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新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点2-3 指数函数、对数函数与幂函数10大题型
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这是一份新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点2-3 指数函数、对数函数与幂函数10大题型，文件包含热点2-3指数函数对数函数与幂函数10大题型原卷版docx、热点2-3指数函数对数函数与幂函数10大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点2-3 指数函数、对数函数与幂函数10大题型
指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
一、指数幂运算的一般原则
1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。
二、对数运算常用方法技巧
1、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。
2、对数运算中的几个运算技巧
（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；
（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；
（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。
三、指数型复合函数值域的求法
1、形如（，且）的函数求值域
换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
2、形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
四、对数型复合函数值域的求法
1、形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。
2、形如（，且）的函数的值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。
【题型1 指数幂与对数式化简求值】
【例1】（2022·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）若，，则______．
【答案】0
【解析】依题意，；
而，则；
因为函数在定义域内单调递增，故，故，
则，
故．
【变式1-1】（2022秋·宁夏·高三六盘山高级中学校考阶段练习）计算：______.
【答案】4
【解析】
【变式1-2】（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）若函数（，且），则（ ）
A．1010 B．1011 C．2022 D．2023
【答案】B
【解析】由，得，
设，
则.
两式相加，得，所以.故选：B
【变式1-3】（2022秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由换底公式和对数运算的性质，
原式，
∵，∴，
∴原式，
∵，，∴，，∴，，
∴由基本不等式，
当且仅当，即时，等号成立，
∴原式.
∴当且仅当时，的最小值为.
【变式1-4】（2022秋·宁夏银川·高三校考期中）计算化简：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【变式1-5】（2022秋·陕西西安·高三校考期中）化简求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）100；（2）1
【解析】（1）原式，
（2）原式.
【题型2 指对幂函数的定义与解析式】
【例2】（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（ ）条件
A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】命题p真，则，解得或2，
又，∴；q为真，则或2，∴q是p的必要不充分条件.故选：C．
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）函数是以a为底数的对数函数，则等于
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 为对数函数，所以函数系数为1，即即或，
因为对数函数底数大于0，
所以，，所以．
【变式2-2】（2022秋·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【解析】因为是幂函数，所以，解得或，
又因为在上单调递减，则.故选：A
【变式2-3】（2022·上海崇明·统考一模）若对数函数且）的图象经过点，则实数______.
【答案】2
【解析】将点代入得，解得
故答案为：2.
【变式2-4】（2022秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考期中）若幂函数的图像过点，则______.
【答案】
【解析】设，将代入，，解得：，
故，.
【题型3 指对幂函数的图象问题】
【例3】（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】 是单调递增的函数，经过，渐近线为 ，
当 时， ， ，渐近线为 ，
所以图像如下图：故选：B.
【变式3-1】（2022·上海长宁·统考一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若，为增函数，且，与图象不符，
若，为减函数，且，与图象相符，所以，
当时，，结合图象可知，此时，
所，则，所以，故选:C.
【变式3-2】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（ ）
A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③②
【答案】C
【解析】令，解得；
令，解得；
令，解得，
即当时，对应的底数越大，图象越靠近x轴
故，，的图象所对应的编号依次为③②①.故选：C
【变式3-3】（2022秋·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为幂函数在上单调递减，
所以且，解得，所以，
则，
令，解得，，可得的图象过定点.故选：C.
【变式3-4】（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【解析】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，
又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.故选：D
【变式3-5】（2022秋·广东江门·高三新会陈经纶中学校考阶段练习）已知函数的图像恒过点，点在直线上．则的最小值为_________.
【答案】
【解析】对于函数，令可得，所以函数恒过定点，
又点在直线上，所以，所以，
因为，所以且，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4.
