将向上移动k个单位得：．
将向左移动h个单位得：．
将先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数的图象．
5. 几种特殊的二次函数的图象特征如下：
考点三、二次函数的解析式
1.一般式：(a≠0)．
若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值．
2.交点式（双根式）：．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．
3.顶点式：．
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．
4.对称点式：．
若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为
，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．
考点四、二次函数(a≠0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系
1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下．
2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧．
3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点．
考点五、二次函数的最值
1.如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，
即当时，．
2.如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内．
①若在此范围内，则：
当a＞0时，，
(此时，)；
当a＜0时，，
(此时，)．
②若不在此范围内，则：
当y随x的增大而增大时，(此时，)，
(此时，x＝x1)；
当y随x的增大而减小时，(此时，)，
(此时，x＝x2)．
考点六、二次函数与一元二次方程的关系
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
【典型例题】
题型一、应用二次函数的定义求值
例1．已知抛物线y=（m-1）x2+mx+m2-4的图象过原点，且开口向上．
（1）求m= 2，并写出函数解析式 y=x2+2x ；
（2）写出函数图象的顶点坐标 （-1，-1） 及对称轴 x=-1 ．
【变式】已知抛物线过原点，求m．
题型二、二次函数的图象及性质的应用
例2．已知点M(-2，5)，N(4，5)在抛物线，则抛物线的对称轴为________．
【变式1】如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积.
y
x
C
A
O
B
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

题型三、求二次函数的解析式
例3．抛物线的顶点为(2，3)，且与x轴的两个交点之间的距离为6，求抛物线解析式．
【变式】请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是___ _____．
题型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系
例4．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)(m≠1的实数)．其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C． 4个 D．5个
【变式】如图所示的二次函数的图象中，张凯同学观察得出了下面四条信息：
（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0.你认为其中错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
x
y
-1
1
O
1
题型五、求二次函数的最值
例5．二次函数的最小值为( )
A．-35 B．-30 C．-5 D．20
题型六、二次函数综合题
例6．如左图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助右图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．

【变式1】如图所示，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起。据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取≈7)
(3)运动员乙要抢到第二个落地点D，他应再向前跑多少米?(取≈5)
【变式2】已知关于x的一元二次方程 .（其中m为实数），
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
① 当k=m时，求m的值；
② 若记为y，求y与m的关系式；
（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.

【中考过关真题练】
一．选择题（共8小题）
1．（2022•资阳）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4B．或﹣C．﹣或4D．﹣或4
3．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1D．与直线y＝3x有两个交点
4．（2022•济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
5．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2022•淄博）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2022•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2022•济南）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1或m＞0B．＜m＜C．0≤m＜D．﹣1＜m＜1
二．填空题（共8小题）
9．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
10．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
11．（2022•六盘水）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ．
12．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 m．
13．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）
14．（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
15．（2022•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
16．（2022•荆门）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
18．（2022•德州）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ；
（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围： ；
（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+1（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+1（x≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；
（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2022•攀枝花）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ＝37°
的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：
（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
（3）若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
20．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
21．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；
（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．
25．（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【中考挑战满分模拟练】
一．选择题（共6小题）
1．（2023•武汉模拟）在二次函数y＝﹣x2+2x中，若函数值大于0，则结合函数图象判断x的取值范围是（ ）
A．x＜0或x＞2B．x＞0或x＜﹣2C．﹣2＜x＜0D．0＜x＜2
2．（2023•碑林区校级二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣（x﹣3）2+m（m是常数）上，若x1＜3＜x2，x1+x2＞6，则下列大小比较正确的是（ ）
A．y1＞y2＞mB．y2＞y1＞mC．m＞y1＞y2D．m＞y2＞y1
3．（2023•邢台一模）关于抛物线C1：y1＝2x2﹣1与C2：y2＝2（x﹣2）2﹣3，下列说法不正确的是（ ）
A．两条抛物线的形状相同
B．抛物线C1通过平移可以与C2重合
C．抛物线C1与C2的对称轴相同
D．两条抛物线均与x轴有两个交点
4．（2023•雁塔区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象过A（0，1），B（1，1），且当时，对应的函数值y＜0．若点P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数时，y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2
5．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，若x1+x2＞2，x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法判断
6．（2023•邢台一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，且OA＝5OB，下列结论不正确的是（ ）
