江西省吉安市多校联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册，选择性必修第二册第一章第1节~第3节.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列中数据特征得到通项公式.
【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，
数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是．
故选：B．
2. 对于变量，有以下四个散点图，由这四个散点图可以判断变量与成负相关的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据各图中点的分布，分析变量的相关关系即可.
详解】A：各点分布没有明显相关性，不符；
B：各点分布在一条直线附近，且有负相关性，符合；
C：各点分布在一条抛物线附近，变量之间先呈正相关，后呈负相关，不符；
D：各点分布在一条直线附近，且有正相关性，不符.
故选：B
3. 已知等比数列满足，，则数列前7项的和为（ ）
A. 256B. 255C. 128D. 127
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列通项公式，建立基本量的方程组求解，再应用前项和公式即可得.
【详解】设等比数列的公比为，因为，，
可得解得，，
所以数列前项的和.
故选：D.
4. 已知随机变量，则（ ）
注：若，则.
A. 0.3413B. 0.4772C. 0.1359D. 0.06795
【答案】C
【解析】
【分析】求出和即可求出.
【详解】因为，
，
所以.
故选：C.
5. 已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值.
【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，
所以.
所以，所以（当且仅当时等号成立）.
所以.
即的最小值为1.
故选：A
6. 已知点和圆，一束光线从点P出发，经过直线反射后到达圆C上一点的最短路程是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】求出点关于直线对称点的坐标，然后根据最短路程为即可得解.
【详解】解：设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以点关于直线的对称点为，
由题可知圆的圆心为，半径，
最短路程即为．
故选：B．
7. 已知，数列的前项和为，则（ ）
A. 8096B. 8094C. 4048D. 4047
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中条件可知，倒序相加求和即可.
【详解】由，
得,
,
又，
所以，
所以.
故选：D.
8. 将字母放入的表格中，每个格子各放一个字母，若共有行字母相同，则得分，则所得分数的均值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出随机变量的可能取值，再结合排列、组合及古典摡型的概率求得各个值对应的概率，利用期望的公式，即可求解.
【详解】字母放入的表格中的不同结果有种，
随机变量的可能的取值为，
可得，
则，
所以随机变量的期望为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 公式中的和不具有线性相关关系
B. 已知变量的对数据为，则回归直线可以不经过点，其中
C. 若相关系数绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D. 对于变量与的统计量来说，越大，判断“与有关系”的把握越大
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，根据线性相关的定义进行判断；B选项，回归直线一定经过样本中心点；C选项，由相关系数的性质进行判断；D选项，根据的定义判断D正确.
【详解】A选，公式中的和为二次函数关系，故不具有线性相关关系，A正确；
B选项，回归直线一定经过样本中心点，即，B错误；
C选项，若相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C正确；
D选项，对于变量与的统计量来说，越大，判断“与有关系”的把握越大，D正确.
故选：ACD
10. 已知随机事件的对立事件分别为，若，则（ ）
A.
B.
C 若独立，则
D. 若互斥，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件概率的性质及独立事件、互斥事件的概念，逐个分析判断即可.
【详解】对于A，，所以A正确；
对于B，，所以B错误；
对于C，若独立，则，
所以，所以C正确，
对于D，若互斥，则，
所以，，
所以，所以D正确，
故选：ACD
11. 已知数列满足，，数列的前项和为，记，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接求出的值，可判断A选项；推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可判断B选项；分、两种情况讨论，求出数列的通项公式，可判断C选项；分、两种情况讨论，利用奇偶分组求和法可判断D选项.
【详解】因为数列满足，，
则，，A错；
因为+2，所以，
又因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，B对；
当时，，
当时，，
所以，故C正确；
当时，
，
当时，
，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的常数项为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式计算,即可得出答案.
【详解】的展开式的通项公式，
当即时，
故的展开式中的常数项为.
故答案为：
13. 2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率公式和全概率公式结合题意求解即可.
【详解】设事件为“这个人患流感”，事件分别表示这个人选自三个地区，
则由已知得，
，
所以由全概率公式得
,
故答案为：
14. 已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2024项的和为__________.
【答案】7891
【解析】
【分析】依题意，确定数列的前2024项所包含数列的项，以及中间插入2的数量即可求和.
【详解】在数列中，在的前面的所有项的项数为，
当时，，即在的前面的所有项的项数为2015，又在与之间共有63个2，
所有数列的前2024项中包含数列的项有63项，中间插入2的数量为，
所有数列的前2024项和为.
故答案为：7891.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用，得到，从而说明是公差为2的等差数列，利用等差数列的基本量计算即可;
（2）表示出，利用裂项相消法，计算证明即可.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，
所以是公差为2的等差数列，
又，所以，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
.
又，所以.
16. 如图1，在矩形中，，点分别是上一点，且，过点作于点，将剪掉，并将四边形沿直线折叠，使（如图2），连接，取的中点，连接.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】16.
17.
【解析】
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系利用空间向量法求解线面角；
（2）利用空间向量法即可求解面面角.
【小问1详解】
根据题意，两两互相垂直，如图以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
，所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
，设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问2详解】
设平面的一个法向量，又，，
则，令，则，，
，又面的一个法向量为，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
17. 在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，点，分别在轴和轴上运动，点关于的对称点为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点的直线与点的轨迹交于，两点，，求直线，的斜率之和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，，，由题意可得为的中点，然后利用中点坐标公式可得，，再由结合向量的数量积可求出动点的轨迹方程；
（2）由题意设直线的方程为，，，表示出和，再将直线方程代入抛物线方程，化简后利用根与系数的关系，然后计算化简与的和即可.
【小问1详解】
设，，，由点关于的对称点为，得为的中点，
所以，，
即，.
又，所以，即，
化简，得，
又，不重合，所以，，
故动点的轨迹方程为.
【小问2详解】
由题意知直线的斜率存在，故设直线的方程为，，，
则，，
由，得，
所以，，，
所以.
18. 某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生：
女生：
学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．
（1）由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？
（2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）列联表见详解；没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据统计表完成列联表，再根据独立性检验公式算出卡法，判定是否独立；
（2）根据题意可得男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则抽取的男生人数为服从超几何分布，再根据公式算出分布列及期望即可．
【小问1详解】
依统计表可得列联表如下：
则，
故没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联．
【小问2详解】
男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则为0，1，2，3．
则，
，
，
，
所以的分布列为
故
19. 冗余系统是指为增加系统的可靠性，而采取两套或两套以上相同､相对独立配置的设计.冗余系统因为前期投入巨大，后期的维护成本高，所以只有在高风险行业应用比较广泛，如：金融领域､核安全领域､航空领域､煤矿等领域.某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，升级后的设备控制系统由偶数个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于一半的元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行.记有个元件组成时设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由4个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由6个元件组成时设备正常运行的概率）.
（1）若，求；
（2）已知升级后的设备控制系统原有个元件，现再增加2个相同的元件，若对都有，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)正常工作的元件个数X服从于二项分布，利用概率公式求；
(2)分情况讨论原系统中正常工作的元件个数，计算，由求的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3，4，
因为各元件之间相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
【小问2详解】
若控制系统增加2个元件，则现在有个元件，至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作，
设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为，
第二类：原系统中恰好有n个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为，
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为，
所以
因为对，都有，所以对恒成立，
即对恒成立.
由，当时，所以，所以p的取值范围是.
评分分组
70分以下
人数
3
27
38
32
评分分组
70分以下
频数
5
35
34
26
满意
不满意
总计
男生
女生
总计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
满意
不满意
总计
男生
70
30
100
女生
60
40
100
总计
130
70
200
0
1
2
3
P