2023-2024学年重庆市渝中区求精中学高二（下）段考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市渝中区求精中学高二（下）段考数学试卷(含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数f(x)=x+sinx在区间[0,π]上的平均变化率为( )
A. 1B. 2C. πD. 0
2.质点M按规律s=2t2+3t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t=2s时的瞬时速度是( )
A. 2 m/sB. 6 m/sC. 4 m/sD. 11 m/s
3.曲线y=2x2+1在点P(−1,3)处的切线方程为( )
A. y=−4x−1B. y=−4x−7C. y=4x−1D. y=4x+7
4.已知函数f(x)=1x，则Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx等于( )
A. −1B. 1C. −2D. 0
5.若函数f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(−1)f(−1)等于( )
A. −34B. 34C. −65D. −56
6.设曲线y=1x在点P(1,1)处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积等于( )
A. 1B. 2C. 4D. 6
7.若一射线OP从OA处开始，绕O点匀速逆时针旋转(到OB处为止)，所扫过的图形内部的面积S是时间t的函数，S(t)的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1，其中f′(x)为函数f(x)的导数，则f(2020)+f(−2020)+f′(2019)−f′(−2019)=( )
A. 0B. 2C. 2019D. 2020
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数运算正确的有( )
A. (x2sinx)′=2xsinx+x2csxB. (1x)′=1x2
C. (lg3x)′=13lnxD. (lnx)′=1x
10.已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数.双曲余弦函数为chx=ex+e−x2，双曲正弦函数为shx=ex−e−x2.则下列结论中正确的是( )
A. (chx)′=shxB. (shx)2+(chx)2=1
C. sh2x=2shx⋅chxD. chx是奇函数
11.已知y=kx是函数f(x)=xsinx的一条切线，则实数k的值可以为( )
A. 0B. 1C. 12D. −1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=ex+x(其中e为自然对数的底数)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为 ．
13.函数g(x)=xlnx有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为______．
14.若曲线y=(x+1)ex过点P(a,0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若函数f(x)=x−1x，
(1)用定义求f′(x)；
(2)求其图象在与x轴交点处的切线方程．
16.(本小题15分)
求下列函数的导数：
(1)y=3x2+csx；
(2)y=(x+1)lnx；
(3)y=xtanx,{x|x≠kπ+π2,k∈Z}．
17.(本小题15分)
已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)−(2x−1)f(x)=2，求f(x)的解析式．
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an−n
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(2n+1)(an+1)，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：f(x)=x+sinx在区间[0,π]上的平均变化率为f(π)−f(0)π−0=π+sinπ−0−sin0π=1．
故选：A．
根据平均变化率的计算即可求解．
本题主要考查平均变化率的求解，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，质点M在t=2 s时位移的平均变化率为△S△t=2(2+△t)2+3(2+△t)−2×22−3×2△t=11+2Δt，
当Δt无限趋近于0时，△S△t无限趋近于11 m/s．
故选：D．
根据题意，先求出△S△t的表达式，进而分析可答案．
本题考查极限的计算，涉及平均变化率和瞬时变化率的关系，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
先求导函数，求得切线的斜率，从而可求曲线y=2x2+1在点P(−1,3)处的切线方程．
本题考查的重点是切线方程，考查导数的几何意义，正确求导是关键．
【解答】
解：求导函数y′=4x，
当x=−1时，y′=4×(−1)=−4，
∴曲线y=2x2+1在点P(−1,3)处的切线方程为：y−3=−4(x+1)，
即y=−4x−1，
故选A．
4.【答案】A
【解析】解：∵f(x)=1x，∴f′(x)=−1x2，
由导数的定义可知Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)=−1，
故选：A．
利用导数的定义求解．
本题主要考查了导数的定义，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：f′(x)=2f′(1)+2x，
∴f′(1)=2f′(1)+2，f′(1)=−2，
∴f(x)=x2−4x，f′(x)=2x−4，
∴f(−1)=5，f′(−1)=−6，
∴f′(−1)f(−1)=−65．
故选：C．
根据幂函数的求导公式求导即可．
本题考查了幂函数的求导公式，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：y=1x的导数为y′=−1x2，
曲线y=1x在点P(1,1)处的切线的斜率为−1，