【题型4 指对幂函数的单调性】
【例4】（2022秋·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考开学考试）若（且）在R上为增函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当且，函数与在R上有相同的单调性，
即函数与函数在R上有相同的单调性，因此函数在R上单调递增，
当，在中，，解得或，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.故选：B
【变式4-1】（2022秋·北京·高三北京四中校考阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，即，解得，
即的定义域为；
又在单调递减，在单调递增，
在为单调增函数，
故在单调递减，在单调递增.故选：D.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，的对称轴为，
则在上递减，在上递增，
当时，在定义域内递减，所以在上递增，在上递减，
因为在上单调递增，所以，不等式无解，
当时，在定义域内递增，所以在上递减，在上递增，
因为在上单调递增，所以，解得，
综上，实数的取值范围为，故选：C
【变式4-3】（2022秋·贵州毕节·高三校联考阶段练习）已知，且，函数是定义域内的增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是定义域内的增函数，，且，
所以，解得，故选：B.
【变式4-4】（2022秋·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】为减函数，
又在区间内为增函数，则，
且当时，恒成立，所以，解得，
则，故选：B.
【变式4-5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】令，则，
由于且，内层函数在区间上为减函数，
所以外层函数为增函数，所以．
由题意可知，不等式对任意的恒成立，
所以，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
【题型5 指对幂函数的奇偶性】
【例5】（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）（多选）已知函数，函数，则下列命题正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】ABD
【解析】因为的定义域为R，且，
故为奇函数，
由，解得：，故的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，
因为的定义域为，且，
所以为偶函数，A正确；
因为的定义域为，且，
故为奇函数，B正确，C错误，
的定义域为，且，
故为偶函数，D正确.故选：ABD
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】函数为奇函数且，则，
所以，故．故选：A
【变式5-2】（2022秋·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知为奇函数，则____________.
【答案】
【解析】由题意得，且函数的定义域为R，
所以，
整理，得，即，解得，
经检验，符合题意.
【变式5-3】（2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.
（1）求和的值；
（2）求在上的解析式.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）满足，
，.
（2）由题意知，.当时，.
由是奇函数，
，
综上，在上，
【题型6 指对幂函数的定义域】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，，即，
，解得：且，
的定义域为.故选：.
【变式6-1】（2022·浙江·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对选项，则有：；对选项，则有：
对选项，定义域为：；对选项，则有：；故答案选：
【变式6-2】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）函数的定义域是_______．
【答案】且
【解析】由题知：且.
故答案为：且.
【变式6-3】（2022秋·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】由题意可得函数需满足 ，解得 ，
故函数的定义域为.
【变式6-4】（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）若函数的定义域为，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，即恒成立，
当时，符合题意；
当时，有，解得.
综上可得的取值范围是.
【题型7 指对幂函数的值域】
【例7】（2022秋·福建莆田·高三莆田第五中学校考期中）函数 (且)的图象过点和.
（1）求函数的解析式；
（2）令，求的最小值及取得最小值时x的值.
【答案】（1）；（2）当时，函数取得最小值1.
【解析】（1）由得解得，
故函数解析式为.
（2）.
∵＝＝.
当且仅当，即时，等号成立.
而函数在上单调递增，则，
当时，函数取得最小值1.
【变式7-1】（2021秋·陕西延安·高三子长市中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿､欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，
由，，，，，即，
当时，，当时，，
故的值域为，故选：B.
【变式7-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）若函数()的值域是，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，，
若，当时，则，与函数的值域为不符，
若，当时，则，又函数的值域为，
所以，又所以，
综上，实数 的取值范围是.故选：A.
【变式7-3】（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为有最小值，
当时，，显然在上单调递增，且，
即在上没有最小值；
当时，，易知在上必有最小值，
因为开口向上，对称轴为，
当时，，易知，
故不是在上的最小值，则在上没有最小值，不满足题意；
当时，，
要使得是在上的最小值，则，即，
解得或，所以；
综上：，即.故选：B.
【变式7-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．
（1）当时，求在上的最大值与最小值；
（2）求在上的最小值．
【答案】（1）最大值为3，最小值为．；（2）
【解析】（1）设（，且），
∵的图像过点，
∴，即，
∴，即，∴．
∵，∴，即．
设，则，，
∴，
又，，
∴．
∴当时，在上的最大值为3，最小值为．
（2）设，则，
由（1）知，对称轴为直线．
①当时，在上是增函数．；
②当时，在上单调递减，在上单调递减，；
③当时，在上单调递减，．
综上所述，．
【题型8 指数式与对数式比较大小】
【例8】（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，由定义域可知，故，
∵在定义域上单调递减，，，
∵，∴，
∵，∴，
故，则，，
又，由定义域可知：，
又∵，∴，则，，故，
∵，，∴，，
.故选：B.
