河南省中原名校2024届高三下学期3月联考数学试卷(含答案)

这是一份河南省中原名校2024届高三下学期3月联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知i为虚数单位,复数,为z的共轭复数,则（ ）
A.5B.4C.D.
2．已知平面向量,,,则实数( )
A.B.C.D.
3．已知函数在上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
4．已知现需派6名专员去A,B,C共3个单位进行慰问,每个单位去两人,其中专员甲不去A单位的派法种数为( )
A.30B.60C.120D.180
5．已知函数,且,则( )
A.
B.在区间上有3个零点
C.在上单调递减,在上单调递增
D.
6．已知直线上存在点M,使得过M引圆的两条切线互相垂直,则的最小值为( )
A.18B.C.D.
7．已知数列为等差数列,其前n项和为,,且,也是等差数列,则( )
A.nB.C.D.
8．已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点A,B在x轴下方）,且,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图是某市元旦这一天到第二日凌晨24小时内8个时间段的气温分布,这组数据中,以下表述正确的是( )
A.平均温度低于3℃B.中位数为3℃C.极差为6℃D.标准差大于6
10．已知,则以下不等式成立的是( )
A.B.C.D.
11．已知函数满足,,则( )
A.B.
C.的定义域为RD.的周期为4
三、填空题
12．已知集合,,则___________.
13．如图,已知四棱锥的底面为矩形,M为PC的中点,平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为_____________.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的直线交双曲线的右支于A,B两点,且,,则双曲线的离心率为______________.
四、解答题
15．已知函数在处的切线方程为.
（1）求a,b的值;
（2）证明：在上单调递增.
16．某工厂每月最后1个工作日为本月“技术竞赛日”,竞赛获奖结果有四种：未获奖、三等奖、二等奖、一等奖,在以往的技术竞赛记录中随机抽取了200人,统计制成了如下获奖人次条形图.现有甲、乙、丙、丁4人要参加本月“技术竞赛日”的竞赛,以条形图中获奖情况的频率为每人获奖的概率.
（1）估计在本月“技术竞赛日”的竞赛中,甲获一等奖且乙未获奖的概率;
（2）若获三等奖、二等奖、一等奖所对应的奖金逐级增高,未获奖则没有奖金,估计丙所得奖金低于丁所得奖金的概率.
17．如图,在长方中,,E为的中点,.
（1）求的长;
（2）求二面角的余弦值.
18．已知抛物线,.
（1）直线交抛物线于A,B两点,求面积的最大值;
（2）已知P,Q是上的不同两点,且直线的斜率,直线,分别交抛物线于,,,四点,求证：,,,四点共圆.
19．若函数的定义域、值域都是有限集合,,则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.
（1）求的最大值;
（2）当时,均有,求满足条件的的个数;
（3）对于集合M上的有限完整函数,定义“闭环函数”如下：,对,且,（注：,,）.若,,,则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数,也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
参考答案
1．答案：C
解析：,则,,
则.
故选：C.
2．答案：A
解析：由题意得,
故,
解得,
故选：A.
3．答案：A
解析：令,
则,由题意知,在上单调递减, 且,
由此可得,
解得.
故选：A.
4．答案：B
解析：专员甲不去A单位的派法种数为.故选：B.
5．答案：C
解析：对于A, ,
,解得,A错误;
,
由可得,或,当 时,,
当时,,由正弦函数的图象可得在区间 上仅有2个零点,B错误;
对于C,由A知,,则当 时,,
当 时,,在上单调递减,在上单调递增,C正确;
对于D,令,则,
,
,
即,D错误.
故选：C.
6．答案：B
解析：由题意得,,,
则Q到直线l的距离不大于时符合题意,
即, 即.
故选：B.
7．答案：D
解析：设的公差为d,由,
得,,
由题意知, 此式为完全平方形式,全平方形式,故,
解得或0(舍去), 则,则 .
故选：D.
8．答案：D
解析：如图,
易得直线的方程为 , 由 得,
,则,
,
当且仅当,即时等号成立.
故选：D.
9．答案：AB
解析：平均温度为,故A正确;
中位数为,故B正确;
极差为,故C错误;
各个数据与平均数的差的绝对值都小于6 ,故标准差不可能大于 6 ,故D错误.
故选：AB.
10．答案：ABD
解析：当时,,则,
当时,可得 ,,则,则,
当 时,,可得, 故A正确;
,故B正确;
取,可知C错误;
,
当且仅当,即时等号成立, 故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：令 ,则有,解得,故A正确;
令,无意义, 故C错误;
令,则,则,故B正确;
,,
,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：,M中满足条件的元素为1,3,5,故.
13．答案：
解析：设四棱锥的体积为V,取PD的中点N,则为截面,
如图,
,其中,
,故,
故上、下两部分的体积比为.
14．答案：
解析：如图
设,则,,,则,
,,在中,
有,
解得.
15．答案：(1)2
(2)见解析
解析：(1),
,
故,
故,
即, 则.
(2)证明:要证在上单调递增,
即证时,,
令,则,
故在上单调递增,
故时,,
故在上单调递增.
16．答案：(1)0.01
(2)见解析
解析：(1)由题意知,每人未获奖,获三等奖,获二等奖, 获一等奖的概率分别为,
,,,
故估计甲获一等奖且乙未获奖的概率为.
(2)有以下三种情形符合题意:
丁获一等奖,丙获二等奖或三等奖或未获奖, 概率为;
丁获二等奖, 丙获三等奖或未获奖, 概率为;
丁获三等奖, 丙未获奖, 概率为,
故估计丙所得奖金低于丁所得奖金的概率为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)连接, 由题意 ,
根据长方体的性质可知平面,平面,故,
,,平面,
故平面 ,又平面,故,
又,故,则,
即
又,
解得.
(2)以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
平面的法向量为,
设平面的法向量为,则 即取,
得,
故,
易知二面角的平面角为锐角,故二面角的余弦值为.
18．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)将代入可得,,
, 则,
设,
由求根公式得,
M到直线的距离为 ,
故,
令,,
根据的图象易得,当 时,;
当 时,,故在上单调递增, 在上单调递减,
故当时,取得最大值108 ,故的最大值为.
(2)证明:设,,
,
故,
故,
设,,,,,
则直线的方程为,即,
直线的方程为,
即,
故,,,满足方程,
即.
又,,,都在抛物线上,即四点坐标满足方程,
也满足,
得,,
即,
四点,,,的坐标都满足此方程,
由知此方程对应的曲线是圆,
故,,,四点共圆.
19．答案：(1)140
(2)42个
解析：(1)
,
当且仅当,,···,时取等号,
故的最大值为140.
(2)由题意知,从集合M中任取5个数记为,,,,共有个,然后剩余的2个数全排列,故共有个满足条件.
(3)以下表格为的函数关系:
,,,
,
故为3阶闭环函数;
又,,,
,,
故也是4阶闭环函数.原命题得证.
x
1
2
3
4
5
6
7
2
3
1
5
6
7
4