A．abc＞0
B．b﹣4a＝0
C．a+b+c＞0
D．若m为任意实数，则am2+bm≤4a﹣2b
二．填空题（共11小题）
7．（2023•鼓楼区校级一模）东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价 元．
8．（2023•临川区校级一模）抛物线y＝x2﹣2x﹣1的顶点坐标为 ．
9．（2023•丰台区校级模拟）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
10．（2023•汉阳区校级一模）将抛物线y＝10（x+1）2﹣3向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式是 ．
11．（2023•蜀山区校级一模）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是﹣1和2，则抛物线y＝bx2﹣ax+c的对称轴为 ．
12．（2023•镇海区模拟）教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 m．
13．（2023•汉阳区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，y的取值范围为 ．
14．（2023•庐江县模拟）已知：抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）．
（1）此抛物线的对称轴为直线x＝ ；
（2）当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a＝ ．
15．（2023•定远县校级一模）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正确的结论有 ．
16．（2023•武汉模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（﹣1，0），下列结论：
①b＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
④m为任意实数，若c＝3a，则代数式am2+bm+c的最小值是﹣a．
其中正确的是 （填写序号）．
17．（2023•宁波模拟）如图，抛物线y＝ax2+5ax+4与x轴交于C、D两点，与y轴交于点B，过点B作平行于x轴的直线，交抛物线于点A，连结AD、BC，若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则a＝ ．
三．解答题（共9小题）
18．（2023•西安一模）如图，小明站在点O处练习发排球，将球从O点正上2m的A点处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣h）2+k．已知球与O点的水平距离ON为6m时，达到最高3m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）请确定排球运行的高度y（m）与运行的水平距离满足的函数关系式；
（2）请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由．
19．（2023•碑林区校级二模）如图所示，一小球M从地面上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，以过O的水平线为x轴，以过O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系，OA是一个坡度为的斜坡，若小球到达最高点的坐标为（4，8），（坡度：坡角的正切）
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）小球在斜坡上的落点A的垂直高度为 米；
（3）若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高6米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由．
20．（2023•雁塔区校级模拟）已知抛物线C1：y＝ax2+bx﹣3与x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）已知抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，过点C作CD∥x轴交抛物线C1于点D，P是抛物线C2上的一个动点，连接PB、PC、BC、BD．若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标．
21．（2023•雁塔区校级二模）如图，顶点为M的抛物线与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L1顶点M的坐标；
（2）平移抛物线L1得到新抛物线L2，使得新抛物线L2经过原点O，且与x轴另一交点为E，若△EAM为直角三角形，请求出满足条件的新抛物线L2的表达式．
22．（2023•武汉模拟）燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，武汉数学小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如表：
（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度；
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
23．（2023•海棠区一模）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，A（0，3），B（﹣1，0），将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝ax2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
24．（2023•碑林区校级模拟）已知抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、点B以及点C的坐标；
（2）将抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴的左交点为点D，与y轴的交点为点E，若∠EDO＝∠CBO，求m的值．
25．（2023•槐荫区模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若A（﹣1，0）且OC＝3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值；
（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别交于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，为定值，请直接写出该定值．
26．（2023•琼山区一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，且点D是它的顶点，在y轴上有一点C（0，﹣1）．
（1）求出抛物线的解析式及直线AB的解析式；
（2）点E在直线AB上运动，若△BCE是等腰三角形时，求点E的坐标；
（3）设点N是抛物线上一动点，若S△BDN＝S△BDO，求点N的坐标．
【名校自招练】
一．选择题（共3小题）
1．（2022•九龙坡区自主招生）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（ ）
①abc＞0；
②4a+b＞0；
③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2＜0，则y1＜y2＜0；
④若抛物线的对称轴是直线x＝3，k为任意实数，则a（k﹣3）（k+3）≤b（3﹣k）；
⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．
A．5B．4C．3D．2
2．（2022•温江区校级自主招生）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法不正确的是（ ）
A．abc＜0
B．2a﹣b＝0
C．3a+c＝0
D．若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，y1＞y2
3．（2022•北碚区自主招生）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，给出下列四个结论：
①b＜0；②关于x的方程ax2+bx+c＝n的两个根是﹣1和2；③m+2n＜10；④t（at+b）≥﹣（t为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共8小题）
4．（2022•温江区校级自主招生）把抛物线y＝﹣2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的表达式为 ．
5．（2022•南陵县自主招生）已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝2对称，设x＝1，2，4时对应的函数值依次为y1，y2，y4，那么y1，y2，y4的大小关系是 ．（用“＜”连接）
6．（2022•相城区校级自主招生）设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．则关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为 ．
7．（2022•温江区校级自主招生）若二次函数y＝2x2﹣3x+c与x轴有两个不同交点，则c的取值范围是 ．
8．（2022•海曙区自主招生）在平面直角坐标系中，同时满足下列两个条件的点的坐标为 ．
（1）直线y＝﹣2x+3通过这样的点；
（2）不论m取何非零实数值，抛物线y＝mx2+（2m﹣1）x﹣3m都不通过这样的点．
9．（2022•相城区校级自主招生）已知二次函数y＝ax2+c的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（﹣2，p），B（1，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 ．
10．（2022•瓯海区校级自主招生）已知二次函数y＝x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且|m|+|n|≤1．设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则|p|+|q|＝ ．
11．（2022•鄞州区校级自主招生）已知关于x的方程x2+2bx+3c＝0的两个根分别是x1＝，x2＝，若点A是二次函数y＝x2+2bx+3c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为 ．
三．解答题（共15小题）
12．（2022•瓯海区校级自主招生）已知二次函数f（x）＝x2﹣16x+q+3．