【变式8-1】（2021·天津宁河·天津市宁河区芦台第一中学校考一模）已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，在是增函数，
，又为偶函数，，
，即.故选：A.
【变式8-2】（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，，即：，又，所以；
，
，，所以：.故选：C.
【变式8-3】（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
而，且，所以.
又，所以，故选：A.
【变式8-4】（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，．故选：D．
【变式8-5】（2022秋·浙江金华·高三校联考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
由于，
，
取等条件应为，即，而，故，
，
取等条件为，即，而，故，所以.故选：A.
【题型9 指数式与对数式解不等式】
【例9】（2022·全国·高三专题练习）若，试求的取值范围.
【答案】
【解析】∵，∴或或解得或.
故的取值范围是.
【变式9-1】（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知函数，若，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】定义域为，且，
所以不等式即，
又因为在上单调递增，
所以，解得.故选：B.
【变式9-2】（2022秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知偶函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，单调递增，
又为偶函数，，故，
所以，解得：.故选：C
【变式9-3】（2022·四川自贡·统考一模）已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
因为，，
∴为奇函数，
又因为，由复合函数单调性知为的增函数，
∵，则，
∴，，
∴，解得或，故故选：D.
【变式9-4】（2022秋·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）已知（其中）则关于x的不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】，且，解得：，
又，由，且，解得：，
与取交集得：，
由得：，
即，
因为在定义域内单调递增，
所以，整理得：，
因为，所以，解得：，
综上：，即不等式解集为.
【变式9-5】（2022·全国·高三专题练习）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______
【答案】
【解析】由题意，不妨设，
因为幂函数过点，则，解得，
故为定义在上的奇函数，且为增函数，
因为，则，
故，解得，
从而实数的取值范围是.
【题型10 反函数及其应用】
【例10】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为的图像与函数的图像关于直线对称，
所以，所以，故A，B，D错误.故选：C.
【变式10-1】（2022·全国·高三专题练习）若满足，满足，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意，故有
故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.
根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
故曲线和曲线的图象交点关于直线对称.
即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，
即，求得x1+x2=5，故选：D.
【变式10-2】（2022·吉林长春·长春十一高校考模拟预测）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于直线对称的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设为的反函数图象上的任意一点，
则关于的对称点一定在的图象上，
又因为的图象与函数的图象关于直线对称，
所以关于直线的对称点在图象上，
所以必有，即，
所以的反函数为：故选：D
【变式10-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数的反函数图像经过点，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为函数图像经过点，
所以，解得，，
因为函数与函数互为反函数，
所以，.
【变式10-4】（2022·江苏·统考三模）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】分别为直线与和的交点的横坐标，
因为函数与函数互为反函数，
所们这两个函数的图象关于直线，
而直线、的交点是坐标原点，
故，，，，
，
，故故选：BCD.
（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）已知，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知，则，解得，
，
又，则，解得，，
则或，，，故选：C.
2．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以.故选：A.
3．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，
由解得或
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式的解集是.故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【解析】因为，，
所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；
所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
故选：D.
5．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，所以，故排除C，D，
当时，恒成立，排除A，故选：B．
6．（2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要比较，，中的大小，
等价于比较，，中的大小，
∵，由定义域可知，故，
∵在定义域上单调递减，，，
∵，∴，∵，∴，
故，则，，
，由定义域可知：，
又∵，∴，则，，故，
∵，，∴，，.故选：A.
7．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）（多选）已知函数，则（ ）
A．在上是增函数 B．的图象关于轴对称
C．的图象关于点对称 D．不等式的解集是
【答案】BD
【解析】对于A选项，当时，，
所以，函数在上为减函数，A错；
对于B选项，对任意的，则，
所以，的图象关于轴对称，B对；
对于C选项，因为，
故函数的图象不关于点对称，C错；
对于D选项，由，可得，
解得，可得，解得，
因此，不等式的解集是，D对.故选：BD.
