湖南省部分学校2024届高三上学期第三次联考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省部分学校2024届高三上学期第三次联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知命题,,则p的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
2．定义集合.已知集合，，则元素的个数为( )
A.3B.4C.5D.6
3．已知函数的图象在处的切线的斜率为，则( )
A.的最小值为6B.的最大值为6
C.的最小值为4D.的最大值为4
4．已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为( )（参考数据：取）
A.万元B.万元C.万元D.万元
5．设函数的定义域为R,且是奇函数,是偶函数,则( )
A.B.C.D.
6．设,,且,则( )
A.B.C.D.
7．已知函数,,则“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．对称性是数学美的一个重要特征,几何中的轴对称,中心对称都能给人以美感,激发学生对数学的兴趣.如图,在菱形ABCD中,,,以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆,P是四个半圆弧上的一动点,若,则的最大值为( )
A.B.3C.5D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.的最小值为1B.,
C.D.
10．若正项数列是等差数列,且,则( )
A.当时,B.的取值范围是
C.当为整数时,的最大值为29D.公差d的取值范围是
11．若函数的定义域为D,对于任意,都存在唯一的,使得,则称为“A函数”,则下列说法正确的是( )
A.函数是“A函数”
B.已知函数,的定义域相同,若是“A函数”,则也是“A函数”
C.已知,都是“A函数”,且定义域相同,则也是“A函数”
D.已知,若,是“A函数”,则
12．定义在上的函数的导函数为,且恒成立,则( )
A.
B.,函数有极值
C.
D.,函数为单调函数
三、填空题
13．设向量在向量上的投影向量为,则____________.
14．若,,则________________.
15．如图，已知平面五边形的周长为12，若四边形为正方形，且，则当的面积取得最大值时，______.
四、双空题
16．若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是________，这50个整数元素之和为________.
五、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F，M分别是PB，CD，PD的中点.
（1）证明：平面PAD.
（2）求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值.
19．已知数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
20．某商场在6月20日开展开业酬宾活动.顾客凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个号码，第1个号码为a，第2个号码为b.设X是不超过的最大整数，顾客将获得购物金额X倍的商场代金券（若，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用.
（1）已知某顾客抽到的a是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；
（2）求X的数学期望.
21．以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点，.
（1）求椭圆的方程.
（2）设P是椭圆上一点（异于C，D），直线，与x轴分别交于M，N两点.证明在x轴上存在两点A，B，使得是定值，并求此定值.
22．已知函数有两个零点，.
（1）求a的取值范围；
（2）证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为命题,,则其否定为,.
故选：A.
2．答案：B
解析：因为，，
所以，故的元素的个数为4.
故选：B.
3．答案：C
解析：，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为4.
故选：C.
4．答案：D
解析：设第年的销售额为万元，
依题意可得数列是首项为a，公比为的等比数列，
则该公司从第1年到第11年的销售总额为万元.
故选：D.
5．答案：C
解析：因为是奇函数,所以,则.
又是偶函数,所以,所以.
故选：C.
6．答案：A
解析：因为,
所以,
所以,
即.
又,,
所以,即
或,即（舍去）.
故选：A.
7．答案：A
解析：令,得,
所以曲线关于直线对称.
令,得,
所以曲线关于直线对称.
因为
所以“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的充分不必要条件.
故选：A.
8．答案：A
解析：连接AC.
若,则,
若不为零,则,这与题设矛盾,若为零,则P与D重合.
若,则,
设,故,且S,A,C三点共线.
由对称可知只需考虑P在,对应的半圆弧上.
当P在对应的半圆弧上（除D外）时,S总在的延长线上,
故此时.
当P在对应的半圆弧上,S总在之间,故此时
建立如图所示的平面直角坐标系,
则,,,
设,
当时,,而,
此时.
当时,则,
由可得,
故
. ,
当时,.
综上,
故选：A.
9．答案：ACD
解析：,当且仅当时,取得最小值1,A正确.
因为当且仅当时,取得最小值,且最小值为1,所以,所以,B错误.