（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．
13．（2022•长寿区自主招生）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积．
（3）若点P在x轴下方的抛物线上．满足S△PCD＝S△BCD，求点P的坐标．
14．（2022•南陵县自主招生）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系为q＝﹣2v2+120v．
（1）当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（2）已知q，v，k满足q＝vk．
①市交通运行监控平台显示，当18≤v≤28该路段不会出现交通拥堵现象．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段不会出现交通拥堵现象；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，当d＝25米时请求出此时的速度v．
15．（2022•九龙坡区自主招生）在脐橙丰收时，为了减少脐橙的库存，某脐橙销售公司决定开发市场增加销售点进行销售，经销售发现，脐橙的每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+3000，销售单价不低于6元/kg且不高于20元/kg．当每日销售量低于2000kg时，该脐橙的成本价格为6元kg，当每日销售量不低于2000kg时，该脐橙的成本价格5元/kg，设该公司销售脐橙的日获利为w（元）．
（1）求该公司销售脐橙的日获利w与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种脐橙日获利最大？最大利润为多少元？
16．（2022•瓯海区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点O和点P．
（1）求c，b（用t的代数式表示）；
（2）抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线x＝1和x＝5分别交于M，N两点，当t＞1时，
①在点P的运动过程中，你认为sin∠MPO的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出sin∠MPO的值；
②△MPN的面积S与t的函数关系式；
③是否存在这样的t值，使得以O，M、N，P为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．
17．（2022•巴南区自主招生）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，A（﹣4，0），B（12，0），C（0，﹣6）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，过点P作PE∥BC交x轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移3个单位，得到新抛物线y'，点F为y'的对称轴上任意一点，若以点B、C、F为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出符合条件的点F的坐标．
18．（2022•北碚区自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且OC＝OB＝3OA，点D为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC下方该抛物线上任意一点，点E为直线BC与该抛物线对称轴的交点，求△PBE面积的最大值；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CB的方向平移2个单位后得到新抛物线y'，新抛物线y′的顶点为D'，过（2）问中使得△PBE面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线y'于点M．在新抛物线y′的对称轴上是否存在点N，使得以点P，D'，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P为直线BC上方的抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）上任意一点，PH⊥BC，垂足为H，求线段PH长的最大值；
（3）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
20．（2022•南岸区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2向上平移4个单位，向右平移1个单位得新抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0），新抛物线交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．
（1）求a，b，c的值；
（2）如图1，点P为直线BC上方新抛物线上一动点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q．当PQ取最大值时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，PQ取最大值时，PQ交新抛物线的对称轴于点M，直线BC交新抛物线的对称轴于点N．把Rt△MNQ绕点N逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到Rt△M′NQ′．在旋转过程中，当Rt△M′NQ′的直角边与直线AC平行时，求直角顶点M′的坐标．
21．（2022•九龙坡区自主招生）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B分别位于原点的左右两侧，且BO＝3AO＝3．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．记△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，若S1：S2＝1：2，求点P的坐标；
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2022•相城区校级自主招生）已知，如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AD经过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且点E的横坐标为5，连接AC．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图2，点F为第一象限内抛物线上的动点，过点F作FG∥y轴交直线AD于点G，过点F作FH∥AC交直线AD于点H，当△FHG周长最大时，求点F的坐标．此时，点T为y轴上一动点，连接TA，TF，当|TA﹣TF|最大时求点T的坐标；
（3）如图3，点F仍为第一象限内抛物线上的动点，如（2）中条件得△FHG，边FH交x轴于点M，点N为线段FG上一动点，将△FMN沿着MN翻折得到△PMN，当△PMN与△FGH重叠部分图形为直角三角形，且PM＝PG时，求线段FN的长．
23．（2022•温江区校级自主招生）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB＝4，与y轴交于点C，E为抛物线的顶点，且tan∠ABE＝2．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）已知P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，若S△EAP＝3S△EMN，求点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿y轴翻折得到一个新抛物线，A点的对应点为点F，过点C作直线l与新抛物线交于另一点M，与原抛物线交于另一点N，是否存在这样一条直线，使得△FMN的内心在直线EF上？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
24．（2022•渝北区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（1，0），且tan∠OAC＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M为直线AC下方抛物线上一点，过点M作MD∥y轴交AC于点D，求MD+DC的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，连接BC，将△BOC绕着点A逆时针旋转60°得到△B'O'C'，将抛物线y＝ax2+bx﹣沿着射线CB方向平移，使得平移后的新抛物线经过O'，H是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点P，使以点B'，C'，H，P为顶点的四边形是以B'C'为边的菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022•工业园区校级自主招生）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD、PE、DE．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数．并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．
26．（2022•渝中区校级自主招生）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，过点B作BC的垂线，交对称轴于E．
（1）如图1，点P为第一象限内的抛物线上一动点，当△PAE面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；
（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D'，点A的对应点A'，设原抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面上找一点G，使得以A'、D'、F'、G为顶点的四边形为菱形．直接写出D′的坐标．
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0，0)
(轴)
(0，)
(，0)
(，)
()
的图象
的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，1），B（1，﹣2），．
求该二次函数的解析式．
飞行时间t/s
0
0.5
1
4.5
……
飞行高度h/m
2
9.5
16
33.5
……
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
﹣2
﹣2
n
…