8．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，
将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，
将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，
则函数的图象如图所示.
由图可得函数在区间上单调递增，A正确；
函数的图象关于直线对称，B正确；
若，但，若，关于直线对称，则，C错误；
函数有且仅有两个零点，D正确.故选：ABD.
9．（2023·全国·高三对口高考）已知，其中且，若，，则___________．
【答案】4
【解析】因为，，所以，
所以，所以，
所以，所以.
10．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）若，，那么使的x的值是______．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，∴，所以．
11．（2022·贵州·校联考一模）若，则a的值为___________．
【答案】1
【解析】原式
.
12．（2023·全国·高三对口高考）已知函数（a为常数）和函数，且为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）设不等式恒成立，试求实数的范围．
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）为奇函数，
，即，解得，经检验符合题意；
（2）由，得，则，
而，，，
，
实数的取值范围是.
13．（2021秋·上海静安·高三上海市第六十中学校考阶段练习）已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）已知，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）答案见解析
【解析】（1）令，则，
，，即，解得：，
即的值域为.
（2）为定义在上的增函数.
证明如下：任取，且，
则；
，，又，，，
∴为定义在上的增函数.
（3）为增函数且，
由得：，
即；
当时，不等式为，解得：；
当时，令，解得：，，
则当，即时，不等式的解为；
当，即时，不等式的解为；
当，即时，不等式的解为；
综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
14．（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知函数 .
（1）若，求函数的定义域；
（2）若，求证:.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）若，则函数，
要使函数有意义，则有，即 ，
所以 ，所以 ， 得，
所以函数 的定义域为.
（2）由柯西不等式， 得
由 ， 得， 所以，
所以 ，
所以 ， 即.
15．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数，.
（1）当时，求函数的值域
（2）如果对任意的，恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，，
设，，
，，故函数的值域为.
（2），即，
令，，对任意的恒成立.
对任意的恒成立，，设.
设，，故.
实数的取值范围为.
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点2-3 指数函数、对数函数与幂函数10大题型
指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
一、指数幂运算的一般原则
1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。
二、对数运算常用方法技巧
1、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。
2、对数运算中的几个运算技巧
（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；
（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；
（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。
三、指数型复合函数值域的求法
1、形如（，且）的函数求值域
换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
2、形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
四、对数型复合函数值域的求法
1、形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。
2、形如（，且）的函数的值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。
【题型1 指数幂与对数式化简求值】
【例1】（2022·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）若，，则______．
【答案】0
【解析】依题意，；
而，则；
因为函数在定义域内单调递增，故，故，
则，
故．
【变式1-1】（2022秋·宁夏·高三六盘山高级中学校考阶段练习）计算：______.
【答案】4
【解析】
【变式1-2】（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）若函数（，且），则（ ）
A．1010 B．1011 C．2022 D．2023
【答案】B
【解析】由，得，
设，
则.
两式相加，得，所以.故选：B
【变式1-3】（2022秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由换底公式和对数运算的性质，
原式，
∵，∴，
∴原式，
∵，，∴，，∴，，
∴由基本不等式，
当且仅当，即时，等号成立，
∴原式.
∴当且仅当时，的最小值为.
【变式1-4】（2022秋·宁夏银川·高三校考期中）计算化简：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【变式1-5】（2022秋·陕西西安·高三校考期中）化简求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）100；（2）1
【解析】（1）原式，
（2）原式.
【题型2 指对幂函数的定义与解析式】
【例2】（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（ ）条件
A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】命题p真，则，解得或2，
又，∴；q为真，则或2，∴q是p的必要不充分条件.故选：C．
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）函数是以a为底数的对数函数，则等于
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 为对数函数，所以函数系数为1，即即或，
因为对数函数底数大于0，
所以，，所以．
【变式2-2】（2022秋·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【解析】因为是幂函数，所以，解得或，
又因为在上单调递减，则.故选：A
【变式2-3】（2022·上海崇明·统考一模）若对数函数且）的图象经过点，则实数______.