则切线的方程为y−1=−(x−1)，即x+y−2=0，
令x=0，可得y=2；y=0，可得x=2，
则△OAB的面积等于12×2×2=2．
故选：B．
求得y=1x的导数，由导数的几何意义，将x=1代入可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线的方程，求得切线与x轴、y轴的交点，由三角形的面积公式，计算可得所求值．
本题考查导数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，S(t)应该一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢，不符合题意；
对于B，S(t)应该匀速增加，不符合题意；
对于C，S(t)应该先慢后快，不符合题意；
对于D，S(t)应该先快后慢，最后变快，符合题意．
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数图象变化的趋势，综合可得答案．
本题考查函数图象的变换，涉及函数的变换快慢，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：f′(x)=[2(x+1)+csx](x2+1)−2x[(x+1)2+sinx](x2+1)2，
∴f′(x)−f′(−x)=4x⋅(x2+1)−4x⋅(x2+1)(x2+1)2=0，且f(x)+f(−x)=2，
∴f(2020)+f(−2020)+f′(2019)−f′(−2019)=2．
故选：B．
根据商的导数和基本初等函数的导数的求导公式即可求出f′(x)，然后即可求出f′(x)−f′(−x)的值，并可得出f(x)+f(−x)的值，从而可求出答案．
本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，因为(x2sinx)′=2xsinx+x2csx，所以A对；
对于B，因为(1x)′=−1x2，所以B错；
对于C，因为(lg3x)′=1xln3，所以C错；
对于D，因为(lnx)′=1x，所以D对．
故选：AD．
根据导数公式运算判断即可．
本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查类比推理，导数的运算，函数奇偶性判断等，考查运算求解能力，属于中档题．
A，根据导数的运算法则，得解；
B，化简计算(shx)2+(chx)2，即可判断；
C，分别计算sh2x和2shx⋅chx，看是否相等即可；
D，由函数奇偶性的概念可知，chx为偶函数．
【解答】
解：对于A，(chx)′=ex+e−x⋅(−1)2=ex−e−x2=shx，即选项A正确；
对于B，(shx)2+(chx)2=(ex−e−x2)2+(ex+e−x2)2=e2x+e−2x2≠1，即选项B错误；
对于C，sh2x=e2x−e−2x2，
2shx⋅chx=2⋅ex+e−x2⋅ex−e−x2=e2x−e−2x2=sh2x，即选项C正确；
对于D，∵ch(−x)=e−x+ex2=chx，∴chx为偶函数，即选项D错误．
故选：AC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
求出原函数的导函数，由已知直线过坐标原点，分坐标原点是切点和坐标原点不是切点两类求解k的值．
【解答】
解：由f(x)=xsinx，得f′(x)=sinx+xcsx，
当切点为坐标原点时，x=0，此时k=f′(0)=0；
当切点不是坐标原点时，设切点为(t,tsint)，则tsintt=sint=sint+tcst，
即tcst=0，∵t≠0，∴t=kπ+π2(k∈Z)，则k=sint+tcst=±1．
∴实数k的值可以为0，−1，1．
故选：ABD．
12.【答案】2x−y+1=0
【解析】【分析】
求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．
本题考查求切线方程，以及直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．
【解答】
解：f(x)=ex+x的导数为f′(x)=ex+1，
可得切线的斜率为k=f′(0)=1+1=2，
f(0)=1+0=1，
切点为(0,1)，
则切线的方程为y−1=2(x−0)，
即为2x−y+1=0，
故答案为：2x−y+1=0．
13.【答案】(e,e)
【解析】解：设切点坐标为(x0,x0lnx0)，由函数g(x)=xlnx，可得g′(x)=lnx+1，
因为函数g(x)=xlnx有一条斜率为2的切线，所以lnx0+1=2，
解得x0=e，所以切点坐标为(e,e)．
故答案为：(e,e)．
设切点坐标为(x0,x0lnx0)，利用导数的几何意义即可求解．
本题考查函数的导数的应用，是基础题．
14.【答案】(−∞,−5)∪(−1,+∞)
【解析】解：设切点坐标为(x0,(x0+1)ex0)，
∵y′=(x+2)ex，∴y′|x=x0=(x0+2)ex0，
∴切线方程为y−(x0+1)ex0=(x0+2)ex0⋅(x−x0)，
将点P(a,0)代入可得−(x0+1)ex0=(x0+2)ex0⋅(a−x0)，
化简得x02−ax0−a=0，x02+(1−a)x0−2a−1=0．
∵过点P(a,0)作曲线C的切线有且仅有两条，
∴方程x02+(1−a)x0−2a−1=0有两个不同的解，
则Δ=(1−a)2+4(2a+1)=a2+6a+5>0，解得a>−1或a0，n>0，x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时，等号成立，
又m+n=t，即有t2−4t−8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(舍去)．
故实数t的最小值为2+2 3．
【解析】(1)根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cs2B+cs2C−cs2A=1可得a2=b2+c2，即可求得答案；
(2)利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
(3)由(1)结论可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn，再结合基本不等式，即可求得答案．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用基本不等式的应用，属于中档题．