2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数的图象与性质

这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数的图象与性质，共17页。试卷主要包含了抛物线y＝﹣2等内容，欢迎下载使用。
1．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
2．已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）
4．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
5．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二．填空题（共5小题）
6．将二次函数y＝﹣5x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则函数关系式是 ．
7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是 ．
8．已知二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象上有三点A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1、y2、y3的大小关系为 ．
9．若M（0，5），N（2，5）在抛物线y＝2（x﹣m）2+3上，则m的值为 ．
10．若y＝x2﹣2x+m的图象经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，则关于y1，y2，y3大小关系正确的是 ．
三．解答题（共5小题）
11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数）．
（1）当抛物线经过点（2，6）时，求a的值；
（2）当a＝1时，
①若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 ；
②若0≤x≤4，则函数的最大值为 ，最小值为 ．
12．已知抛物线的顶点坐标为（2，8），求抛物线与y轴的交点坐标．
13．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
15．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某直线l经过抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点，则把该直线l称为抛物线L的“心心相融线”．根据该约定，请完成下列各题：
（1）若直线y＝kx+1是抛物线y＝x2﹣2x+1的“心心相融线”，求k的值．
（2）若过原点的抛物线L：y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数，且b≠0）的“心心相融线”为y＝mx+n（m≠0），则代数式是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）当常数k满足k≤2时，求抛物线L：y＝ax2+（3k2﹣2k+1）x+k（a，b，c是常数，a≠0）的“心心相融线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数的图象与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
2．已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】由抛物线满足：①4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，判断抛物线与x轴的交点，根据图象判断a、c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，
∴由①可知当a＞0时b2﹣4ac＞0，则抛物线与x轴有两个交点，当a＜0时b2﹣4ac＜0，则抛物线与x轴无交点；
由②可知：当x＝﹣1时，y＜0，
由③可知：﹣b+c＞0，
∵a﹣b+c＜0，∴必须a＜0，
∴符合条件的有C、D，
由C的图象可知，对称轴直线x0，a＜0，∴b＞0，抛物线交y的负半轴，c＜0，则b＞c，
由D的图象可知，对称轴直线x0，a＜0，∴b＜0，抛物线交y的负半轴，c＜0，则有可能b＜c，
故满足条件的图象可能是D，
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
3．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：因为抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5，
所以抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（2，﹣5）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
4．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据抛物线的解析式求得对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【解答】解：由图象开口向下可知a＜0，
由对称轴，得b＞0．
∴一次函数y＝x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a、b的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
二．填空题（共5小题）
6．将二次函数y＝﹣5x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则函数关系式是 y＝﹣5（x+2）2﹣5 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】y＝﹣5（x+2）2﹣5．
【分析】根据二次函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣5x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，
∴所得图象的函数表达式为y＝﹣5（x+2）2﹣5．
故答案为：y＝﹣5（x+2）2﹣5．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
7．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是 （0，﹣1） ．
【考点】二次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x＝k．
8．已知二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象上有三点A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1、y2、y3的大小关系为 y2＜y1＜y3 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】对二次函数y＝3（x﹣1）2+1，对称轴x＝1，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小．
【解答】解：在二次函数y＝3（x﹣1）2+1，对称轴x＝1，
在图象上的三点A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），
|2﹣1|＜|4﹣1|＜|﹣3﹣1|，
则y1、y2、y3的大小关系为y2＜y1＜y3．
故答案为y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
9．若M（0，5），N（2，5）在抛物线y＝2（x﹣m）2+3上，则m的值为 1 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】1．
【分析】根据抛物线的对称性即可求解．
【解答】解：因为点M（0，5），N（2，5）的纵坐标相同，都是5，
所以对称轴为直线，
故m的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象的对称性是解题的关键．
10．若y＝x2﹣2x+m的图象经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，则关于y1，y2，y3大小关系正确的是 y2＜y1＝y3 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y2＜y1＝y3．