【答案】2
【解析】将点代入得，解得
故答案为：2.
【变式2-4】（2022秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考期中）若幂函数的图像过点，则______.
【答案】
【解析】设，将代入，，解得：，
故，.
【题型3 指对幂函数的图象问题】
【例3】（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】 是单调递增的函数，经过，渐近线为 ，
当 时， ， ，渐近线为 ，
所以图像如下图：故选：B.
【变式3-1】（2022·上海长宁·统考一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若，为增函数，且，与图象不符，
若，为减函数，且，与图象相符，所以，
当时，，结合图象可知，此时，
所，则，所以，故选:C.
【变式3-2】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（ ）
A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③②
【答案】C
【解析】令，解得；
令，解得；
令，解得，
即当时，对应的底数越大，图象越靠近x轴
故，，的图象所对应的编号依次为③②①.故选：C
【变式3-3】（2022秋·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为幂函数在上单调递减，
所以且，解得，所以，
则，
令，解得，，可得的图象过定点.故选：C.
【变式3-4】（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【解析】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，
又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.故选：D
【变式3-5】（2022秋·广东江门·高三新会陈经纶中学校考阶段练习）已知函数的图像恒过点，点在直线上．则的最小值为_________.
【答案】
【解析】对于函数，令可得，所以函数恒过定点，
又点在直线上，所以，所以，
因为，所以且，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4.
【题型4 指对幂函数的单调性】
【例4】（2022秋·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考开学考试）若（且）在R上为增函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当且，函数与在R上有相同的单调性，
即函数与函数在R上有相同的单调性，因此函数在R上单调递增，
当，在中，，解得或，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.故选：B
【变式4-1】（2022秋·北京·高三北京四中校考阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，即，解得，
即的定义域为；
又在单调递减，在单调递增，
在为单调增函数，
故在单调递减，在单调递增.故选：D.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，的对称轴为，
则在上递减，在上递增，
当时，在定义域内递减，所以在上递增，在上递减，
因为在上单调递增，所以，不等式无解，
当时，在定义域内递增，所以在上递减，在上递增，
因为在上单调递增，所以，解得，
综上，实数的取值范围为，故选：C
【变式4-3】（2022秋·贵州毕节·高三校联考阶段练习）已知，且，函数是定义域内的增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是定义域内的增函数，，且，
所以，解得，故选：B.
【变式4-4】（2022秋·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】为减函数，
又在区间内为增函数，则，
且当时，恒成立，所以，解得，
则，故选：B.
【变式4-5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】令，则，
由于且，内层函数在区间上为减函数，
所以外层函数为增函数，所以．
由题意可知，不等式对任意的恒成立，
所以，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
【题型5 指对幂函数的奇偶性】
【例5】（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）（多选）已知函数，函数，则下列命题正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】ABD
【解析】因为的定义域为R，且，
故为奇函数，
由，解得：，故的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，
因为的定义域为，且，
所以为偶函数，A正确；
因为的定义域为，且，
故为奇函数，B正确，C错误，
的定义域为，且，
故为偶函数，D正确.故选：ABD
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】函数为奇函数且，则，
所以，故．故选：A
【变式5-2】（2022秋·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知为奇函数，则____________.
【答案】
【解析】由题意得，且函数的定义域为R，
所以，
整理，得，即，解得，
经检验，符合题意.
【变式5-3】（2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.
（1）求和的值；
（2）求在上的解析式.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）满足，
，.
（2）由题意知，.当时，.
由是奇函数，
，
综上，在上，
【题型6 指对幂函数的定义域】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，，即，
，解得：且，
的定义域为.故选：.
【变式6-1】（2022·浙江·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对选项，则有：；对选项，则有：
对选项，定义域为：；对选项，则有：；故答案选：
【变式6-2】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）函数的定义域是_______．
【答案】且
【解析】由题知：且.
故答案为：且.