因为,所以,又,且在上单调递减,在上单调递增,所以,C正确.
因为,所以,所以,D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：当时,公差,,A正确.
因为是正项等差数列,所以,即,且,
所以公差d的取值范围是,D错误.
因为,所以的取值范围是,B正确.
,当为整数时,的最大值为29,C正确.
故选：ABC.
11．答案：BD
解析：对于选项A,当时,,此时不存在,使得.A不正确;
对于选项B,由,的定义域相同,若是“A函数”,则对于任意,都存在唯一的,使得,则对于任意,都存在唯一的,使得,所以也是“A函数”.B正确;
对于选项C,不妨取,,,
令,则,
故不是“A函数”.C不正确;
对于选项D,因为,,是“A函数”,
所以在上恒成立.又,所以,且,
即对于任意,都存在唯一的,使得,
因为,所以,
即
由解得.D正确.
故选：BD
12．答案：AD
解析：解法一：设函数,
则,
所以在上单调递减,故B错误,D正确.
从而,即,
因为,所以,,
所以,故C错误,A正确.
解法二：取,满足且,
则,
,函数为单调函数.
故选：AD.
13．答案：1
解析：向量在向量上的投影向量为,
则,解得.
故答案为：1.
14．答案：
解析：因为,所以,所以,
因为,,所以,,
所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：过点C作，垂足为F.设，则，
，，则，
由，，得.
在中，.
记的面积为S，则.
设函数，则，
令，得或.当时，；
当时，.故当时，取得最大值，
则S取得最大值，此时.
故答案为：.
16．答案：；或1625
解析：不等式等价于不等式.
当时，的解集为，不合题意；
当时，的解集为，
则50个整数解为，，…，5，6，
所以，这50个整数元素之和为；
当时，的解集为，
则50个整数解为8，9，…，56，57，所以，
这50个整数元素之和为.
综上，a的取值范围是，这50个整数元素之和为或1625.
故答案为：；或1625.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以.
又，所以.
因为，所以.
又，所以，.
（2）的面积，则.
由，得，
所以，故的周长为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：取PA的中点N，连接EN，DN，
因为E是PB的中点，所以，.
又底面ABCD为正方形，F是CD的中点，
所以，，
所以四边形ENDF为平行四边形，所以.
因为平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD.
（2）以A为坐标原点，
AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，.
从而，，.
设平面AMF的法向量为，则，令，得.
设平面EMF的法向量为，则，令，得.
.
故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）当时,.
当时,,
即,
当时,上式也成立,
所以.
当时,也符合,所以.
（2）由（1）知.
,
,
则,
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，该顾客能获得代金券.设“a是偶数”为事件A，“”为事件B，
则，
，所以，
所以当顾客抽到的a是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为.
（2）X可能的取值为0，1，2，3.
当时，，则.
当时，，若，则.
对每一个a，b有种不同的取值，则共有种可能的取值.
若，对每一个a，b有种不同的取值，
则共有种可能的取值，
所以.
当时，.
若，则.对每一个a，b有种不同的取值，
则共有种情况.
若，则，共有6种可能的取值.
所以.
当时，，
只有，，这3种情况，
所以.
所以.
21．答案：（1）
（2）证明见解析，定值为
解析：（1）设椭圆方程为，则，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，，，，
则，，
由，得，而，于是，
，，
同理，而，
于是，
则，，
，
令，
而是椭圆上的动点，则，
得，，
于是，
所以存在和，使得是定值，且定值为.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）令，得，则，
即，
令函数，则，
因为在R上单调递增，所以，即.
令函数，则，
令，得，
，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以.
因为当x趋近于0时，趋近于；
当x趋近于时，趋近于，
依题意可得方程有两个不相等的正根，所以，
即a的取值范围是.
（2）证明：令函数，则，
所以在上单调递减.
因为，所以当时，；
当时，.
不妨假设，则由（1）知
，所以，，
即，，
所以由有两个不相等的正根，，且得
，则，，则，即，
所以，
因为，所以.