河北省部分学校2024届高三上学期1月摸底考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省部分学校2024届高三上学期1月摸底考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集,,则集合B为( )
A.B.C.D.
2．已知直线l、m、n与平面、,下列命题正确的是( )
A.若,,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
3．若抛物线上一点到焦点的距离是,则p的值为( )
A.B.C.D.
4．在党的二十大报告中,习近平总书记提出要发展“高质量教育”,促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召,近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作,则每个地区至少安排1名专家的概率为( )
A.B.C.D.
5．蚊香具有悠久的历史,我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段,作一个等边三角形,然后以点B为圆心,为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧）,再以点为圆心,为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E,再以点A为圆心,为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为( )
A.B.C.D.
6．已知圆,直线与圆C交于A,B两点.若为直角三角形,则( )
A.B.C.D.
7．现有甲、乙两组数据,每组数据均由六个数组成,其中甲组数据的平均数为3,方差为5,乙组数据的平均数为5,方差为3.若将这两组数据混合成一组,则新的一组数据的方差为( )
A.3.5B.4C.4.5D.5
8．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇,定义如下：在直角坐标平面上任意两点,的曼哈顿距离为：.已知点M在圆上,点N在直线上,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设集合,,则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的有( )
A.B.C.D.
10．已知二项展开式,下列说法正确的有( )
A.的展开式中的常数项是56
B.的展开式中的各项系数之和为0
C.的展开式中的二项式系数最大值是70
D.,其中i为虚数单位
11．在中,若,则( )
A.对任意的,都有B.对任意的,都有
C.存在n,使成立D.存在n,使成立
三、填空题
12．已知单位向量,满足,则____________.
13．定义两个点集S、T之间的距离集为,其中表示两点P、Q之间的距离,已知k,,,,若,则t的值为______________.
14．已知,过点倾斜角为的直线l交C于A、B两点（A在第一象限内）,过点A作轴,垂足为D,现将C所在平面以轴为翻折轴向纸面外翻折,使得,则几何体外接球的表面积为____________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）当时,求函数的单调区间;
（2）当时,求函数的最大值.
16．设为数列的前n项和,已知是首项为、公差为的等差数列.
（1）求的通项公式;
（2）令,为数列的前n项积,证明：.
17．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功,且每次试验的成功概率为.现对该产品进行独立重复试验,若试验成功,则试验结束;若试验不成功,则继续试验,且最多试验8次.记X为试验结束时所进行的试验次数,X的数学期望为.
（1）证明：;
（2）某公司意向投资该产品,若,每次试验的成本为元,若试验成功则获利元,则该公司应如何决策投资？请说明理由.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率为,经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方）,的周长为8.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）如图,将平面xOy沿x轴折叠,使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直.
（1）若,求异面直线和所成角的余弦值;
（2）是否存在,使得折叠后的周长为？若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
19．已知定义域为R的函数满足：对于任意的,都有,则称函数具有性质P.
（1）判断函数,是否具有性质P;（直接写出结论）
（2）已知函数,判断是否存在,,使函数具有性质P？若存在,求出,的值;若不存在,说明理由;
（3）设函数具有性质P,且在区间上的值域为.
函数,满足,且在区间上有且只有一个零点.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：D
解析：
3．答案：A
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：D
解析：
6．答案：A
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：BD
解析：
10．答案：BC
解析：
11．答案：AD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）在上为增函数;在上为减函数
（2）的递增区间为,递减区间为,
解析：（1）的定义域为,
当时,,
当,解得：,
当,解得：.
在上为增函数;在上为减函数;
（2）的定义域为,
当时,令,得,
令时,得,
的递增区间为,递减区间为,.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由是首项为、公差为的等差数列,
故,
即,
当时,,
故,
当时,,符合上式,故;
（2）由,
故,
则,
由,故,
则.
17．答案：（1）
（2）元
解析：（1）由题意,
故,,
分布列如下：
所以X的数学期望,
记
,
作差可得,,
则
（2）由（1）可知,则试验成本的期望小于元.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆的定义知：,
所以的周长,所以,
又椭圆离心率为,所以,
所以,
由题意,椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为;
（2）①由直线与,
联立求得,（因为点A在x轴上方）以及,
再以O为坐标原点,折叠后原y轴负半轴,原x轴,原y轴正半轴所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则
,,,,,.
记异面直线和所成角为,则;
②设折叠前,,折叠后A,B在新图形中对应点记为,,,,
由,,
故,
将直线l方程与椭圆方程联立,
得,
,
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系,
,
所以,（i）
又
所以,（ii）
由（i）（ii）可得,
因为,
所以,
即,
所以,解得,
因为,所以.
19．答案：（1）不具有性质P
（2）存在,使函数具有性质P
（3）见解析
解析：（1）因为,则,
又,
所以,
故函数具有性质P;
因为,则,
又,
,
故不具有性质P.
（2）若函数具有性质P,则,
即,
因为,所以,所以;
若,不妨设,由,
得,
只要k充分大时,将大于1,而的值域为,
故等式不可能成立,所以必有成立,
即,因为,所以,
所以,则,此时,
则,
而,
即有成立,
所以存在,使函数具有性质P.
（3）证明：由函数具有性质P及（2）可知,,
由可知函数是以为周期的周期函数,
则,
即,所以,;
由,以及题设可知,
函数在的值域为,
所以且;
当,及时,均有,
这与在区间上有且只有一个零点矛盾,
因此或;
当时,,函数在的值域为,
此时函数的值域为,
而,于是函数在的值域为,
此时函数的值域为,
函数在当时和时的取值范围不同,
与函数是以为周期的周期函数矛盾,
故,即,命题得证.
X
1
2
3
4
5
6
7
8
P
p