【变式6-3】（2022秋·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】由题意可得函数需满足 ，解得 ，
故函数的定义域为.
【变式6-4】（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）若函数的定义域为，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，即恒成立，
当时，符合题意；
当时，有，解得.
综上可得的取值范围是.
【题型7 指对幂函数的值域】
【例7】（2022秋·福建莆田·高三莆田第五中学校考期中）函数 (且)的图象过点和.
（1）求函数的解析式；
（2）令，求的最小值及取得最小值时x的值.
【答案】（1）；（2）当时，函数取得最小值1.
【解析】（1）由得解得，
故函数解析式为.
（2）.
∵＝＝.
当且仅当，即时，等号成立.
而函数在上单调递增，则，
当时，函数取得最小值1.
【变式7-1】（2021秋·陕西延安·高三子长市中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿､欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，
由，，，，，即，
当时，，当时，，
故的值域为，故选：B.
【变式7-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）若函数()的值域是，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，，
若，当时，则，与函数的值域为不符，
若，当时，则，又函数的值域为，
所以，又所以，
综上，实数 的取值范围是.故选：A.
【变式7-3】（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为有最小值，
当时，，显然在上单调递增，且，
即在上没有最小值；
当时，，易知在上必有最小值，
因为开口向上，对称轴为，
当时，，易知，
故不是在上的最小值，则在上没有最小值，不满足题意；
当时，，
要使得是在上的最小值，则，即，
解得或，所以；
综上：，即.故选：B.
【变式7-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．
（1）当时，求在上的最大值与最小值；
（2）求在上的最小值．
【答案】（1）最大值为3，最小值为．；（2）
【解析】（1）设（，且），
∵的图像过点，
∴，即，
∴，即，∴．
∵，∴，即．
设，则，，
∴，
又，，
∴．
∴当时，在上的最大值为3，最小值为．
（2）设，则，
由（1）知，对称轴为直线．
①当时，在上是增函数．；
②当时，在上单调递减，在上单调递减，；
③当时，在上单调递减，．
综上所述，．
【题型8 指数式与对数式比较大小】
【例8】（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，由定义域可知，故，
∵在定义域上单调递减，，，
∵，∴，
∵，∴，
故，则，，
又，由定义域可知：，
又∵，∴，则，，故，
∵，，∴，，
.故选：B.
【变式8-1】（2021·天津宁河·天津市宁河区芦台第一中学校考一模）已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，在是增函数，
，又为偶函数，，
，即.故选：A.
【变式8-2】（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，，即：，又，所以；
，
，，所以：.故选：C.
【变式8-3】（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
而，且，所以.
又，所以，故选：A.
【变式8-4】（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，．故选：D．
【变式8-5】（2022秋·浙江金华·高三校联考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
由于，
，
取等条件应为，即，而，故，
，
取等条件为，即，而，故，所以.故选：A.
【题型9 指数式与对数式解不等式】
【例9】（2022·全国·高三专题练习）若，试求的取值范围.
【答案】
【解析】∵，∴或或解得或.
故的取值范围是.
【变式9-1】（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知函数，若，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】定义域为，且，
所以不等式即，
又因为在上单调递增，
所以，解得.故选：B.
【变式9-2】（2022秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知偶函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，单调递增，
又为偶函数，，故，
所以，解得：.故选：C
【变式9-3】（2022·四川自贡·统考一模）已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
因为，，
∴为奇函数，
又因为，由复合函数单调性知为的增函数，
∵，则，
∴，，
∴，解得或，故故选：D.
【变式9-4】（2022秋·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）已知（其中）则关于x的不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】，且，解得：，
又，由，且，解得：，
与取交集得：，
由得：，
即，
因为在定义域内单调递增，
所以，整理得：，
因为，所以，解得：，
综上：，即不等式解集为.
【变式9-5】（2022·全国·高三专题练习）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______
【答案】
【解析】由题意，不妨设，
因为幂函数过点，则，解得，
故为定义在上的奇函数，且为增函数，
因为，则，
故，解得，
从而实数的取值范围是.