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝1，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3＝y1；于是y2＜y1＝y3．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上．
∵x1，
∴A（﹣1，y1）在对称轴的左侧，且y随x的增大而减小，B（2，y2），C（3，y3）在对称轴的右侧，且y随x的增大而增大，
∴y2＜y3．
∵由二次函数图象的对称性可知y3＝y1，
∴y2＜y1＝y3．
故答案为：y2＜y1＝y3．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数）．
（1）当抛物线经过点（2，6）时，求a的值；
（2）当a＝1时，
①若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 x＜1 ；
②若0≤x≤4，则函数的最大值为 10 ，最小值为 1 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣1；（2）①x＜1；②10，1．
【分析】（1）将点（2，6）代入y＝x2﹣2ax+2a即可求解；
（2）由抛物线的解析式可确定对称轴和开口方向，据此即可求解．
【解答】解：（1）将点（2，6）代入y＝x2﹣2ax+2a得：
6＝22﹣2a×2+2a，
解得：a＝﹣1；
（2）当a＝1时，y＝x2﹣2x+2，
①抛物线的对称轴为直线：，
∵抛物线开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
②若0≤x≤4，
则当x＝1时，函数有最小值，最小值为y＝12﹣2×1+2＝1；
当x＝4时，函数有最大值，最大值为y＝42﹣2×4+2＝10；
故答案为：①x＜1；②10，1．
【点评】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值、增减性等知识点．熟记相关结论即可．
12．已知抛物线的顶点坐标为（2，8），求抛物线与y轴的交点坐标．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（0，10）．
【分析】根据抛物线的顶点坐标为（2，8），即可得到y（x﹣2）2+8，令x＝0，求出y的值即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（2，8），
∴y（x﹣2）2+8，
令x＝0，则y10，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，10）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
13．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）m＝﹣2，抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
【分析】（1）把点M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标；
（2）分别确定自变量为0和﹣3对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）把M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得：
﹣4﹣2m+3＝3，
解得m＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x＝0时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝0，
∴当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题．
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【答案】（1）（2，﹣1）；
（2）见解答；
（3）﹣1≤y＜3．
【分析】（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（3）结合二次函数图象，写出当1＜x＜4时对应的y的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该二次函数图象顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图：
；
（3）由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图形上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
15．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某直线l经过抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点，则把该直线l称为抛物线L的“心心相融线”．根据该约定，请完成下列各题：
（1）若直线y＝kx+1是抛物线y＝x2﹣2x+1的“心心相融线”，求k的值．
（2）若过原点的抛物线L：y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数，且b≠0）的“心心相融线”为y＝mx+n（m≠0），则代数式是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）当常数k满足k≤2时，求抛物线L：y＝ax2+（3k2﹣2k+1）x+k（a，b，c是常数，a≠0）的“心心相融线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）k＝﹣1；
（2），理由见解析；
（3）．
【分析】（1）求出抛物线的顶点，然后代入y＝kx+1中求解即可；
（2）是否为定值，先求0＝c，从而得到y＝﹣x2+bx，再求出当x＝0时，y＝0，得n＝0，从而y＝mx，求出抛物线的顶点坐标，代入直线方程得，从而求解；
（3）由抛物线解析式找出抛物线与y轴的交点坐标，再根据抛物线的解析式找出其顶点坐标，由两点坐标结合待定系数法即可得出与该抛物线对应的“心心相融线”l的解析式，找出该直线与x、y轴的交点坐标，结合三角形的面积找出面积S关于k的关系上，由二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为（1，0）
∵直线y＝kx+1是抛物线y＝x2﹣2x+1的“心心相融线”，
∴直线y＝kx+1过（1，0），
∴0＝k+1，
解得：k＝﹣1；
（2）为定值，理由如下：
∵抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过原点，
∴0＝c，
∴y＝﹣x2+bx，
当x＝0时，y＝0，
∴0＝m×0+n，
∴n＝0，
∴y＝mx，
∵，
顶点，
∴，
∴；
（3）令抛物线L：y＝ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x＝0，则y＝k，
即该抛物线与y轴的交点为（0，k）．
抛物线L：y＝ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的顶点坐标为，
设“心心相融线”l的解析式为y＝px+k，
∵点在y＝px+k上，
∴，
解得：．
“心心相融线”l的解析式为．
令“心心相融线”中y＝0，则，
解得：．
即“心心相融线”l与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，k）．
∴“心心相融线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积，
∵，
∴，
∴，
当时，S有最大值，最大值为；
当时，S有最小值，最小值为．
故抛物线L：y＝ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和二次函数的应用，解题的关键是根据“心心相融线”关系找出两函数的交点坐标，在（3）中数据稍显繁琐，解决该问时，借用三角形的面积公式找出面积S与k之间的关系式，再利用二次函数的性质找出S的取值范围．
考点卡片
1．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
2．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
8．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
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