【题型10 反函数及其应用】
【例10】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为的图像与函数的图像关于直线对称，
所以，所以，故A，B，D错误.故选：C.
【变式10-1】（2022·全国·高三专题练习）若满足，满足，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意，故有
故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.
根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
故曲线和曲线的图象交点关于直线对称.
即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，
即，求得x1+x2=5，故选：D.
【变式10-2】（2022·吉林长春·长春十一高校考模拟预测）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于直线对称的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设为的反函数图象上的任意一点，
则关于的对称点一定在的图象上，
又因为的图象与函数的图象关于直线对称，
所以关于直线的对称点在图象上，
所以必有，即，
所以的反函数为：故选：D
【变式10-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数的反函数图像经过点，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为函数图像经过点，
所以，解得，，
因为函数与函数互为反函数，
所以，.
【变式10-4】（2022·江苏·统考三模）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】分别为直线与和的交点的横坐标，
因为函数与函数互为反函数，
所们这两个函数的图象关于直线，
而直线、的交点是坐标原点，
故，，，，
，
，故故选：BCD.
（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）已知，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知，则，解得，
，
又，则，解得，，
则或，，，故选：C.
2．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以.故选：A.
3．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，
由解得或
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式的解集是.故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【解析】因为，，
所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；
所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
故选：D.
5．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，所以，故排除C，D，
当时，恒成立，排除A，故选：B．
6．（2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要比较，，中的大小，
等价于比较，，中的大小，
∵，由定义域可知，故，
∵在定义域上单调递减，，，
∵，∴，∵，∴，
故，则，，
，由定义域可知：，
又∵，∴，则，，故，
∵，，∴，，.故选：A.
7．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）（多选）已知函数，则（ ）
A．在上是增函数 B．的图象关于轴对称
C．的图象关于点对称 D．不等式的解集是
【答案】BD
【解析】对于A选项，当时，，
所以，函数在上为减函数，A错；
对于B选项，对任意的，则，
所以，的图象关于轴对称，B对；
对于C选项，因为，
故函数的图象不关于点对称，C错；
对于D选项，由，可得，
解得，可得，解得，
因此，不等式的解集是，D对.故选：BD.
8．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，
将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，
将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，
则函数的图象如图所示.
由图可得函数在区间上单调递增，A正确；
函数的图象关于直线对称，B正确；
若，但，若，关于直线对称，则，C错误；
函数有且仅有两个零点，D正确.故选：ABD.
9．（2023·全国·高三对口高考）已知，其中且，若，，则___________．
【答案】4
【解析】因为，，所以，
所以，所以，
所以，所以.
10．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）若，，那么使的x的值是______．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，∴，所以．
11．（2022·贵州·校联考一模）若，则a的值为___________．
【答案】1
【解析】原式
.
12．（2023·全国·高三对口高考）已知函数（a为常数）和函数，且为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）设不等式恒成立，试求实数的范围．
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）为奇函数，
，即，解得，经检验符合题意；
（2）由，得，则，
而，，，
，
实数的取值范围是.
13．（2021秋·上海静安·高三上海市第六十中学校考阶段练习）已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）已知，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）答案见解析
【解析】（1）令，则，
，，即，解得：，
即的值域为.
（2）为定义在上的增函数.
证明如下：任取，且，
则；
，，又，，，
∴为定义在上的增函数.
（3）为增函数且，
由得：，
即；
当时，不等式为，解得：；
当时，令，解得：，，
则当，即时，不等式的解为；
当，即时，不等式的解为；
当，即时，不等式的解为；
综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
14．（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知函数 .
（1）若，求函数的定义域；
（2）若，求证:.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）若，则函数，
要使函数有意义，则有，即 ，
所以 ，所以 ， 得，
所以函数 的定义域为.
（2）由柯西不等式， 得
由 ， 得， 所以，
所以 ，
所以 ， 即.
15．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数，.
（1）当时，求函数的值域
（2）如果对任意的，恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，，
设，，
，，故函数的值域为.
（2），即，
令，，对任意的恒成立.
对任意的恒成立，，设.
设，，故.
实数的取值范围为.
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